OIFC 2025.11.25 模拟赛总结

生日当天还有模拟赛（

T1 Pocky游戏

题意简述

Mdk 和 Hmr 正在吃 Pocky，她们感到有些无聊，于是决定玩一个小游戏。

现在有一根长度为 \(n\) 的 Pocky，其中从左往右数第 \(i\) 单位长度 Pocky 的美味值为 \(a_i\)。现在 Mdk 和 Hmr 决定吃掉这根 Pocky，Mdk 从左往右吃，Hmr 从右往左吃。

• Mdk 先开始吃，她会从左侧吃 \(1\) 或 \(2\) 单位长度的 Pocky。

• 接下来，如果上一个人吃了 \(k\) 单位的 Pocky，则下一个人可以吃 \(k\) 或 \(k + 1\)（如果剩余长度 \(\geq k + 1\)）单位的 Pocky。

• 如果剩下的 Pocky 长度小于 \(k\)，则这个游戏将会停止。

双方都想要最大化自己吃掉的 Pocky 的美味值减掉对方吃掉的 Pocky 的美味值，问在双方都使用最优策略的情况下，Mdk 吃掉的 Pocky 的美味值减去 Hmr 吃掉的 Pocky 的美味值将会是多少？

数据范围：\(1 \leq n \leq 4000, |a_i| \leq 10^4\)。空间限制：\(256 MB\)。

题解

类似博弈论，所以可以直接写 dfs 求解。

具体地，我们令 \(f_{l, r, k}\) 表示两个人分别到了 \(l, r\)，且上一个人走到了 \(k\)，会得到的结果。转移方程与博弈论模型类似，是 \(\max\) 里面套两个 \(\min\)。

这样做，转移是 \(\mathcal{O}(1)\) 的，但状态是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的，需要优化。

注意到 \(k\) 不会很大，因为很快就取完了。具体地，需要满足 \(\frac{k(k + 1)}{2} \leq n\)，因此 \(k\) 这一维开到 \(90\) 即可。

另一方面，两个人轮流取数，所以差不会太大。由于每次取 \(k\) 或 \(k + 1\)，所以一个回合最多差 \(1\)，即总共不会差超过 \(\sqrt{n}\)。

这样，状态就优化成 \(n \cdot \sqrt{n} \cdot \sqrt{n}\) 了，可以通过。

参考代码（记搜版）：

#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while(isdigit(ch)){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * f;
}
inline void write(int x){if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');return;
}
const int _ = 0;
int n, s[4005], val[4005][90][90][2];
bool vis[4005][90][90][2];
inline int dfs(int l, int r, int k, int p){if(vis[l][r - l + 1][k][p]) return val[l][r - l + 1][k][p];int res = ~(0^_^0);if(p == 0)if(r - l + 1 < k)res = 0;else if(r - l + 1 >= k + 1)res = max(dfs(l + k, r, k, 1) + s[l + k - 1] - s[l - 1], dfs(l + k + 1, r, k + 1, 1) + s[l + k] - s[l - 1]);elseres = dfs(l + k, r, k, 1) + s[l + k - 1] - s[l - 1];elseif(r - l + 1 < k)res = 0;else if(r - l + 1 >= k + 1)res = min(dfs(l, r - k, k, 0) - s[r] + s[r - k], dfs(l, r - (k + 1), k + 1, 0) - s[r] + s[r - (k + 1)]);elseres = dfs(l, r - k, k, 0) - s[r] + s[r - k];vis[l][r - l + 1][k][p] = true;return val[l][r - l + 1][k][p] = res;
}
signed main(){freopen("game.in", "r", stdin);freopen("game.out", "w", stdout);n = read();for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + read();write(dfs(1, n, 1, 0));return 0;
}