python在windows下以字符串形式写入文件时，系统会自动将字符串中的\n转成\r\rn，造成写入后的数据与实际的不符，需注意。

P11983 笔记

news/2025/12/6 10:50:35/文章来源:https://www.cnblogs.com/CTHOOH/p/19315054

非人类题，思维链跟我的 OI 生涯一样长（

题意

有一个长度为 $N$ 的序列 $A$ 和 $M$ 次询问 $(L_i, R_i)$，定义序列 $B$ 为 $B_i = \max_{j = L_i}^{R_i} A_j$，现在你需要重排 $A$ 使得 $B$ 的字典序最大。

$N, M \le 10^5$。

思路

先想有无多项式做法~

朴素暴力

字典序问题的一个经典做法就是：对于每个 $B_i$，从大往小枚举 $B_i$ 的取值，再 check 能否得到。欸？但是仔细往后推推就能发现，如果想要优化这个做法，就会有巨大的后效性，寄！

那就换一个角度：从大往小枚举取值，要让取这个取值的 $B_i$ 下标集合 $\{i\}$ 字典序最小，这样也能得到正确答案。

于是设 $c_v = \sum_{i = 1}^n [A_i = v]$，从大往小枚举 $v$，并尝试给下标最小的区间赋值成 $v$。从前往后枚举区间 $L_i, R_i$，每次 check 加进来 $i$ 后，用 $c_v$ 个点能不能使每个区间都包含至少一个数，若行就 $B_i \gets v$，否则删掉 $i$ 后继续往后做。用形式化的语言描述，设 $f(S)$ 表示 $S$ 包含的区间中最小点覆盖数量，每次判断 $f(S \cup \{[L_i, R_i]\})$ 是否 $\le c_v$，是就加入 $[L_i, R_i]$，否则跳过。

求解区间点覆盖的最小数量是经典贪心，将区间按 $L$ 排序之后贪心放右端点就行了，复杂度 $O(M)$（每次加区间时插入排序）。

在求完 $i$ 的答案后从序列中删除所有 $B_i = v$ 的区间，这样下一次求答案就不会有问题。

总复杂度可以均摊到 $O(M^2)$，可以通过 Sub 1，就不至于爆 $0$ 了（。

优化

优化的方向有两个：

能不能通过一些性质，确定区间被加入的情况（比如一些区间一定被加，或一定不被加）？
通过数据结构优化或找特殊性质，优化掉求区间点覆盖的复杂度？

先从 1 入手，容易观察到被加入的区间一定是一段前缀与后面零散的区间。而这段前缀的 $f(S)$ 一定 $< c_v$，后面零散的区间的 $f(S)$ 一定 $= c_v$。

那就考虑先求出来这段前缀吧，朴素的想法是二分，但这很容易被卡满了，需要优化。这时就有一个 Trick，叫倍增二分，用于搞一些均摊的东西。

那为什么能优化这个题呢？首先我们讲讲暴力的复杂度是怎么分析到 $O(M^2)$ 的，我们设最后 $S$ 中的 $B_i$ 变成了 $v$，那么对 $f(S)$ check 的复杂度是 $O(|S|)$ 的，这一轮的总复杂度就是 $O(M |S|)$，由于 $S$ 会在下一轮删除，故 $\sum |S| = M$，于是总复杂度就是 $O(M^2)$ 的。

倍增二分的流程是什么呢？首先对 $2^0, 2^1, 2^2$ 的前缀 check，假设终点是 $l$，就能求出 $2^l$ 前缀的 $f$ 是 $< c_v$ 的，然后在 $[2^l, 2^{l + 1})$ 这个区间二分，总复杂度就是 $O(l \cdot 2^l)$ 的，而 $|S|$ 的大小至少是 $2^l$，那这个复杂度就一点问题没有，均摊下来 $O(M \log M)$（提前将前 $2^{l + 1}$ 个区间排序，这样少一只 $\log$）。

接下来处理那些零散的区间，由于这时 $c_v = f(S)$，所以我们只需要看加入 $[L_i, R_i]$ 后 $f(S)$ 是否变化即可。这个怎么 check 呢？

那我们考虑维护一下每个点的位置，这样就能快速看一个区间能否包含这个点了。

具体而言，先按 $L_i$ 从小到大，能放就放 $R_i$ 做一遍，求出 $c_v$ 个点每个点的位置，第 $i$ 个点的位置记为 $y_i$。再按照 $R_i$ 从大到小，能放就放 $L_i$，求出第 $i$ 个点的位置 $x_i$。那么第 $i$ 个点的取值区间就是 $[x_i, y_i]$。（这应该是很好理解的，就不证了）

所有区间 $[x_i, y_i]$ 应当是无交，且满足 $y_i < x_{i + 1}$ 的。考虑加入区间 $[L, R]$ 对 $[x_i, y_i]$ 的影响：

$[L, R]$ 与任何 $[x_i, y_i]$ 都无交，这时不能加入 $[L, R]$。
$[L, R]$ 包含了某个 $[x_i, y_i]$，那么 $[L, R]$ 加入不影响 $[x_i, y_i]$ 的取值。
$[L, R]$ 与恰好一个 $[x_i, y_i]$ 有交，此时将 $[x_i, y_i]$ 更新为 $[\max(L, x_i), \min(R, y_i)]$ 即可。
$[L, R]$ 与两个 $[x_i, y_i]$ 有交，这时不能急着对某个 $[x_i, y_i]$ 取交集（因为有后效性），我们需要等待某个 $[x_i, y_i]$ 因后面的区间 $[L', R']$ 改变后，使 $[L, R]$ 只与其中一个区间有交时，再去做改变。具体地，用 set 或 priority_queue 都能维护。