球缺与球台公式完整总结表
基本定义
- 球缺：球被一个平面截下的部分，形状如帽子或碗
- 球台：球被两个平行平面截下的中间部分，形状如桶或带
通用参数
- 球半径：\(R\)
- 球缺高：\(h\)
- 球台高：\(h\)
- 底面半径：\(r\)（球缺），\(r_1, r_2\)（球台）
球缺公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 体积 | \(V = \dfrac{1}{3}\pi h^2(3R - h)\) | 也可写作 \(V = \pi h^2\left(R - \dfrac{h}{3}\right)\) |
| 底面半径 | \(r = \sqrt{h(2R - h)}\) | 由勾股定理推导 |
| 曲面面积 | \(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\) | 球冠面积，不含底面 |
| 总表面积 | \(S_{\text{总}} = 2\pi R h + \pi r^2\) | 含底面面积 |
| 几何关系 | \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) | 基本勾股关系 |
球台公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 体积 | \(V = \dfrac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)\) | 对称形式，不显含 \(R\) |
| 曲面面积 | \(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\) | 球带面积，不含底面 |
| 总表面积 | \(S_{\text{总}} = 2\pi R h + \pi(r_1^2 + r_2^2)\) | 含上下底面面积 |
求球半径 \(R\)（已知 \(r_1, r_2, h\)）
三步法（推荐记忆）
- \(A = \dfrac{r_1^2 - r_2^2}{h}\)
- \(d_1 = \dfrac{A - h}{2}\)
- \(R = \sqrt{r_1^2 + d_1^2}\)
记忆口诀：
- 差方除高得A
- A减高半得d
- 勾股定理得R
总公式（完整形式）
等价形式
特殊情况
| 情况 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 对称球台 \((r_1 = r_2)\) | \(R = \sqrt{r_1^2 + \left(\dfrac{h}{2}\right)^2}\) | 球心在球台正中间 |
| 球缺情况 \((r_2 = 0)\) | \(R = \dfrac{r_1^2 + h^2}{2h}\) | 下底面半径为0时 |
| 半球缺 \((h = R)\) | \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\) | 半球体积的一半 |
重要性质
- 曲面面积统一性：\(S_{\text{曲}} = 2\pi R h\)（球缺和球台的曲面面积公式相同）
- 体积关系：球台体积 = 大球缺体积 - 小球缺体积
- 几何约束：\[\begin{aligned} r_1^2 &= R^2 - d_1^2 \\ r_2^2 &= R^2 - d_2^2 \\ h &= d_2 - d_1 \end{aligned} \]
应用说明
-
公式选择建议：
- 日常计算：优先使用三步法，避免记忆复杂总公式
- 理论推导：使用总公式进行符号运算
- 特殊情况：使用对应的简化公式
-
验证方法：
计算得到的 \(R\) 应同时满足：\[\begin{aligned} R^2 &= r_1^2 + d_1^2 \\ R^2 &= r_2^2 + (d_1 + h)^2 \end{aligned} \] -
几何意义：
- \(A = d_1 + d_2\)：上下底面到球心的距离之和
- \(d_1\)：上底面到球心的距离（可正可负）
- 当 \(d_1 < 0\) 时，球心位于球台下方
球缺与球台公式的数学证明
以下是球缺和球台所有主要公式的详细证明过程，采用LaTeX格式编写：
球缺公式证明
1. 球缺体积公式证明
方法一：旋转体积分法
建立坐标系：球心在原点，球方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)
球缺高度为 \(h\)，顶点在 \((0,0,R)\)，底面在 \(z = R-h\)
在高度 \(z\) 处截面半径：\(\rho^2 = R^2 - z^2\)
截面面积：\(A(z) = \pi\rho^2 = \pi(R^2 - z^2)\)
体积积分：
\begin{align}
V &= \int_{R-h}^{R} A(z) dz = \int_{R-h}^{R} \pi(R^2 - z^2) dz \
&= \pi \left[ R^2z - \frac{1}{3}z^3 \right]_{R-h}^{R} \
&= \pi \left( \frac{2}{3}R^3 - \left[ R^2(R-h) - \frac{1}{3}(R-h)^3 \right] \right) \
&= \pi \left( \frac{2}{3}R^3 - R^3 + R^2h + \frac{1}{3}R^3 - R^2h + Rh^2 - \frac{1}{3}h^3 \right) \
&= \pi \left( Rh^2 - \frac{1}{3}h^3 \right) = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)
\end{align}
方法二：球缺体积公式的几何推导
球缺体积 = 球扇形体积 - 圆锥体积
球扇形体积：\(V_{\text{扇形}} = \frac{2}{3}\pi R^2 h\)
圆锥体积：\(V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3}\pi r^2 (R-h)\)
其中 \(r^2 = h(2R-h)\)
代入得：
\begin{align}
V &= \frac{2}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi h(2R-h)(R-h) \
&= \frac{1}{3}\pi h \left[ 2R^2 - (2R-h)(R-h) \right] \
&= \frac{1}{3}\pi h \left[ 2R^2 - (2R^2 - 3Rh + h^2) \right] \
&= \frac{1}{3}\pi h (3Rh - h^2) = \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h)
\end{align}
2. 球缺底面半径公式证明
剖面图中，球心、底面圆心和底面边缘点构成直角三角形
应用勾股定理：
\begin{align}
r^2 + (R-h)^2 &= R^2 \
r^2 &= R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) \
&= 2Rh - h^2 = h(2R - h)
\end{align}
3. 球缺曲面面积（球冠面积）证明
球面方程：\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)
曲线 \(x = \sqrt{R^2 - z^2}\) 绕 z 轴旋转形成球面
弧长微分：
旋转曲面面积公式：
\begin{align}
S &= \int_{R-h}^{R} 2\pi x ds \
&= \int_{R-h}^{R} 2\pi \sqrt{R^2 - z^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} dz \
&= \int_{R-h}^{R} 2\pi R dz = 2\pi R [z]_{R-h}^{R} = 2\pi R h
\end{align}
球台公式证明
1. 球台体积公式证明
方法一：积分法
球台介于平面 \(z = a\) 和 \(z = a+h\) 之间
截面半径：\(\rho^2 = R^2 - z^2\)
截面面积：\(A(z) = \pi(R^2 - z^2)\)
体积积分：
利用几何关系：\(r_1^2 = R^2 - a^2\)，\(r_2^2 = R^2 - (a+h)^2\)
两式相加：
\begin{align}
r_1^2 + r_2^2 &= 2R^2 - 2a^2 - 2ah - h^2 \
R^2 - a^2 - ah &= \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{2}
\end{align}
代回体积表达式：
\begin{align}
V &= \pi h \left( \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{2} - \frac{1}{3}h^2 \right) \
&= \pi h \left( \frac{r_1^2 + r_2^2}{2} + \frac{h^2}{6} \right) \
&= \frac{1}{6}\pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)
\end{align}
方法二：球缺体积差法
球台体积 = 大球缺体积 - 小球缺体积
大球缺高：\(H_2 = R + a + h\)
小球缺高：\(H_1 = R + a\)
体积：
\begin{align}
V &= \frac{1}{3}\pi H_2^2(3R - H_2) - \frac{1}{3}\pi H_1^2(3R - H_1) \
&= \frac{1}{3}\pi \left[ (R+a+h)^2(2R-a-h) - (R+a)^2(2R-a) \right]
\end{align}
展开整理后可得相同结果
2. 球台曲面面积（球带面积）证明
与球冠面积证明类似，积分区间变为 \(z = a\) 到 \(z = a+h\)
面积积分：
\begin{align}
S &= \int_{a}^{a+h} 2\pi x ds \
&= \int_{a}^{a+h} 2\pi \sqrt{R^2 - z^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - z^2}} dz \
&= \int_{a}^{a+h} 2\pi R dz = 2\pi R [z]_{a}^{a+h} = 2\pi R h
\end{align}
3. 球台求球半径公式证明
已知 \(r_1, r_2, h\)，求 \(R\)
设上底面到球心距离为 \(d_1\)，下底面到球心距离为 \(d_2\)
几何关系：
\begin{cases}
r_1^2 = R^2 - d_1^2 \
r_2^2 = R^2 - d_2^2 \
d_2 - d_1 = h
\end{cases}
前两式相减：
\begin{align}
r_1^2 - r_2^2 &= (R^2 - d_1^2) - (R^2 - d_2^2) \
&= d_2^2 - d_1^2 = (d_2 - d_1)(d_2 + d_1) \
&= h(d_2 + d_1)
\end{align}
解得：
联立方程：
\begin{cases}
d_2 - d_1 = h \
d_1 + d_2 = \frac{r_1^2 - r_2^2}{h}
\end{cases}
解得：
\begin{align}
d_1 &= \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} - h \right) \
d_2 &= \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} + h \right)
\end{align}
代入 \(r_1^2 = R^2 - d_1^2\) 得：
\begin{align}
R &= \sqrt{r_1^2 + d_1^2} \
&= \sqrt{r_1^2 + \left[ \frac{1}{2}\left( \frac{r_1^2 - r_2^2}{h} - h \right) \right]^2}
\end{align}
特殊情况证明
1. 对称球台 (\(r_1 = r_2\)) 球半径公式
当 \(r_1 = r_2\) 时，\(r_1^2 - r_2^2 = 0\)
代入一般公式：
\begin{align}
R &= \sqrt{r_1^2 + \left[ \frac{1}{2}\left( 0 - h \right) \right]^2} \
&= \sqrt{r_1^2 + \left( \frac{h}{2} \right)^2}
\end{align}
2. 球缺 (\(r_2 = 0\)) 球半径公式
当 \(r_2 = 0\) 时，代入一般公式：
这些证明展示了球缺和球台公式的数学基础，揭示了这些几何量之间的内在联系。积分法是这些证明的核心工具，它提供了从基本原理推导复杂几何公式的系统方法。
