251105B. 换来换去/card
计数将 \(n\) 个区分的物品划入任意个大小 \(\ge 2\) 的不区分集合的方案数。
\[n\le 10^7
\]
首先，这个问题看起来很像贝尔数：
计数将 \(n\) 个区分的物品划入任意个不区分集合的方案数。
这个描述中实际上隐含了集合大小 \(\ge 1\) 的条件。
考虑贝尔数的 EGF：\(\exp(\exp(x)-1)\)，这里内层的 \(-1\) 减去了集合为空的情况。
类似地，考虑回原问题，由于集合大小 \(\ge 2\)。我们减去集合大小为 \(0\) 或 \(1\) 的情况。
所以答案的 EGF 应为 \(\exp(\exp(x)-x-1)\)。
展开：
\[\begin{align*}&e^{e^x-x-1}
\\=&e^{-x}e^{e^x-1}
\\=&e^{-x}\sum_k\frac 1{k!}(e^x-1)^k
\\=&e^{-x}\sum_k\frac 1{k!}\sum_{j=0}^k\binom kje^{jx}(-1)^{k-j}
\\=&e^{-x}\sum_k\frac 1{k!}\sum_{j=0}^k\frac{k!}{i!j!}e^{jx}(-1)^i
\\=&\sum_{i+j\le n}\frac 1{i!j!}e^{(j-1)x}(-1)^i\end{align*}
\]
提出第 \(n\) 项系数：
\[\begin{align*}&[{x^n}/{n!}]e^{e^x-x-1}
\\=&\sum_{i+j\le n}\frac 1{i!j!}([{x^n}/{n!}]e^{(j-1)x})(-1)^i
\\=&\sum_{i+j\le n}\frac 1{i!j!}(j-1)^n(-1)^i
\\=&\sum_{j=0}^n\frac {(j-1)^n}{j!}\sum_{i=0}^{n-j}\frac{(-1)^i}{i!}\end{align*}
\]
后半部分是一个与 \(j\) 无关的前缀和。前半部分可以通过线性筛线性求。分别预处理即可。
同样的，我们也可以线性求单项贝尔数，按照类似的方法有：
\[
\begin{align*}&[x^n/n!]e^{e^x-1}
\\=&\sum_{i+j\le n}\frac 1{i!j!}[x^n/n!]e^{jx}(-1)^i
\\=&\sum_{j=0}^n\frac {j^n}{j!}\sum_{i=0}^{n-j}\frac{(-1)^i}{i!}
\end{align*}
\]
code
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <bitset>const int N = 1e7 + 7;
typedef long long i64;namespace # {
int n, MOD;i64 fpow(i64 x, i64 k) {i64 res = 1;for(; k; k >>= 1, x = x * x %MOD)if(k & 1) res = res * x %MOD;return res;
}
#define inv(x) fpow((x), MOD-2)std::bitset<N> ip;
std::basic_string<int> pr;
int pown[N];
void prime() {pr.clear();for(int i = 2; i <= n; ++i) {if(!ip[i]) pr += i, pown[i] = fpow(i, n);else ip[i] = 0;for(int& p: pr) {if(i * p > n) break;ip[i * p] = 1;pown[i * p] = 1ll * pown[i] * pown[p] %MOD;if(i % p == 0) break;}}
}inline int getpow(int x) { return x == -1 ? n & 1 ? -1 : 1 : x <= 1 ? x : pown[x]; }
inline int gmod(i64 x) { return x - (x >= MOD) * MOD; }int frac[N], ifac[N], pre[N];
inline void main() {std::cin >> n >> MOD;ifac[0] = frac[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) {frac[i] = 1ll * frac[i-1] * i %MOD;}ifac[n] = inv(frac[n]);for(int i = n; i >= 1; --i) {ifac[i-1] = 1ll * ifac[i] * i %MOD;}pre[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(i & 1) pre[i] = gmod(pre[i-1] + MOD - ifac[i]);else pre[i] = gmod(pre[i-1] + ifac[i]);}prime();int ans = 0;for(int k = 0; k <= n; ++k) {int res = 1ll * ifac[k] * getpow(k-1) %MOD * pre[n-k] %MOD;ans = gmod(ans + res);}std::cout << ans << "\n";
}};int main() {freopen("card.in", "r", stdin), freopen("card.out", "w", stdout);std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int t; std::cin >> t;while(t--) #::main();
}
