思路
转化一下题意，\(a_i\) 和 \(b_i\) 恰有一个限制被满足，变成在一个二分图上有一些边 \((a_i,b_i)\)，求最小点覆盖。
\(k>0\) 时可以更改一条边的一个端点，使得最大或最小化最小点覆盖。
不难发现整个图是由若干二分图联通块组成的。
当 \(k=0\) 时，对每个二分图求最小点覆盖，直接 \(O(n)\) 黑白染色。
当 \(k=1\) 时，因为有 \((\min(x_1,y_1)+\min(x_2,y_2)) = \min(x_1+x_2,x_1+y_2,x_2+y_1,x_2+y_2) \le \min(x_1+x_2,y_1+y_2)\)，这启发我们把一个块分成两个块才能使答案变小。
于是我们更改的点一定属于一条割边，然后我们考虑应该把这个端点挪移到哪里。
假如分成的两个连通块存在一个不是孤点，那么直接把更改的端点变成这个连通块里的点即可，这样做不会产生新的贡献。
如果分成的两个连通块都是孤点，那么更改这条边不会更优，代码实现上可以直接不管。
然后枚举每一条割边计算答案即可。
当 \(k=2\) 时，我们要合并两个连通块。
假如一个连通块左部点大于右部点，那么我们肯定找一个右部点大于左部点的块和它合并。每次贪心的拿右部点比左部点多的数量最多的出来匹配。
左部点数量小于右部点同理，找右部点比左部点少的数量最多的出来匹配。
所以我们枚举所有边，计算把它连给另一个连通块的贡献就行。
但是如果移动的这条边是割边，那还得额外再算分开连通块的贡献，然后再分别算分成的两个连通块和哪个连通块合并。
但是其实还有一个小问题，我们上面的不等式是基于总点数不变的。仔细阅读题面，发现我们的更改操作其实是可以新建节点的。这个问题在 \(k=1\) 的时候不会体现，因为新建节点只会让答案变大。
于是，我们还得再额外统计一下新建一个节点能产生的贡献，新建的节点必须和原节点的颜色一样。
最后记得特判 \(n=1\)，此时无论如何不会存在两个连通块。
代码
怕写挂，遂对每一个包都重新写了 Tarjan 和统计答案。
\(k=2\) 含巨量分讨，慎看。
const int N = 4e5+10;
int n,a[N],b[N];
struct{int to,nex,from;
}edge[N<<1];
int head[N],edge_num;
inline void add(int x,int y){edge[++edge_num].to = y;edge[edge_num].nex = head[x];head[x] = edge_num;edge[edge_num].from = x;
}// k = 0namespace Sub0{
int cnt[2],vis[N];
inline void dfs(int now){cnt[now>n]++;vis[now] = 1;for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){int tto = edge[i].to;if(vis[tto]) continue;dfs(tto);}
}
inline void solve(int T){int ans = 0;for(int i=1;i<=n;++i) if(!vis[a[i]]){cnt[0] = cnt[1] = 0;dfs(a[i]);ans += Min(cnt[0],cnt[1]);}for(int i=1;i<=n;++i) if(!vis[b[i]+n]){cnt[0] = cnt[1] = 0;dfs(b[i]+n);ans += Min(cnt[0],cnt[1]);}printf("%d",ans);if(T) for(int i=1;i<=n+n;++i) vis[i] = 0;
}
}// k = 1namespace Sub1{
int dfn[N],low[N],dtop,is_cut[N];
int cnt[N][2],tmp[N][2];
inline void tarjan(int now,int fu,int tp){dfn[now] = low[now] = ++dtop;int flag = 0;cnt[tp][now>n]++;for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){int tto = edge[i].to;if(!dfn[tto]){tarjan(tto,now,tp);low[now] = Min(low[now],low[tto]);if(low[tto]>dfn[now]) is_cut[tto] = 1;}else{if(tto!=fu || flag) low[now] = Min(low[now],dfn[tto]);else flag = 1;}}
}
int num,ans;
inline void get_ans(int now,int tp){tmp[now][now>n]++;for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){int tto = edge[i].to;if(tmp[tto][0]+tmp[tto][1]) continue;get_ans(tto,tp);tmp[now][0] += tmp[tto][0];tmp[now][1] += tmp[tto][1];if(is_cut[tto]){ans = Min(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])+Min(tmp[tto][0],tmp[tto][1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]));} }
}
inline void solve(int T){for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[a[i]]){cnt[a[i]][0] = cnt[a[i]][1] = 0;tarjan(a[i],a[i],a[i]);num += Min(cnt[a[i]][0],cnt[a[i]][1]);}for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[b[i]+n]){cnt[b[i]+n][0] = cnt[b[i]+n][1] = 0;tarjan(b[i]+n,b[i]+n,b[i]+n);num += Min(cnt[b[i]+n][0],cnt[b[i]+n][1]);}ans = num;for(int i=1;i<=n;++i) if(!(tmp[a[i]][0]+tmp[a[i]][1])) get_ans(a[i],a[i]);for(int i=1;i<=n;++i) if(!(tmp[b[i]+n][0]+tmp[b[i+n]][1])) get_ans(b[i]+n,b[i]+n);printf("%d",ans);if(T){dtop = num = 0;for(int i=1;i<=n+n;++i){low[i] = dfn[i] = is_cut[i] = 0;cnt[i][0] = cnt[i][1] = 0;tmp[i][0] = tmp[i][1] = 0;}}
}
}// k = 2namespace Sub2{
int dfn[N],low[N],dtop,is_cut[N];
int cnt[N][2],tmp[N][2];
inline void tarjan(int now,int fu,int tp){dfn[now] = low[now] = ++dtop;int flag = 0;cnt[tp][now>n]++;for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){int tto = edge[i].to;if(!dfn[tto]){tarjan(tto,now,tp);low[now] = Min(low[now],low[tto]);if(low[tto]>dfn[now]) is_cut[tto] = 1;}else{if(tto!=fu || flag) low[now] = Min(low[now],dfn[tto]);else flag = 1;}}
}
int minn[2],maxn[2],num,ans;
inline void get_ans(int now,int tp){tmp[now][now>n]++;for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){int tto = edge[i].to;if(tmp[tto][0]+tmp[tto][1]) continue;get_ans(tto,tp);tmp[now][0] += tmp[tto][0];tmp[now][1] += tmp[tto][1];if(is_cut[tto]){if(cnt[tp][0]-tmp[tto][0]>cnt[tp][1]-tmp[tto][1]){ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(minn[0],minn[1])+Min(tmp[tto][0],tmp[tto][1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0]+minn[0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]+minn[1]));}else{ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(maxn[0],maxn[1])+Min(tmp[tto][0],tmp[tto][1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0]+maxn[0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]+maxn[1]));}if(tmp[tto][0]>tmp[tto][1]){ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(minn[0],minn[1])+Min(tmp[tto][0]+minn[0],tmp[tto][1]+minn[1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]));}else{ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(maxn[0],maxn[1])+Min(tmp[tto][0]+maxn[0],tmp[tto][1]+maxn[1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]));}ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])+Min(tmp[tto][0]+(tto>n),tmp[tto][1]+(tto<=n))+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0],cnt[tp][1]-tmp[tto][1]));ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])+Min(tmp[tto][0],tmp[tto][1])+Min(cnt[tp][0]-tmp[tto][0]+(now>n),cnt[tp][1]-tmp[tto][1]+(now<=n)));}else{if(cnt[tp][0]>cnt[tp][1]){ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(minn[0],minn[1])+Min(cnt[tp][0]+minn[0],cnt[tp][1]+minn[1]));}else{ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])-Min(maxn[0],maxn[1])+Min(cnt[tp][0]+maxn[0],cnt[tp][1]+maxn[1]));}ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])+Min(cnt[tp][0]+1,cnt[tp][1]));ans = Max(ans,num-Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1])+Min(cnt[tp][0],cnt[tp][1]+1));}}
}
inline void solve(int T){minn[0] = 0,minn[1] = 0;maxn[0] = 0,maxn[1] = 0;for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[a[i]]){cnt[a[i]][0] = cnt[a[i]][1] = 0;tarjan(a[i],a[i],a[i]);num += Min(cnt[a[i]][0],cnt[a[i]][1]);if(minn[0]-minn[1]>cnt[a[i]][0]-cnt[a[i]][1]){minn[0] = cnt[a[i]][0];minn[1] = cnt[a[i]][1];}if(maxn[0]-maxn[1]<cnt[a[i]][0]-cnt[a[i]][1]){maxn[0] = cnt[a[i]][0];maxn[1] = cnt[a[i]][1];}}for(int i=1;i<=n;++i) if(!dfn[b[i]+n]){cnt[b[i]+n][0] = cnt[b[i]+n][1] = 0;tarjan(b[i]+n,b[i]+n,b[i]+n);num += Min(cnt[b[i]+n][0],cnt[b[i]+n][1]);if(minn[0]-minn[1]>cnt[b[i]+n][0]-cnt[b[i]+n][1]){minn[0] = cnt[b[i]+n][0];minn[1] = cnt[b[i]+n][1];}if(maxn[0]-maxn[1]<cnt[b[i]+n][0]-cnt[b[i]+n][1]){maxn[0] = cnt[b[i]+n][0];maxn[1] = cnt[b[i]+n][1];}}ans = num;for(int i=1;i<=n;++i) if(!(tmp[a[i]][0]+tmp[a[i]][1])) get_ans(a[i],a[i]);for(int i=1;i<=n;++i) if(!(tmp[b[i]+n][0]+tmp[b[i+n]][1])) get_ans(b[i]+n,b[i]+n);printf("%d",ans);if(T){dtop = num = 0;for(int i=1;i<=n+n;++i){low[i] = dfn[i] = is_cut[i] = 0;cnt[i][0] = cnt[i][1] = 0;tmp[i][0] = tmp[i][1] = 0;}}
}
}// mainint main(){// freopen("in.in","r",stdin); // freopen("out.out","w",stdout);int T,ID; read(T,ID);while(T--){read(n);for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);for(int i=1;i<=n;++i) read(b[i]);if(n==1){puts("1");continue;}for(int i=1;i<=n;++i){add(a[i],b[i]+n);add(b[i]+n,a[i]);}if(ID==0) Sub0 :: solve(T);else if(ID==1) Sub1 :: solve(T);else Sub2 :: solve(T);if(T){for(int i=1;i<=n+n;++i) head[i] = 0;edge_num = 0;putchar('\n');}}// fclose(stdin);// fclose(stdout);return 0;
}
