提高组数学：扩展欧几里得

同余

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\({\Huge\equiv}\)是同余符号

\[a \equiv b \pmod{n} \]

读作：\(a\)与\(b\)模\(n\)同余

定义：\(a\)除以\(n\)的余数等于\(b\)除以\(n\)的余数。

例

\[10 \equiv 6 \pmod{2} \]

\(\because\)

\[10 \% 2 = 0 \\ 6 \% 2 = 0 \\ \because 0 = 0 \\ \therefore 10 \equiv 6 \pmod{2} \]

定义与性质

同余定义

设 \( \(m \in \mathbb{Z}^+\) \)，( \(a, b \in \mathbb{Z}\))

\[a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid (a - b) \]

基本性质体系

1. 等价关系

• 自反性：

• \[a \equiv a \pmod{m} \]

• 对称性：

• \[a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow b \equiv a \pmod{m} \]

• 传递性：

• \[a \equiv b \pmod{m} \land b \equiv c \pmod{m} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m} \]

2. 算术运算封闭性

若 \( a \equiv b \pmod{m} \)，\( c \equiv d \pmod{m} \)，则：

• \( a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \)
• \( a \times c \equiv b \times d \pmod{m} \)
• \( k \times a \equiv k \times b \pmod{m} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）
• \( a^n \equiv b^n \pmod{m} \)（\( n \in \mathbb{Z}^+ \)）

3. 模数变换

• 缩放：\( a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow ak \equiv bk \pmod{mk} \)
• 约简：\( a \equiv b \pmod{m} \land d \mid m \Rightarrow a \equiv b \pmod{d} \)
• 合并：\( a \equiv b \pmod{m_1} \land a \equiv b \pmod{m_2} \Rightarrow a \equiv b \pmod{\text{lcm}(m_1,m_2)} \)

4. 消去律

\[ ac \equiv bc \pmod{m} \Rightarrow a \equiv b \pmod{\frac{m}{\gcd(c,m)}} \]
特例：当 \( \gcd(c,m) = 1 \) 时，可直接消去 \( c \)

5. 多项式保持

\[ a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow P(a) \equiv P(b) \pmod{m} \]
（\( P(x) \) 为整系数多项式）

6. 结构性质

• 最大公约数保持：\( a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \gcd(a,m) = \gcd(b,m) \)
• 等价类划分：模 \( m \) 将整数划分为 \( m \) 个剩余类
• 幂的周期性：当 \( \gcd(a,m) = 1 \) 时，\( a^n \bmod m \) 具有周期性