NOIP 集训 day3 图论1

MST 相关

知识点：

• Kruskal
• Prim
• Kruskal 重构树

洛谷 P4768 [NOI2018] 归程

经典题。先对海拔建出 kruskal 重构树，然后从起点开始通过海拔 \(>p\) 的点可达的所有点就是一个 \(v\) 的一个祖先（深度最小的满足海拔 \(>p\) 的点）的子树。然后接下来就要步行，提前预处理出每个点到 \(1\) 的最短路，相当于是一个不带修的子树查 \(\min\)，于是就做完了。

CF1508C Complete the MST

高难度题。没看懂。

CF1515F Phoenix and Earthquake

• \(n\)个城市, 有\(m\)条道路, 由于地震全部损坏了, 修复一条道路需要\(x\)吨沥青, 即这条道路的两个城市总共需要至少有\(x\)吨沥青。
• 初始第\(i\)个城市有\(a_i\)吨沥青, 问是否存在一种方案使得修完之后所有城市连通, 并构造方案。

考虑如果所有 \(a_i\) 的和 \(<(n-1)x\)，那么肯定不可能构造出一组合法方案。

否则一定会有解，归纳法证明如下：

• 如果存在一个 \(a_i\ge x\)，那么直接将他与任意一个邻居合并，就变成了 \(n-1\) 的情况。
• 否则，如果不存在 \(a_i\ge x\)，那么任意两个相邻的点 \(a_i+a_j\) 都要 \(\ge x\)。否则，我们从 \(\sum a_i\) 中把这两个点给删掉，剩下的 \(n-2\) 个点的 \(a_i\) 之和要大于 \((n-2)x\)，但是每个点的权值又 \(<x\)，所以矛盾。

构造方案即用一个堆维护当前 \(a_i\) 最大的点。然后用并查集判断连通性即可。

最短路相关

• Dijstkra
• SPFA, BellmanFord
  • 维护一个队列，每次用队列的点松弛所有相邻的点，如果松弛成功就加入队列。
  • 当一个点出队 \(n+1\) 次，说明有负环。
• Floyd

线段树优化建图

以前一直听说，但是现在才学。

例题：CF786B Legacy

一个 \(n\) 个点的有向图，初始没有边，有三种加边操作：

• 加边 \((u,v,w)\)。
• 对于所有 \(v\in[l,r]\) 加边 \((u,v,w)\)。
• 对于所有 \(u\in [l,r]\) 加边 \((u,v,w)\)。

在加完所有边之后，问给定的起点到每个点的最短路。\(n,q\le 10^5\)。

首先，我们把每个点 \(x\) 拆成 \(x_{in}\) 和 \(x_{out}\)，这是为了方便线段树优化建图。然后每个点 \(x_{in}\) 向 \(x_{out}\) 连一条边权为 \(0\) 的边。

然后，如果我们暴力对于一个区间建边，复杂度会爆。我们利用在线段树上，每个区间只会被表示为 \(O(\log n)\) 个区间的性质，从这个点的出点 \(x_{out}\)，向入点对应的线段树上的每个区间，连一条边。

这样每次操作最多引入 \(O(\log n)\) 条边，最终的边数 \(m=O(n \log n)\)，跑 Dijkstra 复杂度是 \(O(n \log n \log (n\log n))=O(n \log^2n+n\log n\log\log n)\)。

LOJ3159 「NOI2019」弹跳

如上，不过这次我们是二维的。暴力开一个树套树建出所有边空间会不够。

我们分析一下 Dijkstra 的算法过程，如果一个点被弹出了队列，相当于是说明这个点的最短路已经确定了。所以我们每次拿出一个弹跳装置时（设此时这个点的最短路为 \(w\)），我们可以暴力把他连接的所有点的最短路设为 \(w\)（因为弹跳装置与城市的边权为 \(0\)，所以他们的最短路必定相同），然后把这些点删掉。

线段树上每个节点维护一个 set 代表还在的点。每次删除一个矩形内的点。这个的空间复杂度是 \(O(n\log n)\) 的（因为 set 的空间是 \(O(n)\)）。由于这样每个城市只会被删一次，所以最后时间复杂度也是对的。