奇异值分解（SVD）的输入和输出

• 输入：一个任意的矩阵 $A$，尺寸为 $m\times n$（其中 $m$ 是行数，$n$ 是列数，可以是矩形矩阵，不必是方阵）。

奇异值分解（SVD）得到的三个矩阵 $U$、$\Sigma$ 和 $V^T$ 各有其特定的意义和用途，下面我简要说明它们的作用：

1. $U$（左奇异向量矩阵）：

   • 是一个 $m\times m$ 的正交矩阵，列向量是矩阵 $A{A}^T$ 的特征向量。
   • 作用：表示原始矩阵 $A$ 在行空间（样本空间）中的主方向或基向量。简单来说，$U$ 的列向量描述了数据在行维度上的“模式”或“结构”。
   • 应用：在降维中，$U$ 的前几列可以用来投影数据到低维空间，保留主要信息（如在图像处理中提取主要特征）。

2. $\Sigma$（奇异值矩阵）：

   • 是一个 $m\times n$ 的对角矩阵，对角线上的值是奇异值（singular values），按降序排列，非负。
   • 作用：奇异值表示原始矩阵 $A$ 在每个主方向上的“重要性”或“能量”。较大的奇异值对应更重要的特征，较小的奇异值对应噪声或次要信息。
   • 应用：通过选择前 $k$ 个较大的奇异值，可以实现降维，丢弃不重要的信息（如数据压缩、去噪）。

3. $V^T$（右奇异向量矩阵的转置）：

   • 是 $V$ 的转置，$V$ 是一个 $n\times n$ 的正交矩阵，列向量是矩阵 $A^{T}A$ 的特征向量。
   • 作用：表示原始矩阵 $A$ 在列空间（特征空间）中的主方向或基向量。简单来说，$V$ 的列向量描述了数据在列维度上的“模式”或“结构”。
   • 应用：类似 $U$，$V$ 的前几列可以用来投影数据到低维空间，提取主要特征。

整体作用：

• 结合起来，$A=U\Sigma V^T$ 意味着原始矩阵 $A$ 可以被分解为一系列主方向（$U$ 和 $V$）和对应的权重（$\Sigma$）的组合。这种分解揭示了数据的内在结构。
• 主要应用：
  • 降维：通过保留前 $k$ 个奇异值及其对应的 $U$ 和 $V$ 的列向量，可以近似重建 $A$，减少数据维度（如 PCA 的基础）。
  • 数据压缩：如图像压缩，丢弃小的奇异值以减少存储空间。
  • 去噪：小的奇异值往往对应噪声，丢弃它们可以提高数据质量。
  • 推荐系统：如矩阵分解，用于预测用户评分矩阵中的缺失值。

简单来说，$U$、$\Sigma$ 和 $V^T$ 提供了数据的核心结构信息，帮助我们在保留主要信息的同时简化数据处理。

• 输出：SVD 将矩阵 $A$ 分解为三个矩阵的乘积形式，即 $A=U\Sigma V^T$，其中：
  • $U$：一个 $m\times m$ 的正交矩阵，列向量是 $A{A}^T$ 的特征向量，称为左奇异向量矩阵。
  • $\Sigma$：一个 $m\times n$ 的对角矩阵，对角线上的元素是非负的奇异值（singular values），通常按降序排列，表示 $A$ 的“重要性”或“能量”。
  • $V^T$：一个 $n\times n$ 的正交矩阵的转置，$V$ 的列向量是 $A^{T}A$ 的特征向量，称为右奇异向量矩阵。

奇异值的应用

奇异值分解（SVD）后，原始矩阵 $A$ 被分解为 $A=U\Sigma V^T$，这种分解是等价的，意味着通过 $U$、$\Sigma$ 和 $V^T$ 的乘积可以完全重构原始矩阵 $A$，没有任何信息损失。

但在实际应用中，我们通常不需要保留所有的奇异值和对应的向量，而是可以通过筛选规则选择排序靠前的奇异值及其对应的向量来实现降维或数据压缩。以下是这个过程的核心思想：

1. 奇异值的排序：

   • 在 $\Sigma$ 矩阵中，奇异值（对角线上的值）是按降序排列的。靠前的奇异值通常较大，代表了数据中最重要的信息或主要变化方向；靠后的奇异值较小，代表次要信息或噪声。
   • 奇异值的大小反映了对应向量对原始矩阵 $A$ 的贡献程度。

2. 筛选规则：

   • 我们可以根据需求选择保留前 $k$ 个奇异值（$k$ 是一个小于原始矩阵秩的数），并丢弃剩余的较小奇异值。
   • 常见的筛选规则包括：
     • 固定数量：直接选择前 $k$ 个奇异值（例如，前 10 个）。
     • 累计方差贡献率：计算奇异值的平方（代表方差），选择累计方差贡献率达到某个阈值（如 95%）的前 $k$ 个奇异值。
     • 奇异值下降幅度：观察奇异值下降的“拐点”，在下降明显变缓的地方截断。

3. 降维与近似：

   • 保留前 $k$ 个奇异值后，我们只取 $U$ 矩阵的前 $k$ 列（记为 $U_k$，尺寸为 $m\times k$）、$\Sigma$ 矩阵的前 $k$ 个奇异值（记为 ${\Sigma }_k$，尺寸为 $k\times k$）、以及 $V^T$ 矩阵的前 $k$ 行（记为 $V_k^T$，尺寸为 $k\times n$）。
   • 近似矩阵为 $A_k=U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$，这个矩阵是原始矩阵 $A$ 的低秩近似，保留了主要信息，丢弃了次要信息或噪声。
   • 这种方法在降维（如主成分分析 PCA）、图像压缩、推荐系统等领域非常常用。

4. 对应的向量：

   • $U$ 的列向量和 $V$ 的列向量分别对应左右奇异向量。保留前 $k$ 个奇异值时，$U_k$ 的列向量代表数据在行空间中的主要方向，$V_k$ 的列向量代表数据在列空间中的主要方向。
   • 这些向量与奇异值一起，构成了数据的主要“模式”或“结构”。

总结：SVD 分解后原始矩阵是等价的，但通过筛选排序靠前的奇异值和对应的向量，我们可以实现降维，保留数据的主要信息，同时减少计算量和噪声影响。这种方法是许多降维算法（如 PCA）和数据处理技术的基础。

实际案例

在机器学习中，如果对训练集进行 SVD 降维后训练模型，而测试集的特征数量与降维后的训练集不一致（测试集仍保持原始特征数量），该如何处理？

1. 问题分析

• 训练集降维：假设训练集有 1000 个样本，50 个特征，通过 SVD 降维后保留 $k=10$ 个特征，得到形状为 (1000, 10) 的新数据。模型基于这 10 个特征进行训练。
• 测试集问题：测试集假设有 200 个样本，仍然是 50 个特征。如果直接输入测试集到模型中，特征数量不匹配（模型期望 10 个特征，测试集有 50 个），会导致错误。
• 核心问题：如何确保测试集也能被正确地降维到与训练集相同的 $k$ 个特征空间？

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2. 解决方案：对测试集应用相同的变换

在机器学习中，降维（如 SVD、PCA 等）是一种数据预处理步骤。训练集和测试集必须经过相同的变换，以确保数据分布一致。具体到 SVD，步骤如下：

1. 训练阶段：对训练集 $X_{train}$ 进行 SVD 分解，得到 $U$, $\Sigma$, 和 $V^T$，并保存 $V^T$ 矩阵（或其前 $k$ 行）用于降维变换。
2. 测试阶段：使用从训练集得到的 $V^T$ 矩阵，将测试集 $X_{test}$ 投影到相同的低维空间，得到降维后的测试数据。
3. 原因：$V^T$ 矩阵定义了从原始特征空间到低维特征空间的映射关系，测试集必须使用相同的映射以保持一致性。

数学上，假设训练集 SVD 分解为 $X_{train}=U\Sigma V^T$，我们保留前 $k$ 个奇异值对应的 $V_k^T$（形状为 $k\times 50$）。测试集降维公式为：
$$X_{test\_reduced}=X_{test}\cdot V_k^T.T$$
其中 $V_k^T.T$ 是 $V_k^T$ 的转置（形状为 $50\times k$），$X_{test}$ 是形状为 (n_test, 50) 的测试集矩阵，降维后 $X_{test\_reduced}$ 的形状为 (n_test, k)。

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3. 为什么不能对测试集单独做 SVD？

• 如果对测试集单独进行 SVD，会得到不同的 $V^T$ 矩阵，导致测试集和训练集的低维空间不一致，模型无法正确处理测试数据。
• 训练集的 $V^T$ 矩阵代表了训练数据的特征映射规则，测试集必须遵循相同的规则，否则会引入数据泄漏或不一致性问题。

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4. 代码示例：训练集和测试集的 SVD 降维

以下是一个完整的代码示例，展示如何对训练集进行 SVD 降维，训练模型，并对测试集应用相同的降维变换。

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score# 设置随机种子以便结果可重复
np.random.seed(42)# 模拟数据：1000 个样本，50 个特征
n_samples = 1000
n_features = 50
X = np.random.randn(n_samples, n_features) * 10  # 随机生成特征数据
y = (X[:, 0] + X[:, 1] > 0).astype(int)  # 模拟二分类标签# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
print(f"训练集形状: {X_train.shape}")
print(f"测试集形状: {X_test.shape}")# 对训练集进行 SVD 分解
U_train, sigma_train, Vt_train = np.linalg.svd(X_train, full_matrices=False)
print(f"Vt_train 矩阵形状: {Vt_train.shape}")# 选择保留的奇异值数量 k
k = 10
Vt_k = Vt_train[:k, :]  # 保留前 k 行，形状为 (k, 50)
print(f"保留 k={k} 后的 Vt_k 矩阵形状: {Vt_k.shape}")# 降维训练集：X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
print(f"降维后训练集形状: {X_train_reduced.shape}")# 使用相同的 Vt_k 对测试集进行降维：X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
print(f"降维后测试集形状: {X_test_reduced.shape}")# 训练模型（以逻辑回归为例）
model = LogisticRegression(random_state=42)
model.fit(X_train_reduced, y_train)# 预测并评估
y_pred = model.predict(X_test_reduced)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"测试集准确率: {accuracy}")# 计算训练集的近似误差（可选，仅用于评估降维效果）
X_train_approx = U_train[:, :k] @ np.diag(sigma_train[:k]) @ Vt_k
error = np.linalg.norm(X_train - X_train_approx, 'fro') / np.linalg.norm(X_train, 'fro')
print(f"训练集近似误差 (Frobenius 范数相对误差): {error}")

6. 实际操作中的注意事项

1. 标准化数据：在进行 SVD 之前，通常需要对数据进行标准化（均值为 0，方差为 1），以避免某些特征的量纲差异对降维结果的影响。可以使用 sklearn.preprocessing.StandardScaler。

   from sklearn.preprocessing import StandardScaler
   scaler = StandardScaler()
   X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
   X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
   

   注意：scaler 必须在训练集上 fit，然后对测试集只用 transform，以避免数据泄漏。

2. 选择合适的 $k$：可以通过累计方差贡献率（explained variance ratio）选择 $k$，通常选择解释 90%-95% 方差的 $k$ 值。代码中可以计算：

   explained_variance_ratio = np.cumsum(sigma_train**2) / np.sum(sigma_train**2)
   print(f"前 {k} 个奇异值的累计方差贡献率: {explained_variance_ratio[k-1]}")
   

3. 使用 sklearn 的 TruncatedSVD：sklearn 提供了 TruncatedSVD 类，专门用于高效降维，尤其适合大规模数据。它直接计算前 $k$ 个奇异值和向量，避免完整 SVD 的计算开销。

   from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
   svd = TruncatedSVD(n_components=k, random_state=42)
   X_train_reduced = svd.fit_transform(X_train)
   X_test_reduced = svd.transform(X_test)
   print(f"累计方差贡献率: {sum(svd.explained_variance_ratio_)}")
   

@浙大疏锦行