一个基于连续时间多智能体系统（Multi-Agent Systems, MAS）的一阶一致性协议的MATLAB仿真代码，包含网络拓扑建模、一致性协议设计和收敛性分析。代码支持固定拓扑和时变拓扑，适用于学术研究。

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1. 基础模型与代码框架

(1) 网络拓扑建模（图论）

假设有 (N) 个智能体，通过无向图 (G = (V, E)) 连接，邻接矩阵为 (A)，度矩阵为 (D)，拉普拉斯矩阵 (L = D - A)。

% 生成一个包含5个节点的环形拓扑
N = 5;
A = zeros(N, N);
for i = 1:NA(i, mod(i, N)+1) = 1;A(mod(i, N)+1, i) = 1;
end
L = diag(sum(A, 2)) - A; % 拉普拉斯矩阵

参考代码

(2) 一阶一致性协议

智能体动态模型：
[
\dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}i} (x_i(t) - x_j(t))
]
目标：所有 (x_i(t)) 收敛到初始状态的均值 (\bar{x} = \frac{1}{N}\sum{i=1}^N x_i(0)).

% 初始状态
x0 = [3; -1; 4; 0; 2]; % 每个智能体的初始状态% 仿真参数
tspan = [0 10]; % 时间范围
dt = 0.01;      % 时间步长% 定义动力学方程
odefun = @(t, x) -L * x;
[t, x] = ode45(odefun, tspan, x0);% 绘制收敛曲线
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x_i(t)');
title('一阶一致性协议收敛过程');
grid on;

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2. 离散时间一致性协议

若需离散时间模型（如通信间隔固定）：
[
x_i(k+1) = x_i(k) + \epsilon \sum_{j \in \mathcal{N}i} (x_j(k) - x_i(k))
]
其中 (\epsilon) 为步长参数（需满足 (0 < \epsilon < 1/\Delta{\text{max}})，(\Delta_{\text{max}}) 为最大节点度）。

% 参数设置
epsilon = 0.1;  % 需满足收敛条件
max_iter = 100; % 最大迭代次数% 初始化
x = x0;
x_history = zeros(N, max_iter+1);
x_history(:, 1) = x0;% 离散时间迭代
for k = 1:max_iterx = x - epsilon * L * x;x_history(:, k+1) = x;
end% 绘制结果
figure;
plot(0:max_iter, x_history');
xlabel('Iteration');
ylabel('State x_i(k)');
title('离散时间一致性协议收敛过程');

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3. 含领导者的分层一致性

假设存在一个领导者（编号为1），其他智能体跟踪领导者状态：
[
\dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}i} (x_i - x_j) - b_i (x_i - x{\text{leader}})
]
其中 (b_i = 1) 表示智能体 (i) 能直接接收领导者信息，否则 (b_i = 0).

% 定义领导者状态（假设为常数）
x_leader = 5;% 构建反馈矩阵 B
B = diag([1, 0, 0, 0, 0]); % 只有智能体1能观测到领导者% 修改拉普拉斯矩阵为 L + B
L_leader = L + B;% 动力学方程
odefun_leader = @(t, x) -L_leader * x + B * x_leader * ones(N, 1);
[t_leader, x_leader_sim] = ode45(odefun_leader, tspan, x0);% 绘制结果
figure;
plot(t_leader, x_leader_sim);
hold on;
plot(t_leader, x_leader*ones(size(t_leader)), 'k--', 'LineWidth', 2);
title('含领导者的分层一致性');
legend('Agent 1', 'Agent 2', 'Agent 3', 'Agent 4', 'Agent 5', 'Leader');

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4. 时变拓扑一致性

模拟动态变化的网络拓扑（如随机切换的通信链路）：

% 生成两个不同的拓扑（示例：环形和星型）
A1 = A; % 环形拓扑（之前的邻接矩阵）
A2 = [0 1 1 1 1;  % 星型拓扑（中心节点1）1 0 0 0 0;1 0 0 0 0;1 0 0 0 0;1 0 0 0 0];
L1 = diag(sum(A1,2)) - A1;
L2 = diag(sum(A2,2)) - A2;% 定义时变拓扑函数（每2秒切换一次）
L_time_varying = @(t) (mod(t,4) < 2) * L1 + (mod(t,4) >= 2) * L2;% 动力学方程（使用ode45）
odefun_tv = @(t, x) -L_time_varying(t) * x;
[t_tv, x_tv] = ode45(odefun_tv, tspan, x0);% 绘制结果
figure;
plot(t_tv, x_tv);
title('时变拓扑下的一致性收敛');

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5. 收敛性分析

(1) 理论验证

• 连续系统：拉普拉斯矩阵 (L) 的特征值决定收敛速度。若图连通，则 (L) 有单个零特征值，其余特征值实部正。
• 离散系统：需满足 ( \epsilon < \frac{2}{\lambda_{\text{max}}(L)} ).

% 计算拉普拉斯矩阵特征值
eig_L = eig(L);
disp('拉普拉斯矩阵特征值:');
disp(eig_L);% 验证离散系统收敛条件
lambda_max = max(eig(L));
epsilon_max = 2 / lambda_max;
fprintf('离散系统允许的最大步长: %.4f\n', epsilon_max);

(2) 数值验证

• 检查最终状态是否收敛到初始均值：

final_states = x(end, :);
mean_initial = mean(x0);
disp(['理论均值: ', num2str(mean_initial)]);
disp(['仿真终值: ', num2str(mean(final_states))]);

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6. 扩展功能与改进方向

1. 高阶一致性（二阶动力学）：

   % 二阶模型：位置和速度一致性
   % 状态向量为 [x1, v1, x2, v2, ..., xN, vN]^T
   L_kron = kron(L, [0 0; 1 1]); % 扩展拉普拉斯矩阵
   odefun_second_order = @(t, z) [z(2:2:end); -L_kron * z];
   

2. 时延补偿：在协议中加入通信时延项：
   [
   \dot{x}i(t) = -\sum{j \in \mathcal{N}_i} (x_i(t-\tau) - x_j(t-\tau))
   ]
   使用 dde23 求解时延微分方程。

3. 鲁棒一致性：考虑噪声或不确定性的影响：

   odefun_noise = @(t, x) -L * x + 0.1*randn(N,1);
   

4. 分布式事件触发控制：减少通信频率：

   % 定义事件触发条件（例如状态误差超过阈值）
   event_threshold = 0.01;
   

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7. 完整代码示例（一阶连续系统）

% 多智能体一致性仿真（基础版）
clc; clear; close all;% 1. 网络拓扑生成（随机图）
N = 6;                          % 智能体数量
A = rand(N,N) > 0.7;            % 随机邻接矩阵（概率0.7连接）
A = triu(A,1) + triu(A,1)';     % 对称化
A(1:N+1:end) = 0;               % 去除自环
L = diag(sum(A,2)) - A;         % 拉普拉斯矩阵% 2. 初始状态
x0 = 10*randn(N,1);             % 随机初始状态% 3. 仿真参数
tspan = [0 15];
options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-9);% 4. 求解微分方程
[t, x] = ode45(@(t,x) -L*x, tspan, x0, options);% 5. 绘制结果
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State');
title('多智能体一致性仿真');
grid on;% 6. 验证收敛到均值
final_mean = mean(x(end,:));
initial_mean = mean(x0);
fprintf('初始均值: %.4f\n终值均值: %.4f\n', initial_mean, final_mean);

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代码输出说明

• 图1：各智能体状态随时间收敛到一致值。
• 终端输出：显示初始均值与仿真终值均值，验证收敛正确性。

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参考文献

1. Olfati-Saber, R., & Murray, R. M. (2004). Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays. IEEE Transactions on Automatic Control.
2. Ren, W., & Beard, R. W. (2008). Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control. Springer.

通过修改网络拓扑、协议参数或动力学模型，可扩展此代码用于复杂场景研究（如无人机编队、智能电网频率同步等）。