数据结构--AVL树

前言

AVL树的特点

AVL树的插入

节点的定义

情况分析

AVL树的旋转

右单旋

左单旋

左右双旋

右左双旋

编辑总结

验证AVL树

前言

二叉搜索树可以帮助我们以极高的效率查找(理想情况下是logn)，但是当在极端情况下，比如当树中的节点值是有序的时，二叉搜索树会变成一个单枝树，相当于一个链表，于是乎为了让树更接近与一个完全二叉树，想着当向二叉搜索树中插入新节点后，让每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1就可以降低树的高度从而提高效率，于是就有了AVL树。

AVL树的特点

每个节点的左右子树都是AVL树
左右子树高度差(平衡因子)的绝对值不超过1

AVL树的插入

节点的定义

static class TreeNode {public int val;public TreeNode left;public TreeNode right;public int bf;//平衡因子public TreeNode parent;public TreeNode(int val) {this.val = val;}}

//平衡因子=右子树高度-左子树高度

情况分析

因为AVL树也是二叉搜索树，所以先按照二叉搜索树的方式插入一个节点cur，但是当cur被插入后，其父节点parent的平衡因子必定会发生变化(左右子树高度差必定发生变化)，所以每次插入节点后都需要更新平衡因子，并且检查AVL树的结构是否被破坏。情况可以分为以下几种

cur插入之前parent的平衡因子会有三种可能'-1' ,'0' ,'1'

当cur插入到parent的左边时parent的平衡因子-1
当cur插入到parent的右边时parent的平衡因子+1

cur插入之后parent的平衡因子可能会有五种可能‘-1’，‘+1’，‘0’，‘-2’，‘+2’

如果cur插入后parent的平衡因子是0，说明插入之前它的平衡因子是正负1，所以插入后才可能被调整为0，此时cur成功插入
如果cur插入后parent的平衡因子是正负1，说明插入之前它的平衡因子是0，所以插入后才可能被调整为正负1，此时以parent为根的树高度增加了，上面节点的平衡因子可能会被打破所以需要继续向上更新
如果cur插入后parent的平衡因子是正负2，则说明以parent为根的树不符合AVL树的性质，需要对其进行调整，既旋转

插入节点

TreeNode node = new TreeNode(val);//如果根节点为空直接插入if (root == null) {root = node;return true;}TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while (cur != null) {if (val > cur.val) {parent = cur;cur = cur.right;} else if (val < cur.val) {parent = cur;cur = cur.left;} else {return false;}}//cur == nullif (val > parent.val) {parent.right = node;} else if (val < parent.val) {parent.left = node;}

调整parent的平衡因子

//调整cur = node;node.parent = parent;while (parent != null) {//如果cur是父节点的右孩子，父节点的平衡因子就加一，否则减一if (cur == parent.right) {parent.bf++;} else {parent.bf--;}//判断平衡因子if (parent.bf == 0) {//已经平衡break;} else if (parent.bf == 1 || parent.bf == -1) {//继续向上调整cur = parent;parent = cur.parent;} else {if (parent.bf == 2) {//右树高，需要降低右树高度(说明cur插到了parent的右边)if (cur.bf == 1) {//左单旋} else if (cur.bf == -1) {//右左双旋}//左树高，需要降低左树高度} else {//parent.bf == -2(说明cur插到了parent的左边)if (cur.bf == -1) {//右单旋} else if (cur.bf == 1) {//左右双旋}}break;}}

AVL树的旋转

右单旋

当新节点插入较高左子树的左侧

上图是一个简单的右旋，当新节点10插入到30的左子树时(这里是左子树)，破坏了avl树的平衡节点50的平衡因子变成-2，表示左子树比右子树高2，所以我们需要降低左子树，提高右子树。既将50节点向右旋转到30节点的左边(因为50比三十大，只能在30的右边)，此时这颗AVL树就平衡了(别忘了修改平衡因子bf)

但是实际插入中的AVL树的结构可能不会和上图这样简单比如：

30的右边可能已经有节点了

0是新插入的节点插到了30的左子树的左侧，破坏了AVL树的平衡，使50节点的平衡因子变成-2，所以和刚刚一样我们需要降低左树，抬高右树，我们让50节点向右旋转，但是此时30节点的右边已经有了一个节点(也可能是30的右子树的根)，不过这个节点一定是大于30小于50的，所以我们只需要将这个节点放到50节点的左边，然后再将50节点放到30节点的右边即可，最后修改平衡因子。

50可能是其他节点的左右子树或者根节点

如果50是根节点那么当旋转完成后要更新根节点，如果50是其父节点的左孩子，那么要让30节点变成50原父节点的左孩子，右孩子则相反

代码

public void rotateRight(TreeNode parent) {TreeNode pParetn = parent.parent;//记录parent的父节点TreeNode subL = parent.left;//parent的左孩子TreeNode subLR = subL.right;//parent的左孩子的右孩子parent.left = subLR;if (subLR != null) {subLR.parent = parent;}subL.right = parent;parent.parent = subL;//检查当前parent是不是根节点//是根节点的话直接让subL为根节点if (parent == root) {root = subL;root.parent = null;} else {//不是根节点，就判断parent是其父节点的左孩子还是右孩子if (parent == pParetn.left) {//parent是左孩子，就让subL也是左孩子pParetn.left = subL;} else {pParetn.right = subL;}subL.parent = pParetn;}subL.bf = 0;parent.bf = 0;}

首先先标记右旋所需要的节点，然后开始右旋，过程和前文一样

将subLR作为parent的左孩子(就算subLR为空也无所谓)
判断subL是否有右孩子(subLR) ，有的话就令subLR的父节点位parent
让subL的右节点为parent
让parent的父节点为subLR
旋转完成后判断parent是否是根节点是的话，更新根节点，有父节点的话则让subL为parent父节点的孩子
最后修改平衡因子

右旋代码既图解

左单旋

当新节点插入较高右子树的右侧

左单旋的方法和右单旋一样，只是方向不一样，具体过程参考右单旋

代码及图解

private void rotateLeft(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;parent.right = subRL;subR.left = parent;if (subRL != null) {subRL.parent = parent;}TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subR;//检查当前parent是不是rootif (parent == root) {root = subR;root.parent = null;} else {//不是rootif (pParent.right == parent) {pParent.right = subR;} else {pParent.left = subR;}subR.parent = pParent;}parent.bf = 0;subR.bf = 0;}

左旋

首先先标记左旋所需要的节点，然后开始左旋
将subRL作为parent的右孩子
判断subR的左孩子是否为空，如果不为空则令subR的左孩子(subRL)的父节点为parent
令subR的左孩子为parent
令parent的parent为subR
旋转完成后判断parent是否是根节点是的话，更新根节点，有父节点的话则让subR为parent父节点的孩子
最后修改平衡因子

左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧

这种情况无法通过直接左旋或者右旋使树平衡，需要先左旋再右旋，通过左旋把树变成左子树较高的情况然后再右旋

可以看到只是右旋达不到平衡的结果

先左旋再右旋

private void rotateLR(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;int bf = subLR.bf;rotateLeft(parent.left);rotateRight(parent);if (bf == 1) {subL.bf = 0;subLR.bf = 0;parent.bf = 1;} else if (bf == -1) {subL.bf = -1;subLR.bf = 0;parent.bf = 0;}}

以上面的例子说明当bf==1时说明新节点插到45左边，bf==-1时说明新节点插到45右边

bf==-1时旋转结果

右左双旋

新节点插到较高右子树的左侧

private void rotateRL(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;int bf = subRL.bf;rotateRight(parent.right);rotateLeft(parent);if (bf == 1) {parent.bf = -1;subR.bf = 0;subRL.bf = 0;} else if (bf == -1) {parent.bf = 0;subR.bf = 1;subRL.bf = 0;}}

总结

当新节点插入后如果树不平衡，既parent的平衡因子为-2或者2

1.parent的平衡因子为2，说明右树高

如果SubR(右子树)的平衡因子为1，说明新节点插入较高右子树的右侧，执行左单旋
如果SubR的平衡因子为-1，说明新节点插入到较高右子树的左侧，执行右左双旋

2.parent的平衡因子为-2，说明左树高

如果SubL的平衡因子为-1，说明新节点插入到了较高左子树的左边，执行有右选
如果SubL的平衡因子为1，说明新节点插入到了较高左子树的右边，执行左右双旋

验证AVL树

验证AVL树只需要判断每个节点的左右子树高度差的绝对值都小于一就行

public int height(TreeNode node) {if (node == null) {return 0;}int left = height(node.left);int right = height(node.right);return left > right ? left + 1 : right + 1;}public Boolean isbalanced(TreeNode root) {if (root == null) {return true;}//求左右子树高度int left = height(root.left);int right = height(root.right);if (root.bf != right - left) {return false;}return Math.abs(left - right) <= 1&& isbalanced(root.left)&& isbalanced(root.right);}public static void main(String[] args) {int[] array = {17, 4, 8, 6, 17, 25, 17, 19, 10};AVLTree avlTree = new AVLTree();for (int i=0;i<array.length;++i){avlTree.insert(array[i]);}boolean ret = avlTree.isbalanced(avlTree.root);System.out.println(ret);}

综上，AVL树其实就是一个相对平衡的二叉搜索树，每个节点的左右子树高度差的绝对值都小于一，这样可以使其查找的时间复杂度稳定为O(logN)，但是也因为其在进行修改操作时比如插入删除，需要对树进行多次旋转，使其修改变得及其麻烦。所以，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(修改操作较少或不修改)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合

以上就是博主对AVL树知识的分享，在之后的博客中会陆续分享有关数据结构的其他知识，如果有不懂的或者有其他见解的欢迎在下方评论或者私信博主，也希望可以多多支持博主！！🥰🥰