Booth Encoding vs. Non-Booth Multipliers —— 穿透 DC 架构看乘法器的底层博弈

🧭 前言

🌱 1. Non-Booth 乘法器的实现原理（也叫常规乘法器）

🔧 构建方式

✍️ 例子：4x4 Non-Booth 乘法器示意

🧱 硬件结构

✅ 特点总结

⚡ 2. Booth Encoding（布斯编码）乘法器

🧠 核心思想

✨ 举例：Radix-4 Booth（每两位一组）

📐 Booth 操作编码表（Radix-4）

🔧 硬件结构简图

✅ 特点总结

🏛️ 3. 在 Synopsys DC 中的使用策略

默认行为：

控制变量：

🧪 4. 如何验证 DC 选择了哪种乘法器？

方法一：Datapath Debug Log

方法二：report datapath structure

🎯 总结

🔚 延伸阅读

🧭 前言

在 datapath 构建阶段，乘法器是最重要的资源单元之一。

面积最大
时序瓶颈集中
能力决定系统吞吐

而 Synopsys Design Compiler (DC) 在构建乘法器结构时，核心决策之一就是：

❓是否采用 Booth Encoding？
❓如果不采用，怎么构建标准 non-Booth 乘法器？

这并不是一个简单选择，而是涉及多个维度的性能平衡。我们现在就从最底层原理开始：

🌱 1. Non-Booth 乘法器的实现原理（也叫常规乘法器）

🔧 构建方式

假设我们要计算两个无符号 4-bit 数相乘：

A = a3 a2 a1 a0  
B = b3 b2 b1 b0

我们需要构建如下的部分积（partial products）：

P0 = A * b0        --> A AND b0 (bitwise)
P1 = A * b1 << 1   --> A AND b1, shift left 1
P2 = A * b2 << 2   --> A AND b2, shift left 2
P3 = A * b3 << 3   --> A AND b3, shift left 3

最终的乘法结果是：

Result = P0 + P1 + P2 + P3

也就是说，n-bit × n-bit 的 non-Booth 乘法器需要生成 n 个部分积，然后加起来。

✍️ 例子：4x4 Non-Booth 乘法器示意

假设：

A = 4'b1101 (13)
B = 4'b1010 (10)

部分积：

P0 = 1101 & 0 = 0000
P1 = 1101 & 1 = 1101 << 1 = 11010
P2 = 1101 & 0 = 00000
P3 = 1101 & 1 = 1101 << 3 = 1101000

最终加起来：

Result = 0 + 11010 + 0 + 1101000 = 10000010 = 130

🧱 硬件结构

每一项 A * bi 是 AND gates
每个结果之间的加法使用 Carry-Save Adders（CSA）
最后一级使用 Carry-Propagate Adder（CPA）

非 Booth 的乘法器结构如下图逻辑（文字图）：

    A * b0         A * b1        A * b2         A * b3|             |             |              |↓↓↓           ↓↓↓           ↓↓↓            ↓↓↓+----------+   +----------+   +----------+   +----------+| Shifter  |-->| Shifter  |-->| Shifter  |-->| Shifter  |+----------+   +----------+   +----------+   +----------+|              |              |               |+--------------+--------------+---------------+|Multi-Adder Tree

✅ 特点总结

维度	Non-Booth
部分积数量	n 个
面积	较大
延迟	多级加法器
符号位支持	需要扩展和修复
构建复杂度	中等
优点	实现简单，易调试
缺点	延迟长，乘法器大

⚡ 2. Booth Encoding（布斯编码）乘法器

Booth 是一种对乘法输入进行重编码的方式，可以减少部分积数量，进而降低延迟与面积。

🧠 核心思想

原始每个位做部分积太浪费。

Booth 把乘数 B 分组，比如两个一组，做符号差分编码，从而一组表示 3 种操作：

00 → 0
01 → +A
10 → -A
11 → 0（或特殊处理）

这样就可以跳过很多 "0" 操作，生成更少部分积。

✨ 举例：Radix-4 Booth（每两位一组）

假设：

B = b3 b2 b1 b0 = 1001 (9)
扩展为 b4=0
组合： (b4,b3,b2), (b2,b1,b0)
组1: 010 → +A
组2: 100 → -2A

所以只生成两组：

+A shift by 2
-2A shift by 0

相比非 Booth 的 4 个部分积，这里只用 2 个！

📐 Booth 操作编码表（Radix-4）

组值 (x2, x1, x0)	操作
000	0
001	+A
010	+A
011	+2A
100	-2A
101	-A
110	-A
111	0

🔧 硬件结构简图

  Booth Encoder → Booth Selector (0, +A, -A, +2A, -2A)↓Partial Products↓Adder Tree (Wallace or Dadda)

✅ 特点总结

维度	Booth Encoding
部分积数量	减半：n/2
延迟	更短
面积	较小（加法器更深但数量少）
符号位支持	天然支持有符号数！
实现复杂度	高（需要编码器+符号处理）
优点	高性能，面积节省，支持负数
缺点	实现复杂，调试难，corner case 多

🏛️ 3. 在 Synopsys DC 中的使用策略

Design Compiler 会在 datapath 构建阶段自动选择：

默认行为：

有符号乘法 → Booth 优先
目标路径在 critical timing path → Booth 强制使用
常数乘法 → 不用 Booth，而是移位+加法特化

控制变量：

set_app_var datapath_enable_booth true

更精细控制：

set_app_var datapath_prefer_booth_multiplier true
set_app_var datapath_force_non_booth_multiplier false

你也可以用 constraint 引导：

set_multicycle_path -from A -to B -prefer_booth

🧪 4. 如何验证 DC 选择了哪种乘法器？

方法一：Datapath Debug Log

set_app_var datapath_debug_level 5
compile_design

会看到 log 中出现：

Info: Booth encoding applied to multiplier A * B

或

Warning: Fallback to non-Booth multiplier due to bit width mismatch

方法二：report datapath structure

report_datapath -design my_block

会显示 multiplier 类型和数量。

🎯 总结

比较维度	Non-Booth	Booth
部分积数量	n	n/2
结构复杂度	中等	高（需要编码器）
支持负数	手动符号扩展	✅天然支持
面积	较大	较小
延迟	多级累加	更少级数
调试	简单	较复杂（corner case 多）