B+树节点与插入操作

设计B+树节点

在设计B+树的数据结构时，我们首先需要定义节点的格式，这将帮助我们理解如何进行插入、删除以及分裂和合并操作。以下是对B+树节点设计的详细说明。

节点格式概述

所有的B+树节点大小相同，这是为了后续使用自由列表机制。即使当前阶段不处理磁盘数据，一个具体的节点格式仍然是必要的，因为它决定了节点的字节大小以及何时应该分裂一个节点。

节点组成部分

1. 固定大小的头部（Header）：

   • 包含节点类型（叶节点或内部节点）。
   • 包含键的数量（nkeys）。

2. 子节点指针列表（仅内部节点有）：

   • 每个内部节点包含指向其子节点的指针列表。

3. KV对列表：

   • 包含键值对（key-value pairs），对于叶节点是实际数据，对于内部节点则是用于导航的键。

4. 到KV对的偏移量列表：

   • 用于支持KV对的二分查找，通过记录每个KV对在节点中的位置来加速查找过程。

节点格式示例：

type	nkeys	pointers	offsets	key-values	unused
2B	2B	nkeys * 8B	nkeys * 2B	…	…

每个KV对的格式如下：

klen	vlen	key	val
2B	2B	…	…

简化与限制

为了专注于学习基础知识，而不是创建一个真实的数据库系统，这里做出了一些简化：

• 叶节点和内部节点使用相同的格式，尽管这会导致一些空间浪费（例如，叶节点不需要指针，内部节点不需要存储值）。
• 内部节点的分支数为𝑛时，包含𝑛个键，每个键都是从相应子树的最小键复制而来。实际上，对于𝑛个分支只需要𝑛−1个键。额外的键主要是为了简化可视化。
• 设置节点大小为4KB，这是典型的操作系统页面大小。然而，键和值可能非常大，超过单个节点的容量。解决这个问题的方法包括外部存储大型KVs或使节点大小可变，但这些不是基础问题的核心部分，因此我们将通过限制KV大小来避免这些问题，确保它们总是能适应于一个节点内。

这种设计使得我们可以集中精力于理解和实现B+树的基本操作，如插入、删除、分裂和合并，同时保持代码的简洁性和易理解性。

const HEADER = 4
const BTREE_PAGE_SIZE = 4096
const BTREE_MAX_KEY_SIZE = 1000
const BTREE_MAX_VAL_SIZE = 3000
func init() {node1max := HEADER + 8 + 2 + 4 + BTREE_MAX_KEY_SIZE + BTREE_MAX_VAL_SIZEassert(node1max <= BTREE_PAGE_SIZE) // maximum KV
}

键大小限制

键大小的限制也确保了内部节点总是能够容纳至少2个键。这对于维持B+树的结构完整性非常重要。

内存中的数据类型

在我们的代码中，一个节点只是一个按这种格式解释的字节块。从内存移动数据到磁盘时，没有序列化步骤会更简单。

type BNode []byte // 可以直接写入磁盘

解耦数据结构与IO

在设计B+树时，无论是内存中的还是磁盘上的数据结构，都需要进行空间的分配和释放。通过使用回调函数，我们可以将这些操作抽象出来，形成数据结构与其他数据库组件之间的边界。

回调机制的设计

以下是Go语言中定义的BTree结构示例，它展示了如何通过回调来管理磁盘页面：

type BTree struct {// 指针（非零页号）root uint64// 管理磁盘页面的回调函数get  func(uint64) []byte // 解引用一个指针new  func([]byte) uint64 // 分配一个新的页面（写时复制）del  func(uint64)        // 释放一个页面
}

对于磁盘上的B+树，数据库文件是一个由页号（指针）引用的页面（节点）数组。我们将按照以下方式实现这些回调：

• get：从磁盘读取一个页面。
• new：分配并写入一个新的页面（采用写时复制的方式）。
• del：释放一个页面。

这种方法允许我们以统一的方式处理内存和磁盘上的数据结构，同时保持代码的清晰和模块化。

为了操作B+树节点的字节格式，我们需要定义一些辅助函数来解析和访问节点中的数据。以下是基于节点格式的详细实现。

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节点格式回顾

因为Node的类型就是[]byte，我们可以定义一些辅助函数来解析和访问节点中的数据。

type	nkeys	pointers	offsets	key-values	unused
2B	2B	nkeys * 8B	nkeys * 2B	…	…

每个键值对（key-value pair）的格式为：

klen	vlen	key	val
2B	2B	…	…

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辅助函数的实现

我们将为节点定义以下辅助函数：

1. 解析头部信息：获取节点类型和键的数量。
2. 访问指针列表：用于内部节点的子节点指针。
3. 访问偏移量列表：用于快速定位键值对。
4. 解析键值对：从偏移量中提取键和值。

解析头部信息

节点头部包含两部分：

• type（2字节）：节点类型（叶节点或内部节点）。
• nkeys（2字节）：键的数量。

const (BNODE_NODE = 1 // internal nodes without values BNODE_LEAF = 2 // leaf nodes with values
)
func (node BNode) btype() uint16 {return binary.LittleEndian.Uint16(node[0:2])
}
func (node BNode) nkeys() uint16 {return binary.LittleEndian.Uint16(node[2:4])
}func (node BNode) setHeader(btype uint16, nkeys uint16) {binary.LittleEndian.PutUint16(node[0:2], btype)binary.LittleEndian.PutUint16(node[2:4], nkeys)
}

子节点

// pointers
func (node BNode) getPtr(idx uint16) uint64 {//assert(idx < node.nkeys())pos := HEADER + 8*idxreturn binary.LittleEndian.Uint64(node[pos:])
}
func (node BNode) setPtr(idx uint16, val uint64) {
//assert(idx < node.nkeys())pos := HEADER + 8*idxbinary.LittleEndian.PutUint64(node[pos:], val)
}

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解析节点中的键值对与偏移量

在B+树的节点中，键值对（KV pairs）是紧密排列存储的。为了高效地访问第n个键值对，我们引入了偏移量列表，以实现O(1)的时间复杂度来定位键值对，并支持节点内的二分查找。

以下是相关代码和解释：

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1. 偏移量列表

偏移量列表用于快速定位键值对的位置。每个偏移量表示相对于第一个键值对起点的字节位置（即键值对的结束位置）。通过偏移量列表，我们可以直接跳到指定的键值对，而无需逐一遍历整个节点。

// 计算偏移量列表中第idx个偏移量的位置
func offsetPos(node BNode, idx uint16) uint16 {assert(1 <= idx && idx <= node.nkeys()) // 确保索引有效return HEADER + 8*node.nkeys() + 2*(idx-1)
}// 获取第idx个偏移量
func (node BNode) getOffset(idx uint16) uint16 {if idx == 0 {return 0 // 第一个键值对的起始偏移量为0}return binary.LittleEndian.Uint16(node[offsetPos(node, idx):])
}// 设置第idx个偏移量
func (node BNode) setOffset(idx uint16, offset uint16) {pos := offsetPos(node, idx)binary.LittleEndian.PutUint16(node[pos:], offset)
}

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2. 键值对的位置计算

kvPos函数返回第n个键值对相对于整个节点的字节偏移量。它结合了偏移量列表的信息，使得可以直接定位键值对。

// 返回第idx个键值对的位置
func (node BNode) kvPos(idx uint16) uint16 {assert(idx <= node.nkeys()) // 确保索引有效return HEADER + 8*node.nkeys() + 2*node.nkeys() + node.getOffset(idx)
}

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3. 获取键和值

通过kvPos函数，我们可以轻松提取键值对中的键和值。

// 获取第idx个键
func (node BNode) getKey(idx uint16) []byte {assert(idx < node.nkeys()) // 确保索引有效pos := node.kvPos(idx)klen := binary.LittleEndian.Uint16(node[pos:]) // 键长度return node[pos+4 : pos+4+uint16(klen)]        // 跳过klen和vlen字段
}// 获取第idx个值
func (node BNode) getVal(idx uint16) []byte {assert(idx < node.nkeys()) // 确保索引有效pos := node.kvPos(idx)klen := binary.LittleEndian.Uint16(node[pos:])       // 键长度vlen := binary.LittleEndian.Uint16(node[pos+2:])     // 值长度return node[pos+4+uint16(klen) : pos+4+uint16(klen)+uint16(vlen)]
}

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4. 节点大小

nbytes函数通过访问最后一个键值对的结束位置，可以方便地计算节点中已使用的字节数。

// 返回节点的大小（已使用字节数）
func (node BNode) nbytes() uint16 {return node.kvPos(node.nkeys())
}

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5. 节点内查找操作

节点内的查找操作是B+树的核心功能之一，既支持范围查询也支持点查询。以下是一个基于线性扫描的实现，未来可以替换为二分查找以提高效率。

// 返回第一个满足 kid[i] <= key 的子节点索引
func nodeLookupLE(node BNode, key []byte) uint16 {nkeys := node.nkeys()found := uint16(0)// 第一个键是从父节点复制来的，因此总是小于等于keyfor i := uint16(1); i < nkeys; i++ {cmp := bytes.Compare(node.getKey(i), key)if cmp <= 0 {found = i // 更新找到的索引}if cmp >= 0 {break // 找到大于等于key的键时停止}}return found
}

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这种设计不仅提高了节点操作的效率，还为后续扩展（如二分查找和插入删除操作）奠定了坚实的基础。

更新 B+ 树节点

在 B+ 树中，更新节点的操作涉及插入键值对、复制节点（Copy-on-Write）、以及处理内部节点的链接更新。以下是详细的设计和实现。

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1. 插入到叶节点

插入键值对到叶节点的过程包括以下步骤：

1. 使用 nodeLookupLE 找到插入位置。
2. 创建一个新节点，并将旧节点的内容复制到新节点中，同时插入新的键值对。

// 向叶节点插入一个新的键值对
func leafInsert(new BNode, old BNode, idx uint16,key []byte, val []byte,
) {// 设置新节点的头部信息（类型为叶节点，键的数量增加1）new.setHeader(BNODE_LEAF, old.nkeys()+1)// 复制旧节点中 [0, idx) 范围内的键值对到新节点nodeAppendRange(new, old, 0, 0, idx)// 在新节点的 idx 位置插入新的键值对nodeAppendKV(new, idx, 0, key, val)// 复制旧节点中 [idx, nkeys) 范围内的键值对到新节点nodeAppendRange(new, old, idx+1, idx, old.nkeys()-idx)
}

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2. 节点复制函数

为了支持高效的节点复制操作，我们定义了两个辅助函数：

• nodeAppendKV：将单个键值对插入到指定位置。
• nodeAppendRange：将多个键值对从旧节点复制到新节点。

2.1 插入单个键值对

// 将一个键值对插入到指定位置
func nodeAppendKV(new BNode, idx uint16, ptr uint64, key []byte, val []byte) {// 设置指针（仅内部节点需要）new.setPtr(idx, ptr)// 获取当前键值对的位置pos := new.kvPos(idx)// 写入键长度binary.LittleEndian.PutUint16(new[pos+0:], uint16(len(key)))// 写入值长度binary.LittleEndian.PutUint16(new[pos+2:], uint16(len(val)))// 写入键copy(new[pos+4:], key)// 写入值copy(new[pos+4+uint16(len(key)):], val)// 更新下一个键的偏移量new.setOffset(idx+1, new.getOffset(idx)+4+uint16(len(key)+len(val)))
}

2.2 复制多个键值对

// 将多个键值对从旧节点复制到新节点
func nodeAppendRange(new BNode, old BNode,dstNew uint16, srcOld uint16, n uint16,
) {for i := uint16(0); i < n; i++ {srcIdx := srcOld + idstIdx := dstNew + i// 复制键值对key := old.getKey(srcIdx)val := old.getVal(srcIdx)nodeAppendKV(new, dstIdx, old.getPtr(srcIdx), key, val)}
}

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3. 更新内部节点

对于内部节点，当子节点被分裂时，可能需要更新多个链接。我们使用 nodeReplaceKidN 函数来替换一个子节点链接为多个链接。

// 替换一个子节点链接为多个链接
func nodeReplaceKidN(tree *BTree, new BNode, old BNode, idx uint16,kids ...BNode,
) {inc := uint16(len(kids)) // 新增的子节点数量// 设置新节点的头部信息（类型为内部节点，键的数量增加 inc-1）new.setHeader(BNODE_NODE, old.nkeys()+inc-1)// 复制旧节点中 [0, idx) 范围内的键值对到新节点nodeAppendRange(new, old, 0, 0, idx)// 插入新的子节点链接for i, node := range kids {// 为每个子节点分配页号，并插入其第一个键作为边界键nodeAppendKV(new, idx+uint16(i), tree.new(node), node.getKey(0), nil)}// 复制旧节点中 [idx+1, nkeys) 范围内的键值对到新节点nodeAppendRange(new, old, idx+inc, idx+1, old.nkeys()-(idx+1))
}

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4. 关键点总结

1. Copy-on-Write：

   • 每次修改节点时，都会创建一个新节点并复制旧节点的内容。这种设计确保了数据的一致性和持久性。

2. 插入逻辑：

   • 叶节点的插入通过 leafInsert 实现，而内部节点的更新通过 nodeReplaceKidN 实现。
   • 在插入过程中，键值对的顺序必须保持一致，因为偏移量列表依赖于前一个键值对的位置。

3. 回调机制：

   • tree.new 回调用于分配新的子节点页号，这使得我们可以灵活地支持内存和磁盘上的存储。

4. 扩展性：

   • 当前实现基于线性扫描，未来可以通过二分查找优化查找效率。
   • 支持多链接更新，方便处理子节点分裂的情况。

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示例用法

以下是一个简单的例子，展示如何向叶节点插入键值对：

func ExampleLeafInsert() {// 创建一个旧节点old := make(BNode, 4096)old.setHeader(BNODE_LEAF, 0)// 创建一个新节点new := make(BNode, 4096)// 插入键值对leafInsert(new, old, 0, []byte("key1"), []byte("value1"))// 验证插入结果fmt.Printf("Key: %s, Value: %s\n", new.getKey(0), new.getVal(0))
}

分裂 B+ 树节点

在 B+ 树中，由于每个节点的大小受到页面限制（BTREE_PAGE_SIZE），当一个节点变得过大时，我们需要将其分裂为多个节点。最坏情况下，一个超大的节点可能需要被分裂为 3 个节点。

以下是详细的设计和实现。

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1. 分裂逻辑概述

1.1 节点分裂的基本规则

• 如果节点的大小小于等于 BTREE_PAGE_SIZE，则无需分裂。
• 如果节点的大小超过 BTREE_PAGE_SIZE，我们首先尝试将其分裂为两个节点：
  • 左节点：包含前半部分数据。
  • 右节点：包含后半部分数据。
• 如果左节点仍然过大，则需要进一步分裂为三个节点：
  • 左左节点：包含左节点的前半部分数据。
  • 中间节点：包含左节点的后半部分数据。
  • 右节点：保持不变。

1.2 返回值

• 函数返回分裂后的节点数量（1、2 或 3）以及对应的节点数组。

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2. 实现细节

2.1 nodeSplit2 函数

该函数将一个超大的节点分裂为两个节点，确保右节点始终适合一个页面。

// 将超大的节点分裂为两个节点
func nodeSplit2(left BNode, right BNode, old BNode) {nkeys := old.nkeys()half := nkeys / 2// 复制前半部分到左节点left.setHeader(old.NodeType(), half)nodeAppendRange(left, old, 0, 0, half)// 复制后半部分到右节点right.setHeader(old.NodeType(), nkeys-half)nodeAppendRange(right, old, 0, half, nkeys-half)
}

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2.2 nodeSplit3 函数

该函数处理节点的完整分裂逻辑，返回 1 至 3 个节点。

// 分裂一个过大的节点，结果是 1~3 个节点
func nodeSplit3(old BNode) (uint16, [3]BNode) {if old.nbytes() <= BTREE_PAGE_SIZE {// 如果节点大小符合限制，则无需分裂old = old[:BTREE_PAGE_SIZE]return 1, [3]BNode{old, nil, nil} // 返回单个节点}// 创建临时节点left := BNode(make([]byte, 2*BTREE_PAGE_SIZE)) // 左节点可能需要再次分裂right := BNode(make([]byte, BTREE_PAGE_SIZE))// 第一次分裂：将旧节点分裂为左节点和右节点nodeSplit2(left, right, old)if left.nbytes() <= BTREE_PAGE_SIZE {// 如果左节点大小符合限制，则返回两个节点left = left[:BTREE_PAGE_SIZE]return 2, [3]BNode{left, right, nil}}// 如果左节点仍然过大，则需要第二次分裂leftleft := BNode(make([]byte, BTREE_PAGE_SIZE))middle := BNode(make([]byte, BTREE_PAGE_SIZE))// 第二次分裂：将左节点分裂为左左节点和中间节点nodeSplit2(leftleft, middle, left)// 验证分裂结果assert(leftleft.nbytes() <= BTREE_PAGE_SIZE)// 返回三个节点return 3, [3]BNode{leftleft, middle, right}
}

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3. 关键点分析

1. 分裂条件：

   • 如果节点的大小小于等于 BTREE_PAGE_SIZE，则无需分裂。
   • 如果节点的大小超过限制，则需要进行一次或两次分裂。

2. 分裂策略：

   • 每次分裂都将节点分为两部分，确保右节点始终适合一个页面。
   • 如果左节点仍然过大，则需要进一步分裂。

3. 临时节点：

   • 分裂过程中创建的节点是临时分配在内存中的。
   • 这些节点只有在调用 nodeReplaceKidN 时才会真正分配到磁盘上。

4. 边界情况：

   • 确保左节点和右节点的大小始终符合限制。
   • 使用断言（assert）验证分裂结果的正确性。

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这种分裂机制为构建高效的 B+ 树奠定了基础，同时也为后续优化（如动态调整页面大小）提供了良好的起点。

B+ 树插入操作

在 B+ 树中，插入操作是核心功能之一。我们已经实现了以下三个节点操作：

1. leafInsert：更新叶节点。
2. nodeReplaceKidN：更新内部节点。
3. nodeSplit3：分裂超大的节点。

现在，我们将这些操作组合起来，实现完整的 B+ 树插入逻辑。插入操作从根节点开始，通过键查找直到到达目标叶节点，然后执行插入操作。

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1. 插入逻辑概述

1.1 插入流程

• 从根节点开始递归查找，找到目标叶节点。
• 如果找到的键已存在，则更新其值（leafUpdate）。
• 如果键不存在，则插入新键值对（leafInsert）。
• 如果节点过大，则进行分裂（nodeSplit3）。
• 更新父节点以反映子节点的变化（nodeReplaceKidN）。

1.2 递归处理

• 内部节点的插入是递归的，每次插入完成后返回更新后的节点。
• 如果返回的节点过大，则需要分裂，并更新父节点的链接。

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2. 实现细节

2.1 treeInsert 函数

该函数是 B+ 树插入的核心入口，负责处理递归插入和分裂逻辑。

// 插入一个键值对到节点中，结果可能需要分裂。
// 调用者负责释放输入节点并分配分裂后的结果节点。
func treeInsert(tree *BTree, node BNode, key []byte, val []byte) BNode {// 创建一个新的临时节点，允许其大小超过一页new := BNode{data: make([]byte, 2*BTREE_PAGE_SIZE)}// 查找插入位置idx := nodeLookupLE(node, key)// 根据节点类型执行不同的操作switch node.btype() {case BNODE_LEAF:// 叶节点if bytes.Equal(key, node.getKey(idx)) {// 键已存在，更新其值leafUpdate(new, node, idx, key, val)} else {// 插入新键值对leafInsert(new, node, idx+1, key, val)}case BNODE_NODE:// 内部节点nodeInsert(tree, new, node, idx, key, val)default:panic("bad node!")}return new
}

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2.2 leafUpdate 函数

leafUpdate 类似于 leafInsert，但它用于更新已存在的键值对，而不是插入重复的键。

// 更新叶节点中的现有键值对
func leafUpdate(new BNode, old BNode, idx uint16,key []byte, val []byte,
) {// 设置新节点的头部信息new.setHeader(BNODE_LEAF, old.nkeys())// 复制旧节点的内容到新节点nodeAppendRange(new, old, 0, 0, old.nkeys())// 更新指定位置的键值对pos := new.kvPos(idx)binary.LittleEndian.PutUint16(new[pos+2:], uint16(len(val))) // 更新值长度copy(new[pos+4+uint16(len(key)):], val)                      // 更新值内容
}

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2.3 nodeInsert 函数

对于内部节点，插入操作是递归的。插入完成后，需要检查子节点是否过大，并进行分裂。

// 向内部节点插入键值对
func nodeInsert(tree *BTree, new BNode, node BNode, idx uint16,key []byte, val []byte,
) {// 获取子节点的指针kptr := node.getPtr(idx)// 递归插入到子节点knode := treeInsert(tree, tree.get(kptr), key, val)// 分裂子节点nsplit, split := nodeSplit3(knode)// 释放旧的子节点tree.del(kptr)// 更新父节点的链接nodeReplaceKidN(tree, new, node, idx, split[:nsplit]...)
}

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3. 关键点分析

1. 递归与分裂：

   • 插入操作是递归的，从根节点开始，直到找到目标叶节点。
   • 每次插入完成后，如果节点过大，则需要分裂，并更新父节点的链接。

2. 内存管理：

   • 插入过程中创建的临时节点需要由调用者负责释放。
   • 使用回调函数（如 tree.new 和 tree.del）管理页面的分配和释放。

3. 分裂策略：

   • 使用 nodeSplit3 处理节点分裂，确保分裂后的节点始终符合页面大小限制。
   • 分裂后的节点数量可能是 1、2 或 3。

4. 边界情况：

   • 如果键已存在，则直接更新其值。
   • 如果插入导致根节点分裂，则需要创建新的根节点。

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4. 示例用法

以下是一个简单的例子，展示如何向 B+ 树中插入键值对：

func ExampleTreeInsert() {// 初始化 B+ 树tree := &BTree{root: 1, // 假设根节点页号为 1get: func(pageNum uint64) []byte {// 模拟从磁盘读取节点return loadFromDisk(pageNum)},new: func(data []byte) uint64 {// 模拟分配新页面return allocatePage(data)},del: func(pageNum uint64) {// 模拟释放页面deallocatePage(pageNum)},}// 插入键值对key := []byte("example_key")value := []byte("example_value")// 获取根节点rootNode := tree.get(tree.root)// 执行插入操作updatedRoot := treeInsert(tree, rootNode, key, value)// 更新根节点tree.root = tree.new(updatedRoot)
}

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5. 总结

通过上述设计和实现，我们能够高效地完成 B+ 树的插入操作。关键点包括：

• 递归插入：从根节点开始，递归查找目标叶节点。
• 分裂机制：使用 nodeSplit3 确保节点大小始终符合限制。
• 内存管理：通过回调函数管理页面的分配和释放。
• 灵活性：支持动态调整树的结构，适应不同大小的数据。

这种插入机制为构建高效的 B+ 树奠定了基础，同时也为后续优化（如批量插入、并发控制）提供了良好的起点。

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