【数据结构篇】链式结构二叉树

目录：

一二叉链的概念与结构：

1.1 概念：

1.2 结构：

二二叉链的实现：

2.1 二叉树的构建：

2.2 二叉树的遍历：

2.2.1 前序遍历：

2.2.2 中序遍历：

2.2.3 后序遍历：

2.3 二叉树结点个数：

2.4 二叉树叶子结点个数：

2.5 二叉树第k层结点个数：

2.6 二叉树深度/高度：

2.7 二叉树查找值为x的结点:

2.8 二叉树的销毁：

2.9 二叉树的层序遍历：

三判断是否为完全二叉树：

四二叉树性质选择题：

一二叉链的概念与结构：

1.1 概念：

用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

1.2 结构：

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

回顾二叉树：

二叉树分为空树和非空二叉树，非空二叉树由根结点、根结点的左子树、根结点的右子树组成的。根结点的左子树和右子树分别又是由子树结点、子树结点的左子树、子树结点的右子树组成的，因此二叉树定义是递归式的,后序链式二叉树的操作中基本都是按照该概念实现的。

二二叉链的实现：

Tree.h

定义二叉链结构

将存储数据类型重命名

所写的函数的声明

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>typedef int BTdatatype;typedef struct BinaryTreenode
{int data;struct BinaryTreenode* left;struct BinaryTreenode* right;
}BTnode;//前序遍历
void Preorder(BTnode* root);//中序遍历
void Inorder(BTnode* root);//后序遍历
void Postorder(BTnode* root);// ⼆叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTnode* root);// ⼆叉树叶⼦结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTnode* root);// ⼆叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTnode* root, int k);//⼆叉树的深度/⾼度
int BinaryTreeDepth(BTnode* root);// ⼆叉树查找值为x的结点
BTnode* BinaryTreeFind(BTnode* root, BTdatatype x);// ⼆叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTnode** root);//层序遍历
//借助数据结构---队列
void LevelOrder(BTnode* root);

Tree.c

函数的实现方法

2.1 二叉树的构建：

二叉树的构建是递归实现的

二叉树的创建方式比较复杂，为了更好的步入到二叉树内容中，我们先手动创建一棵链式二叉树

方法：

BTNode* BuyBTNode(int val)
{BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}newnode->val = val;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;return newnode;
}BTNode* CreateTree()
{BTNode* n1 = BuyBTNode(1);BTNode* n2 = BuyBTNode(2);BTNode* n3 = BuyBTNode(3);BTNode* n4 = BuyBTNode(4);BTNode* n5 = BuyBTNode(5);BTNode* n6 = BuyBTNode(6);BTNode* n7 = BuyBTNode(7);n1->left = n2;n1->right = n4;n2->left = n3; n4->left = n5; n4->right = n6; n5->left = n7; return n1;
}

2.2 二叉树的遍历：

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
1）前序遍历(先序遍历)：访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之前
访问顺序为：根结点、左⼦树、右⼦树
2）中序遍历：访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之中（间）
访问顺序为：左⼦树、根结点、右⼦树
3）后序遍历：访问根结点的操作发⽣在遍历其左右⼦树之后
访问顺序为：左⼦树、右⼦树、根结点

2.2.1 前序遍历：

核心思想就是递归：先递推，再回归

传入根节点，依据前序遍历根左右的规则，先打印根节点，然后再将左结点当做一课新树的根节点进行相同操作，右子树同理为递推，当root==NULL时，直接返回为回归。

图解：

代码：

void Preorder(BTnode* root)
{if (root == NULL){return;}printf("%d ", root->data);Preorder(root->left);Preorder(root->right);
}

2.2.2 中序遍历：

原理同前序遍历：（访问顺序为：左⼦树、根结点、右⼦树）

//中序遍历
void Inorder(BTnode* root)
{if (root == NULL){return;}Inorder(root->left);printf("%d ", root->data);Inorder(root->right);}

2.2.3 后序遍历：

原理同前序遍历：（访问顺序为：左⼦树、右⼦树、根结点）

//后序遍历
void Postorder(BTnode* root)
{if (root == NULL){return;}Postorder(root->left);Postorder(root->right);printf("%d ", root->data);}

2.3 二叉树结点个数：

求二叉树结点个数，即当下结点+左子树+右子树

当结点某一子树为空时，返回0即可，递推结束

// ⼆叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTnode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return 1 + BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}

2.4 二叉树叶子结点个数：

叶子结点度为0

要求叶子结点，就是求左右子树叶子结点之和，依次递推下去

满足叶子结点条件或是某一子树为空结束递推

// ⼆叉树叶⼦结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTnode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

2.5 二叉树第k层结点个数：

求第k层节点个数，即将根结点设为k,每递推一层，便将k-1, 当k==1时说明已经递推到第k层了，此时若不是空结点，返回1，若遇到空节点，返回0，然后在回归时将它们加起来即可。

// ⼆叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTnode* root, int k)
{if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

2.6 二叉树深度/高度：

要求高度，即子树高度的最大值+1，子树高度的最大值又是其子树高度最大值+1，以此类推当递推到空节点时结束——>返回0（空节点不算高度）

回归时每次返回左右子树高度取最大值+1

//⼆叉树的深度/⾼度
int BinaryTreeDepth(BTnode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int leftdep = BinaryTreeDepth(root->left);int rightdep = BinaryTreeDepth(root->right);return leftdep > rightdep ? leftdep + 1 : rightdep + 1;}

2.7 二叉树查找值为x的结点:

分为左右子树查找，依次递推即可

结束条件为空：说明在这一路径上没有找到

结束条件找到了返回结点指针即可

// ⼆叉树查找值为x的结点
BTnode* BinaryTreeFind(BTnode* root, BTdatatype x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTnode* leftfind = BinaryTreeFind(root->left,x);if (leftfind){return leftfind;}BTnode* rightfind = BinaryTreeFind(root->right,x);if (rightfind){return rightfind;}return NULL;
}

2.8 二叉树的销毁：

先销毁左右子树，最后销毁根节点

当为空时，不用销毁直接返回

// ⼆叉树销毁
//将本来指向根节点的root指针改为空，所以传二级指针（一级指针也可以，只不过在调用完记得把root置为空）
void BinaryTreeDestory(BTnode** root)
{if (*root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(&((*root)->left));BinaryTreeDestory(&((*root)->right));free(*root);*root = NULL;}

2.9 二叉树的层序遍历：

除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2 层上的结点，接着是第3层的结点，以此类推，自上而下，自左而右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

由于递归会沿着一边路径一直递归下去，所以显然不能使用递归！

实现层序遍历需要额外借助数据结构：队列

图解：

1.创建并初始化队列，注意将队列结点存储的数据类型更改
2.插入的是指向结点的指针，而不是结点的值，否则找不到结点的左右孩子，所以队列结点存储的数据类型为struct BTNode*
3.首先将指向根节点的指针入队列，保存后并打印结点的值
4.根节点出队列，保证每一次取到的队列的头都是新的
5.如果根节点左右孩子不为空就将其入队列，为空则无必要，不需要打印NULL
6.重复上述操作直到队列为空

//层序遍历
//借助数据结构---队列
void LevelOrder(BTnode* root)
{Queue q;Queueinit(&q);Queuepush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){//取队头，打印BTnode* front = QueueFront(&q);printf("%d ", front->data);QueuePop(&q);//队头节点的左右孩子入队列if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)Queuepush(&q, front->right);}//队列为空QueueDestroy(&q);
}

三判断是否为完全二叉树：

使用层序遍历
1.左右结点不管是否为空，都入队列
2.第一个循环用来取二叉树第一个NULL结点前的所有数据：

         如果是完全二叉树，跳出此循环后剩下的都是NULL结点
         如果是非完全二叉树，跳出此循环后还有非空结点

3.第二个循环用来判断此时队列里是否有非空的指针

    如果直到队列为空跳出循环说明全是空指针，返回true
    反之返回false


//判断二叉树是否为完全二叉树
//---队列
bool BinaryTreeComplete(BTnode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTnode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}//队列不一定为空while (!QueueEmpty(&q)){BTnode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}

四二叉树性质选择题：

选 B。

性质：度为0结点个数==度为2结点个数+1

选 A。

2n为偶数，由二叉树的定义可知，树中必定存在度为0的结点和度为2的结点，设度为0结点有a个，根据度为0的结点(即叶子结点)总比度为2的结点多一个，得度为2的结点有a-1个。

再根据完全二叉树的定义，度为1的结点有0个或1个

设度为1的结点有0个，a+0+a-1=2n，得2a=2n-1，由于结点个数必须为整数，假设不成立；

设度为1的结点有1个，a+1+a-1=2n，得a=n，即叶子结点个数为n。

选B。

由2^9-1<531<2^10-1

说明第九层填满，第十层没有填满

选B。

由二叉树的定义可知，树中必定存在度为0的结点和度为2的结点，设度为0结点有a个，根据度为0的结点(即叶子结点)总比度为2的结点多一个，得度为2的结点有a-1个。
再根据完全二叉树的定义，度为1的结点有0个或1个
假设度1结点为0个，a+0+a-1=767，得2a=768，即叶子结点个数为384
当度为1的结点为1个时，a+1+a-1=767，不为整数，舍去。