P14364 [CSP-S 2025] 员工招聘 / employ 笔记

考完这次 CSP 真正的感受到了自己的弱小，「努力」了大半年，面对正赛题解还是跟读天书一样，什么都看不懂，文化课成绩倒是步步低降了。

我该在哪里停留？我问我自己。

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设最终的排列是 \(p_{1\dots n}\)，\([1,i)\) 拒绝了 \(b_i\) 个人，分析一下最终的排列如何进行判定。

• 情况 A：\(s_i=0\)，此时 \(p_i\) 可以是任意数，对答案无影响。
• 情况 B：\(s_i=1\)，但是 \(p_i\) 不满意，已经跑了，即 \(c_{p_i}\le b_i\)。
• 情况 C：\(s_i=1\)，\(p_i\) 正常参加考试，即 \(c_{p_i}>b_i\)。

好像这些判定中，只有 \(b_i\) 是未知的，所以是不是设 \(f_{i,j}\) 表示 \(b_i=j\) 的方案数即可？然后就会发现 \(b_i\) 单调不降。前面的情况 A,C 的选择，会对后面的情况 B 产生影响，并且很难记录。

因此考虑最后再处理情况 A,C 的选择，如果只用考虑情况 A 的选择，那么只需记录 \(k\) 表示有 \(k\) 个位置不是情况 A，\((n-k)!\) 就是情况 A 的选择。

接着是考虑情况 C 的选择，要求情况 C 全部是 \(c_{p_i}>b_i\) 的方案数，等价于情况 C 任意选，减去情况 C 中有 \(c_{p_i}\le b_i\) 的方案数，由于刷表法 DP 从左往右确定每一个位置，因此选择容斥，即「至少」与「恰好」的转换。

设 \(f_{i,j,k,l}\) 表示 \(b_i=j\)，且前 \(i\) 个数中有 \(k\) 个位置是情况 B，至少 \(l\) 个位置是情况 C，并且至少有这 \(l\) 个位置满足是 \(c_{p_i}\le b_i\) 的情况 C。

设 \(\mathrm{cnt}_x\) 表示耐心值小于等于 \(x\) 的人数。

情况 A 的转移：

\[f_{i,j,k,l}\to f_{i+1,j+1,k,l} \]

情况 B 的转移：

\[f_{i,j,k,l}\times (\mathrm{cnt}_j-k-l)\to f_{i+1,j,k+1,l} \]

情况 C，这个位置任意选的转移：

\[f_{i,j,k,l}\to f_{i+1,j,k,l} \]

情况 C，这个位置确定满足 \(c_{p_i}\le b_i\) 的转移：

\[-f_{i,j,k,l}\times (\mathrm{cnt}_j-k-l)\to f_{i+1,j,k,l+1} \]

发现 \(k+l\le n\) 且可以合并，\(i\) 可以滚动数组，状态数 \(O(n^3)\)，转移 \(O(1)\)，时间复杂度 \(O(n^3)\)，空间复杂度 \(O(n^2)\)。

答案就是 \(\sum_{i=0}^{n-m}\sum_{j=0}^n f_{n,i,j}(n-j)!\)。