第十三周：光的等厚干涉

一、实验目的

1. 观察牛顿环和空气劈尖产生的干涉现象，了解等厚干涉的特点，加深对光干涉原理的理解。
2. 掌握利用牛顿环测量平凸透镜曲率半径的原理和方法。
3. 掌握利用空气劈尖干涉测量细金属丝直径的原理和方法。
4. 学习并熟悉数显读数显微镜的结构、调节方法及读数方法。

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二、实验仪器

• 钠灯及稳压电源（波长约 $$\lambda = 589.3\ \text{nm}$$）。
• 读数显微镜（带分光镜和螺旋测微机构）。
• 牛顿环装置：平凸透镜、光学平玻璃板等。
• 空气劈尖装置：两块光学平玻璃板、待测细金属丝等。

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三、实验原理

1. 牛顿环测平凸透镜曲率半径

平凸透镜的凸面放在另一块光学平玻璃板上，两者之间形成楔薄的空气膜。用单色平行光自上方垂直入射，在空气膜上表面与下表面反射的两束光发生干涉。由于膜厚随径向距离变化，在显微镜中看到以接触点为圆心的一系列同心明暗环纹，即牛顿环。

设在距接触点为 $$r$$ 处空气膜厚为 $$\delta$$，则两束反射光的几何光程差为

\[\Delta = 2\delta + \frac{\lambda}{2} \tag{4.18-1} \]

式中 $$\lambda/2$$ 为下表面反射时的半波损失。

几何关系：

\[R^2 = r^2 + (R-\delta)^2= r^2 + R^2 - 2R\delta + \delta^2 \tag{4.18-2} \]

当 $$R \gg \delta$$ 时，忽略 $$\delta^2$$ 项：

\[\delta \approx \frac{r^2}{2R} \]

代入式 (4.18-1) 得

\[\Delta = \frac{2r^2}{2R} + \frac{\lambda}{2} \tag{4.18-3} \]

对反射光，暗纹条件为光程差是半波长的奇数倍，即

\[\Delta = (2m+1)\frac{\lambda}{2}, \qquad m=0,1,2,\cdots \]

由式 (4.18-3) 得第 $$m$$ 级暗环半径

\[\frac{2r_m^2}{2R} + \frac{\lambda}{2} = (2m+1)\frac{\lambda}{2} \tag{4.18-4} \]

整理得

\[r_m^2 = mR\lambda ,\qquad r_m = \sqrt{mR\lambda} \tag{4.18-5} \]

对第 $$m$$ 和第 $$n$$ 级暗环：

\[r_n^2 - r_m^2 = (n-m)R\lambda \tag{4.18-6} \]

故

\[R = \frac{r_n^2 - r_m^2}{(n-m)\lambda} \tag{4.18-7} \]

实际测量中常测量暗环直径而非半径，且显微镜十字叉丝位置与环心可能有偏移 $$x$$，设第 $$m$$、第 $$n$$ 级暗环的直径分别为 $$D_m,D_n$$，则有

\[D_m = 2\sqrt{r_m^2 - x^2} \tag{4.18-8} \]

\[D_n = 2\sqrt{r_n^2 - x^2} \tag{4.18-9} \]

消去 $$x$$ 得

\[R = \frac{D_n^2 - D_m^2}{4 (n-m)\lambda} \tag{4.18-10} \]

只要测出若干级暗环的直径，即可求出平凸透镜的曲率半径 $$R$$，或在已知 $$R$$ 时反求入射单色光波长 $$\lambda$$。

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2. 空气劈尖干涉测量细丝直径

两块光学平玻璃板一端接触，另一端用细金属丝垫起，使两玻璃板夹成很小的夹角，形成几何意义上的“楔形”空气层——空气劈尖。单色平行光垂直照射时，下表面与上表面反射光的光程差为

\[\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2} \tag{4.18-11} \]

其中 $$d$$ 为劈尖在某处的厚度，$$\lambda/2$$ 为下表面反射的半波损失。

在劈尖厚度为 $$d$$ 的位置形成暗纹时，应满足

\[\Delta = 2d + \frac{\lambda}{2} = (2m+1)\frac{\lambda}{2}, \qquad m=0,1,2,\cdots \tag{4.18-12} \]

整理得

\[d = m\frac{\lambda}{2} \tag{4.18-13} \]

若从劈尖顶点（两玻璃板接触线）到某一点的距离为 $$L$$，在此处劈尖厚度为 $$d$$，使暗纹级数为 $$m=N$$，则由式 (4.18-13) 得

\[d = \frac{N\lambda}{2},\qquad N = L\,m_l \tag{4.18-14} \]

其中 $$m_l$$ 为单位长度上的暗纹条数（干涉条纹密度）。若被夹细金属丝恰放在该处，则 $$d$$ 即为金属丝直径。

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3. 仪器示值误差（读数显微镜）

若用读数显微镜测量长度 $$L$$（单位 mm），在测量地点温度为 $$20\pm3^\circ\text{C}$$ 时，仪器示值误差可取为

\[\Delta L_{\text{仪}} = \pm\left(5 + \frac{L}{15}\right)\ \mu\text{m} \tag{4.18-15} \]

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四、实验操作（示例）

（一）基础性实验：牛顿环测曲率半径

1. 仪器调整

   • 按说明书熟悉读数显微镜结构和各手轮作用。
   • 打开钠灯，调节光阑和分光镜，使镜下视野均匀明亮。

2. 观察牛顿环

   • 将牛顿环装置放在显微镜物镜下方的载物台上，使平凸透镜凸面与玻璃平板接触。
   • 调节显微镜焦距与照明，使视野中出现清晰的同心环状明暗条纹。

3. 测量暗环直径

   • 选定若干级暗环（如第 5、10、15、20、25、30 级），将十字叉丝置于环的一侧边缘，读出读数显微镜刻度值。
   • 调整载物台或转动测微鼓轮，使十字叉丝移至环的另一侧边缘，再读一次刻度值。二者之差即为该环直径。
   • 对每一条选定的暗环重复上述测量 3 次，记录左右读数及求得的直径，填入数据表。

4. 可选：测量不同环级组合

   • 例如以第 5、10 级为一组，第 10、15 级为一组等，便于用式 (4.18-10) 计算多个曲率半径值。

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（二）提升性实验：空气劈尖测细丝直径

1. 形成空气劈尖

   • 在两块光学平玻璃间一端夹入细金属丝，使其边缘基本平行。
   • 将装置置于显微镜载物台上，调节光路和显微镜，使视野中出现一组平行的等厚干涉条纹。

2. 测量条纹间距（条纹密度）

   • 在劈尖的三个不同位置，选取连续 20 条暗纹，用测微器测出其总长度 $$l_k$$（$$k=1,2,3$$）。
   • 由 $$m_{l,k} = \dfrac{20}{l_k}$$ 得到单位长度上的条纹数，每处测量 1 次或多次取平均。

3. 测量劈尖长度

   • 将十字叉丝对准劈尖交线处，读出显微镜刻度 $$L_{0,k}$$；
   • 再将十字叉丝移至细金属丝所在位置，读数 $$L'_{0,k}$$，两者之差为第 $$k$$ 次测得的劈尖长度
     \[L_k = L'_{0,k} - L_{0,k}$$。 \]

   • 重复测量至少 3 次，记录 $$l_k, L_k$$ 等数据，检查读数方向一致、无明显误差。

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五、数据处理（主要公式）

1. 牛顿环实验

1. 单次测量某环直径
   若第 $$i$$ 级暗环左、右两侧读数分别为 $$x_{i,k}^{{(L)}$$、$$x_{i,k}}$$，则第 $$k$$ 次测得的直径

   \[D_{i,k} = x_{i,k}^{(R)} - x_{i,k}^{(L)} \]

2. 该环平均直径与标准差

   \[\bar D_i = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n D_{i,k} \]
   \[s_{D_i} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{k=1}^n (D_{i,k} - \bar D_i)^2} \]

3. 由两级暗环求平凸透镜曲率半径
   对第 $$m$$、第 $$n$$ 级暗环（如 5、15 级），用它们的平均直径代入式 (4.18-10)：

   \[R = \frac{\bar D_n^2 - \bar D_m^2}{4(n-m)\lambda} \]

   若得到多个 $$R_j$$，可进一步求

   \[\bar R = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N R_j,\qquad s_R = \sqrt{\frac{1}{N(N-1)}\sum_{j=1}^N (R_j - \bar R)^2} \]

4. 合成不确定度

   • 由仪器示值误差给出直径测量的不确定度；
   • 通过误差传递公式将其传递到 $$R$$，再与随机不确定度合成，给出最终结果的不确定度（书中提示：波长的不确定度近似取 $$0.1\ \text{nm}$$）。

2. 空气劈尖实验

1. 条纹密度与平均值
   对每次测量

   \[m_{l,k} = \frac{N_0}{l_k},\qquad N_0 = 20 \]

   求平均

   \[\bar m_l = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n m_{l,k},\qquad s_{m_l} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{k=1}^n (m_{l,k} - \bar m_l)^2} \]

2. 劈尖长度平均值

   \[\bar L = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n L_k,\qquad s_L = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{k=1}^n (L_k - \bar L)^2} \]

3. 暗纹总级数与细丝直径

   \[N = \bar L \,\bar m_l \]
   \[d = \frac{N\lambda}{2} \tag{同式 4.18-14} \]

4. 不确定度估算

   • 用式 (4.18-15) 计算长度测量的仪器不确定度；
   • 配合 $$\bar m_l, \bar L$$ 的随机不确定度，通过误差传递公式估算 $$d$$ 的标准不确定度。

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在此基础上，将实测数据代入上述公式，即可得到平凸透镜曲率半径和细金属丝直径的实验结果，并给出相应的不确定度分析和结论。