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1.摘要

本文提出了一种新型的自然启发元启发式算法——真菌生长优化算法（FGO），灵感来源于真菌在自然界中的生长行为。真菌的生长行为包括菌丝生长、分枝和孢子萌发，菌丝生长行为模拟了菌丝的扩展和趋化性，能够精确探索搜索空间，并有效地发现和利用富含营养的区域，避免了局部最优解的停滞和收敛速度过慢的问题。分枝行为则模拟了新菌丝从现有菌丝侧面生长，探索周围区域寻找更多资源，增强了算法的探索能力。孢子萌发行为则代表了现有菌丝如何探索新环境，寻找更加安全且富含营养的区域。在FGO中，孢子在优化初期随机降落，以促进探索过程；随着优化进程的推进，随机位置会逐渐转变为在当前最优解和随机位置之间的某个位置，从而在促进开发的同时防止过早收敛。

2.算法原理

菌丝尖端生长行为

在适当的条件下，菌丝会沿直线扩展，探索搜索空间并寻找富含营养的区域。然而，环境和化学因素可能会导致菌丝改变生长方向。此外，菌丝的生长速度受多种因素影响，如真菌物种、环境条件（湿度、温度、营养可用性）和菌丝的年龄。通常，年轻的菌丝生长速度较快，而在富含营养的区域，菌丝可能会出现指数级的生长。相反，在营养匮乏或不利的环境中，菌丝的生长会显著减慢。

增长速度和方向：探索算子

FGO中的生长速率通过一个与当前适应度值相关的指数函数来表示，其中适应度值较高的解对应于富营养区域，适应度值较低的解则代表营养匮乏的区域：
$$\mathrm{E}=e^{\frac{f_i}{{\sum }_{k=1}^N{f}_k}}$$
FGO通过将每个解的适应度值归一化，从而减小优化过程中指数值的影响。在没有波动的情况下，生长速率对于每个适应度值是恒定的，这会导致FGO的探索行为缺乏多样性，无法精准地探索搜索空间。为了解决这个问题，将归一化后的适应度值乘以一个介于0和1之间的随机数，使生长速率出现波动：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{E}=e^F \

& F=\frac{f_i}{\sum_{k=1}^Nf_k}\cdot r_1\cdot\mathscr{C} \

& \mathscr{E}=\left(1-\frac{t}{t_max}\right)^{\left(1-\frac{t}{t_{max}}\right)}
\end{aligned}
$$

在FGO中，生长速率和方向的变化是通过动态调整来模拟真菌生长行为的。生长速率受到一个系数$E$的控制，该系数在优化初期较大，以加速搜索空间的探索；随着优化过程的推进，生长速率逐渐减小，从而促进当前解周围区域的开发。$\overrightarrow{D}$表示生长方向：
$$\overrightarrow{D}={\overrightarrow{S}}_a^t-{\overrightarrow{S}}_c^t$$

根据先前计算出的生长速率和方向，可以确定第$i$条菌丝的新的生长路径：
$${\overrightarrow{S}}_i^{t+1}={\overrightarrow{S}}_i^t+\mathrm{E}\cdot \overrightarrow{D}$$

菌丝的生长可能仅在某些维度上发生变化，而非在所有维度上均匀扩展。在FGO中，现有的菌丝生长与新的生长共同作用，根据一定的公式生成新的菌丝生长：
$$S_{i,j}^{t+1}=[R_j-r_3]S_{i,j}^t+(1-[R_j-r_3])S_{i,j}^{t+1}$$

趋化行为：开发算子

在FGO中，开发算子模拟了趋化性行为，通过化学信号引导菌丝朝向富营养区域或其他有潜力的区域，以尽可能快速地找到更好的解：
$${\overrightarrow{D}}_i^e=r_4\cdot \left({\overrightarrow{S}}_a^t-{\overrightarrow{S}}_i^t\right)$$

第$i$个菌丝向代表第一状态的最佳或随机选择的解的生长方向:
$${\overrightarrow{D}}_i^e=r_4\cdot \left({\overrightarrow{S}}_a^t-{\overrightarrow{S}}_i^t\right)+{\overrightarrow{r}}_5\odot \left(\beta \cdot {\overrightarrow{S}}^{\ast }-{\overrightarrow{S}}_i^t\right)\cdot [r_6>\mathcal{R}]$$

在富含营养的环境中，菌丝的生长速率会显著提高，菌丝朝向当前最优解或随机选择的解移动的距离越大，其生长速率也越高。
$${\eta }_i=\{\begin{array}{ll}{r}_7,t<\frac{t_{max}}{2}& \\ f_i,else& \end{array}$$

第$i$菌丝按照第一状态的新生长:
$${\overrightarrow{S}}_i^{t+1}={\overrightarrow{S}}_i^t+{\eta }_i\cdot {\overrightarrow{D}}_i^e$$

流程图

伪代码

3.结果展示

4.参考文献

[1] Abdel-Basset M, Mohamed R, Abouhawwash M. Fungal growth optimizer: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm for stochastic optimization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2025, 437: 117825.

5.代码获取