【算法】- 查询 -平衡二叉树

文章目录

  • 前言
  • 一、平衡二叉树思想
  • 二、如何进行平衡调整
    • 2.1如何实现左平衡（L_Balance）
  • 三、平衡二叉树
  • 总结

前言

编译语言：C++
编译器：VS2022

一、平衡二叉树思想

在上节我们讲到了二叉排序树，当我们在使用二叉排序树时，要插入的数组是一个有序数组，这时二叉排序树的效率将会下降，所以就有了平衡二叉排序树来解决二叉排序树效率下降的问题。平衡二叉树的大致思想就是将数组保持平衡状态，平衡因子在-1，0，1之间不能超过，超过则视为破坏平衡，需要进行平衡调整。

二、如何进行平衡调整

首先，我们的直到根节点的平衡因子为多少，比如跟结点为1，则这时分为三种情况插入左孩子，插入右孩子，插入时使平衡因子为0。（这里我们以左孩子的插入为例）插入左孩子时我们还要判断根节点当前平衡因子状况。

#define LH +1  //左高
#define EH 0   //等高
#define RH -1  //右高

if (e < (*T)->data)//判断e值和根节点的数据大小，小就进入左孩子插入
{if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller))//判断是否已经插入，已经插入则返回{return FALSE;}if (*taller){switch ((*T)->bf)//根据平衡因子进行判断{case LH://插入前平衡因子为1，则插入左孩子后为2，需要平衡L_Balance(T);*taller = TRUE;//由于平衡因子超过1，增长赋值为TRUEbreak;case EH://插入前平衡因子为0，则插入左孩子后为1，不需要平衡(*T)->bf = LH;//将平衡因子赋值为1*taller = FALSE;//平衡因子没超过1，则赋值为FALSEbreak;case RH://插入前平衡因子为-1，插入左孩子后为0，不需要平衡(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;//平衡因子没有超过1，赋值为FALSEbreak;}}
}
  1. 插入前为1，插入后为2，这时打破平衡需要进行平衡调整。
case LH://插入前平衡因子为1，则插入左孩子后为2，需要平衡L_Balance(T);*taller = TRUE;//由于平衡因子超过1，增长赋值为TRUEbreak;
  1. 插入前为0，插入后为1，不需要平衡
case EH://插入前平衡因子为0，则插入左孩子后为1，不需要平衡(*T)->bf = LH;//将平衡因子赋值为1*taller = FALSE;//平衡因子没超过1，则赋值为FALSEbreak;
  1. 插入前为-1，插入后为0，不需要调整
case RH://插入前平衡因子为-1，插入左孩子后为0，不需要平衡(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;//平衡因子没有超过1，赋值为FALSEbreak;

2.1如何实现左平衡（L_Balance）

在实现左平衡函数，我们就得直到根节点和根的左孩子的平衡因子，根据平衡因子完成左旋和右旋来完成左平衡假设L = (*T)->lchild,用L来代表T的左孩子。这时我们要判断L的平衡因子选择合适的旋转实现平衡

//左平衡
int L_Balance(BiTree* T)
{BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild;//将T的左孩子给Lswitch (L->bf)//根据L->bf的值判断{case LH://左高 插入到L的左孩子上，只需要进行右旋R_Rotate(T);//进行右旋L->bf = (*T)->bf = EH;//将平衡因子赋值为0break;case RH://右高，插入到L的右孩子上，需要左旋一次，右旋一次Lr = L->rchild;//将Lr的右孩子给Lrswitch (Lr->bf)//根据Lr的平衡因子判断{case LH://左高，插入到Lr的左孩子上L->bf = EH;(*T)->bf = RH;break;case EH://平衡因子等高L->bf = (*T)->bf = EH;break;case RH://右高，插入到Lr的右孩子上L->bf = LH;(*T)->bf = EH;break;}Lr->bf = EH;//将Lr的平衡因子赋值为0L_Rotate(&(*T)->lchild);//左旋R_Rotate(T);//右旋}return OK;
}

1.假设插入到L的左子树上，只需要右旋转实现平衡

case LH://左高 插入到L的左孩子上，只需要进行右旋R_Rotate(T);//进行右旋L->bf = (*T)->bf = EH;//将平衡因子赋值为0break;
  1. 假设插入到L的右子树上，需要一次左旋转和一次右旋转平衡
case RH://右高，插入到L的右孩子上，需要左旋一次，右旋一次Lr = L->rchild;//将Lr的右孩子给Lrswitch (Lr->bf)//根据Lr的平衡因子判断{case LH://左高，插入到Lr的左孩子上L->bf = EH;(*T)->bf = RH;break;case EH://平衡因子等高L->bf = (*T)->bf = EH;break;case RH://右高，插入到Lr的右孩子上L->bf = LH;(*T)->bf = EH;break;}Lr->bf = EH;//将Lr的平衡因子赋值为0L_Rotate(&(*T)->lchild);//左旋R_Rotate(T);//右旋

平衡因子的调整需要对旋转的情况了解，并知道平衡因子使如何改变，这里不说明平衡因子的变化。

三、平衡二叉树

这样就可以将根据左孩子进行调整，还有根据右孩子调整，右孩子调整和左孩子调整类似，这里就不再累述了。最后看看平衡二叉树的完整代码。

#define MAXSIZE 20 //定义查询数组的长度
#define FALSE 0 
#define TRUE 1
#define OK 1
#define ERROR 0
#define LH +1  //左高
#define EH 0   //等高
#define RH -1  //右高
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
//平衡二叉树
//平衡二叉树结构体
typedef struct BinaryTree
{int data;//存放数据int bf;//存放平衡因子struct BinaryTree* lchild, * rchild;//创建左右孩子域
}BinaryTree,*BiTree;
//进行右旋
int R_Rotate(BiTree* T)
{BiTree R = (*T)->lchild;//将T的右孩子给R(*T)->lchild = R->rchild;//R的右孩子给T的左孩子R->rchild = *T;//将T给R的右孩子*T = R;//更新结点return OK;
}
//进行左旋
int L_Rotate(BiTree* T)
{BiTree L = (*T)->rchild;//将T的右孩子给L(*T)->rchild = L->lchild;//将L的左孩子给T的右孩子L->lchild = *T;//将T给L的左孩子*T = L;//更新结点return OK;
}
//左平衡
int L_Balance(BiTree* T)
{BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild;//将T的左孩子给Lswitch (L->bf)//根据L->bf的值判断{case LH://左高 插入到L的左孩子上，只需要进行右旋R_Rotate(T);//进行右旋L->bf = (*T)->bf = EH;//将平衡因子赋值为0break;case RH://右高，插入到L的右孩子上，需要左旋一次，右旋一次Lr = L->rchild;//将Lr的右孩子给Lrswitch (Lr->bf)//根据Lr的平衡因子判断{case LH://左高，插入到Lr的左孩子上L->bf = EH;(*T)->bf = RH;break;case EH://平衡因子等高L->bf = (*T)->bf = EH;break;case RH://右高，插入到Lr的右孩子上L->bf = LH;(*T)->bf = EH;break;}Lr->bf = EH;//将Lr的平衡因子赋值为0L_Rotate(&(*T)->lchild);//左旋R_Rotate(T);//右旋}return OK;
}
//进行右平衡
int R_Balance(BiTree* T)
{BiTree R, Rl;R = (*T)->rchild;switch (R->bf){case LH://左高，插入R的左孩子，需要一次左旋转和一次右旋转Rl = R->lchild;switch (Rl->bf){case LH://左高，插入Rl的左子树R->bf = RH;(*T)->bf = EH;break;case EH://等高R->bf = (*T)->bf = EH;break;case RH://右高，插入Rl的右子树R->bf = EH;(*T)->bf = LH;break;}Rl->bf = EH;R_Rotate(&(*T)->rchild);L_Rotate(T);break;case RH://右高，插入R的右孩子，需要一次左旋L_Rotate(T);R->bf = (*T)->bf = EH;break;}return OK;
}
//平衡二叉树的插入
int InsertAVL(BiTree* T, int e, int* taller)
{if (!*T)//判断二叉树是否为空，空则创建结点，不为空则进行判断是否为e值{*T = (BiTree)malloc(sizeof(BinaryTree));(*T)->bf = EH;//将平衡因子初始化为0(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;//初始化二叉树结点的左右孩子为NULL(*T)->data = e;//将数据存储在结点*taller = TRUE;//将taller赋值为增高}else//如果判断二叉树的结点不为空，则进行以下插入操作{if (e == (*T)->data){*taller = FALSE;//将taller赋值为不增长return FALSE;}if (e < (*T)->data)//判断e值和根节点的数据大小，小就进入左孩子插入{if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller))//判断是否已经插入，已经插入则返回{return FALSE;}if (*taller){switch ((*T)->bf)//根据平衡因子进行判断{case LH://插入前平衡因子为1，则插入左孩子后为2，需要平衡L_Balance(T);*taller = TRUE;//由于平衡因子超过1，增长赋值为TRUEbreak;case EH://插入前平衡因子为0，则插入左孩子后为1，不需要平衡(*T)->bf = LH;//将平衡因子赋值为1*taller = FALSE;//平衡因子没超过1，则赋值为FALSEbreak;case RH://插入前平衡因子为-1，插入左孩子后为0，不需要平衡(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;//平衡因子没有超过1，赋值为FALSEbreak;}}}else//如果e>(*T)->data{if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller))//判断是否已经插入{return FALSE;}if (*taller){switch ((*T)->bf)//判断平衡因子{case LH://插入前为1，插入右孩子后为0，不需平衡(*T)->bf = EH;*taller = FALSE;break;case EH://插入前为0，插入右孩子后为-1，不需平衡(*T)->bf = RH;*taller = FALSE;break;case RH://插入前为-1，插入后右孩子为-2，需要平衡R_Balance(T);//进行有平衡*taller = TRUE;break;}}}}return OK;
}
int showTree(BiTree T)
{if (!T)return OK;else{showTree(T->lchild);printf("%d ", T->data);showTree(T->rchild);}return OK;
}
int main()
{BiTree T;T = NULL;//初始化二叉树int i;int arr[MAXSIZE] = { 5,6,8,4,2,1,9,3,7,10,15,16,18,14,12,11,19,13,17,20 };//创建待插入平衡二叉树int taller = FALSE;//记录二叉树高度是否变化，高度增高就为TRUE，高度减小就为FALSEfor (i = 0; i < MAXSIZE; i++){InsertAVL(&T,arr[i],&taller);}showTree(T);return 0;
}

总结

平衡二叉树，解决了二叉排序树因有序数据导致效率下降的问题。

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