常规的解法就不多加赘述了，如（分子/分母，边乘边除），本文讲述以下方法：
递推法
了解杨辉三角、二项式、组合数之间的联系
时间复杂度 $O(n^2)$
数据范围10^4
乘法逆元
$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
数据较大，运用乘法逆元+快速幂
$阶乘O（n）,快速幂O（log(n)），总O（log(n)）$
数据范围10^6
卢卡斯定理
$C_n^m=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}\%p$
用于n,m比较大，p比较小，分解+乘法逆元求组合数法。
时间复杂度： $O(n\cdot lo{g}_{2}n)$
使用范围（大概）： n , m < = 10^18， p < = 10^6,

递推法 10^4

$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$

（从n个里面选m个等同于，选最后一个+不选最后一个）

• 杨辉三角第n行是$(a+b{)}^n$展开的系数

• 杨辉三角的递推和组合数相同（左上+上）

• 高中数学二项式的展开$(a+b{)}^n={\sum }_{i=0}^n{C}_n^i{a}^i{b}^{n-i}$

---

综上，更能体会组合数和杨辉三角直接的千丝万缕

代码

时间复杂度（$n^2$）,n,m<=10^4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int a[100][100],n=100;a[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++){a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];}cout<<a[5][2]<<'\n';
}

乘法逆元 10^6

关于乘法逆元可以看 2024ccpc全国邀请赛（郑州） 补题（乘法逆元）

• 不要想着边乘边除就不需要乘法逆元了。这样看似能够整除，但在运算过程中遇到取模，此后就不能保证精确

a mod b (b为质数)，由费马小定理得，a 的逆元是 $a^{b-2}$

• 为方便计算用公式

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

代码

$阶乘O（n）,快速幂O（log(n)），总O（log(n)）$ n,m<=10^6

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e8,mod=1e9+7;
int a[N];// 阶乘%mod,注意N,根据题目修改，不然可能时间超限
int qpow(int a,int b,int c)//快速幂
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans= ans*a%c;a=a*a%c,b/=2;}return ans;
}
int C(int n,int m)//排列  从n个里面选m个
{if(m>n) return 0;return a[n]*qpow(a[n-m]*a[m]%mod,mod-2,mod)%mod;//！！！！//pow(a,b,c)  a^b过程中%c
}
signed main()
{a[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++)a[i]=i*a[i-1]%mod;cout<<C(10,3);
}

卢卡斯定理 $10^{18}mod10^6$

用于n,m比较大，p比较小

$$C_n^m=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}\%p$$
可以逐层分解

代码

使用范围（大概）： n , m < = 10^18， p < = 10^6,

时间复杂度： $O(n\cdot lo{g}_{2}n)$

//qpow 快速幂        return ans;
//C    组合数（逆元） return a[n]*qpow(a[n-m]*a[m]%mod,mod-2,mod)%mod;
//a[N] 阶乘
int lucas(int n,int m)//在原来基础上加上lucas函数，递归求解
{if(m==0)return 1;return lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
}
signed main()
{a[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++)a[i]=i*a[i-1]%mod;cout<<lucas(10,3);//直接调用lucas
}

分解质因数

待补……