时间复杂度

1. 什么是时间复杂度？

时间复杂度（Time Complexity）是计算算法执行时间随输入规模（n）增长的变化趋势。它衡量算法的效率，通常使用大 O 记号（Big-O notation）表示，忽略低阶项和常数系数。

2. 时间复杂度的用途

• 评估算法性能：帮助选择更高效的算法，提高程序执行速度。
• 预测程序运行时间：根据输入规模预估代码的执行时间。
• 优化代码：通过分析时间复杂度找到瓶颈，优化算法。

3. 常见时间复杂度及其排序

按照执行速度从快到慢排序如下：

时间复杂度	说明	示例
O(1)	常数时间	直接访问数组元素 arr[i]
O(log n)	对数时间	二分查找
O(n)	线性时间	遍历数组
O(n log n)	线性对数时间	快速排序、归并排序
O(n²)	平方时间	冒泡排序、选择排序
O(n³)	立方时间	三重嵌套循环
O(2ⁿ)	指数时间	递归求解斐波那契数列
O(n!)	阶乘时间	旅行商问题（TSP）暴力解法

4. 如何计算时间复杂度？

方法 1：统计基本操作次数

基本操作指的是影响运行时间的核心代码（如循环、递归调用等）。

方法 2：忽略常数项

时间复杂度关注增长趋势，忽略常数。例如：

• O(2n) 简化为 O(n)
• O(3n² + 5n + 10) 简化为 O(n²)

方法 3：只保留最高阶项

例如：O(n² + n) 取最高阶项 O(n²)。

5. 计算示例

示例 1：遍历数组

void loop(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {  // n 次执行printf("%d", arr[i]); // O(1)}
}

• 时间复杂度：O(n)

示例 2：嵌套循环

void nestedLoop(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {      // O(n)for (int j = 0; j < n; j++) {  // O(n)printf("%d", i * j); // O(1)}}
}

• 时间复杂度：O(n²)

示例 3：对数复杂度

void logComplexity(int n) {for (int i = 1; i < n; i *= 2) { // i 每次翻倍printf("%d", i);}
}

• 时间复杂度：O(log n)

示例 4：递归复杂度

int fibonacci(int n) {if (n <= 1) return n;return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

• 时间复杂度：O(2ⁿ)

6. 复杂度增长趋势（直观理解）

时间复杂度	增长趋势
O(1)	超快，固定时间
O(log n)	很快，数据翻倍时时间增加一点
O(n)	线性增长，数据翻倍，时间也翻倍
O(n log n)	接近线性，常见于高效排序
O(n²)	慢，多用于暴力解法
O(2ⁿ)	很慢，指数爆炸
O(n!)	超级慢，几乎无法计算大规模数据

7. 总结

• 遍历数组：O(n)
• 嵌套循环：O(n²)
• 二分查找：O(log n)
• 递归斐波那契：O(2ⁿ)
• 高效算法应尽量选择 O(n log n) 或更快的算法！ 🚀