25.11.13联考题解

A

神人构造，随机区分度真恶心。

我们考虑将序列分成前半段限制为 \(m\) 和后半段限制为 \(m'=0\)。前面我们用 \(n,n-1,\dots,n-m+1\) 并让其合法即可，考虑后面的构造。考虑把序列分成尽量相等的三段，然后大的两段从大到小填数，最小的那一段从小到大填数。从 \(n,x,1,\dots\) 以此类推即可。

CF1443E

春堂提。考虑 \(\sum x\le2\times10^{10}<14!\)，所以会变的只有最后 15 个数，我们记录一个 \(t\) 表示当前是字典序第 \(t\) 的排列，然后暴力计算每一位即可。

保持连接

考虑一个 dp，设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 走到 \([i,n]\) 每个位置的答案。转移显然直接贪心，每次找最右的点，于是我们先记录一个 \(rp_i\) 表示覆盖 \(i\) 的区间的右端点的最大值，有转移 \(f_i=n-rp_i+f_{rp_i+1}\)，意思是走到 \([i,rp_i]\) 不需要代价，但走到 \([rp_i+1,n]\) 需要从 \(i\) 先到 \(rp_i+1\)。现在的答案是 \(\sum f_i\)。

考虑一个 \(x\) 作用在 \(i\) 的影响。如果 \(x\) 带来的区间更优那么就会有 \(rp_j\) 发生变化导致答案改变。我们先去考虑哪些位置的 \(rp_j\) 会改变。首先一个较松的限制是 \([i-x,i+x]\)。然后你需要让 \(rp_j<i+x\) 的变成 \(i+x\)，考虑到 \(rp_j\) 有单调性所以变化的区间一定是前面较松的限制的一段前缀。我们假设这段区间有 \(cnt\) 辆车，他们原来的贡献为 \(sum\)，那么新的答案就是 \(ans-sum+cnt(n-i-x+f_{i+x+1})\)。现在考虑快速得到 \(sum\) 和 \(cnt\)。考虑设 \(g_i\) 表示从 \([1,i]\) 出发到 \(i\) 的点数，相当于就是这个状态被用了多少次，转移类似 \(f\)，有 \(g_i=1+\sum_{rp_j+1=i}g_j\)。于是 \(cnt\) 就是区间的 \(g_j\) 之和，\(sum\) 是区间的 \(g_jf_{rp_j+1}\) 之和。双指针维护即可做到线性。

CF1578B

首先断环为链没有影响。然后考虑两个二元组 \((l_1,r_1)\) 和 \((l_2,r_2)\)，假设 \(l_1<l_2<r_1<r_2\)，我们可以将其改写成三个二元组 \((l_1,l_2),(l_2,r_1),(r_1,r_2)\) 并且限制是等价的，所以每次操作后的序列上区间只有相离与包含关系。对于新加入的区间我们需要维护满足上面条件的序列并合并信息。考虑维护每个点被区间覆盖的次数 \(c_i\)，为了方便处理这里用开区间。首先有一个性质就是对于相邻的 \(c\) 其差值小于 2。证明考虑归纳法，首先原序列合法，现在加入一个新的区间，如果加入区间后存在这么一个位置那么它必定会被合并，于是就永远不会存在这种位置。

我们现在考虑合并信息的过程。假设新的区间是 \((x,y)\)，如果 \(c_x\neq c_y\)，假设 \(c_x>c_y\)，我们新的区间一定和原来的区间有交，因为同一个连通块的 \(c\) 一定是相同的。于是我们就去找 \(x\) 右边第一个 \(c_i\) 满足 \(c_i<c_x\)，这样我们一定能够找到有交的区间，因为我们定义的是开区间。找到之后我们就需要合并两个连通块，并且会不断重复此过程直到序列合法。我们可以用线段树快速维护此过程，因为其本质就是对 \(c\) 进行区间加，单点查，以及二分找 \(c_i<c_x\)。因为我们有效的合并次数是 \(\mathcal O(n)\) 的，所以最后的时间复杂度为 \(\mathcal O(n\log n)\)。