文章目录
- 三角函数系
- 正交
- 证明
- 图观法
- 数学证明法
- 计算
- 当 n不等于m
- 当 n等于m（重点）
- 其它同理
首先要了解的一点基础知识：
三角函数系
{ sin 0 , cos 0 , sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x , … , sin n x , cos n x , … } \left \{ \sin 0,\cos 0,\sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x, \dots,\sin nx,\cos nx,\dots \right \} {sin0,cos0,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}
一般常见的是下面这种
{ 1 , sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x , … , sin n x , cos n x , … } \left \{ 1, \sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x, \dots,\sin nx,\cos nx,\dots \right \} {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}
正交
三角函数正交性，上面每个元素项和其他项（非自身）的乘积的积分为零
{ ∫ − π π sin n x cos m x d t = 0 , n ≠ m ∫ − π π sin m x cos n x d t = 0 , m ≠ n \left\{\begin{matrix} \int_{-\pi }^{\pi} \sin nx \cos mx \mathrm{d}t = 0, n \ne m \\ \int_{-\pi }^{\pi} \sin mx \cos nx \mathrm{d}t = 0, m \ne n \end{matrix}\right. {∫−ππsinnxcosmxdt=0,n=m∫−ππsinmxcosnxdt=0,m=n
证明
图观法
直接画出两个乘积后的图像，如下（ sin x s i n 2 x \sin{x}sin{2x} sinxsin2x） 的曲线， 积分区间也就是图像围成的面积和，可以直接观察下图1面积为零。
图1
如下（ sin 2 x s i n 2 x \sin{2x}sin{2x} sin2xsin2x） 的曲线， 面积和不为零。
图2
数学证明法
首先下面一些基础式子要用到。
积化和差
sin a sin b = 1 2 [ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ] cos a cos b = 1 2 [ cos ( a − b ) + cos ( a + b ) ] \sin a \sin b = \frac{1}{2}\left [ \cos\left ( a - b \right ) - \cos \left ( a + b \right ) \right ] \\ \cos a \cos b = \frac{1}{2}\left [ \cos\left ( a - b \right ) + \cos \left ( a + b \right ) \right ] sinasinb=21[cos(a−b)−cos(a+b)]cosacosb=21[cos(a−b)+cos(a+b)]
积分公式
∫ cos θ d θ = sin θ + C \int \cos \theta \mathrm{d} \theta = \sin \theta + \mathrm {C} ∫cosθdθ=sinθ+C
基本式子
f ( x ) = ∫ cos ( n − m ) x d x 令： θ = ( n − m ) x , x = θ n − m f ( x ) = ∫ cos θ d θ 1 n − m = 1 n − m sin θ + C 回代 θ = 1 n − m sin ( n − m ) x + C \begin{array}{l} f(x) = \int \cos \left ( n-m \right ) x \mathrm {d} x \\ \text{令：} \theta = (n-m)x, x = \frac{\theta}{n-m} \\ f(x) = \int \cos \theta \mathrm{d}\theta\frac{1}{n-m} \\ = \frac{1}{n-m}\sin \theta + \mathrm {C} \\ \text {回代} \theta \\ = \frac{1}{n-m}\sin (n-m)x + \mathrm {C} \end{array} f(x)=∫cos(n−m)xdx令：θ=(n−m)x,x=n−mθf(x)=∫cosθdθn−m1=n−m1sinθ+C回代θ=n−m1sin(n−m)x+C
计算
当 n不等于m
f ( x ) = ∫ − π π cos n x cos m x d x , 当 n ≠ m = 1 2 [ ∫ − π π cos ( n − m ) x d x + ∫ − π π cos ( n + m ) x d x ] = 1 2 [ 1 n − m sin ( n − m ) x ∣ − π π + 1 n − m sin ( n + m ) x ∣ − π π ] = 1 2 [ 0 + 0 ] = 0 \begin{array}{l} f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} \cos{nx}\cos{mx} \mathrm{d}x , \text{当} n \ne m \\ = \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n-m)x}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n+m)x}\mathrm{d}x] \\ = \frac{1}{2}[\frac{1}{n-m}\sin (n-m)x|_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n-m}\sin (n+m)x|_{-\pi}^{\pi}] \\ = \frac{1}{2}[0 + 0] \\ = 0 \end{array} f(x)=∫−ππcosnxcosmxdx,当n=m=21[∫−ππcos(n−m)xdx+∫−ππcos(n+m)xdx]=21[n−m1sin(n−m)x∣−ππ+n−m1sin(n+m)x∣−ππ]=21[0+0]=0
当 n等于m（重点）
这个结果很重要，后面会用到。
f ( x ) = ∫ − π π cos n x cos m x d x , 当 n = m = 1 2 [ ∫ − π π cos ( n − m ) x d x + ∫ − π π cos ( n + m ) x d x ] 令 m = n = 1 2 [ ∫ − π π cos ( n − n ) x d x + ∫ − π π cos ( n + n ) x d x ] = 1 2 [ ∫ − π π 1 d x + ∫ − π π cos 2 n x d x ] 根据上面正交性加号后面为0 = 1 2 [ 2 π + 0 ] = π \begin{array}{l} f(x) = \int_{-\pi}^{\pi} \cos{nx}\cos{mx} \mathrm{d}x , \text{当} n = m \\ = \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n-m)x}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n+m)x}\mathrm{d}x] \\ \text{令} m = n \\ = \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n-n)x}\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\cos{(n+n)x}\mathrm{d}x] \\ = \frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}1\mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi}\cos{2nx}\mathrm{d}x] \\ \text{根据上面正交性加号后面为0} \\ = \frac{1}{2}[2\pi+0] \\ = \pi \end{array} f(x)=∫−ππcosnxcosmxdx,当n=m=21[∫−ππcos(n−m)xdx+∫−ππcos(n+m)xdx]令m=n=21[∫−ππcos(n−n)xdx+∫−ππcos(n+n)xdx]=21[∫−ππ1dx+∫−ππcos2nxdx]根据上面正交性加号后面为0=21[2π+0]=π
其它同理
更多视频参考：
https://www.bilibili.com/video/BV17t411d7hm/?spm_id_from=333.1391.0.0&vd_source=d45742076f53438671ec261bbacb2002
—————— 但行好事莫问前程，你若盛开蝴蝶自来
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