Kosaraju 笔记

在做 ARC069F Flags 时看到有一个用 kosaraju 的 nb 做法，于是研究了一下 kosaraju。

Kosaraju 算法

kosaraju 算法是一种找出强连通分量的算法，用途和 tarjan 类似，但是代码更好写，并且在某些题上比 tarjan 算法有更多性质。

算法流程

1. 对原图做一次 DFS：
   • 初始化一个栈 \(S\)，
   • 对图中每个点未访问的点都 DFS 一遍，DFS 的时候像求 DFS 树一样，依次遍历 \(u\) 连接的没访问过的点 \(v\)，并递归对 \(v\) 进行 DFS \(v\)。当 \(u\) 所有后继点都遍历完后，往栈 \(S\) 的栈顶加入 \(u\)。
2. 按照栈中的顺序，在反图上做 DFS：
   • 维护一个标记数组以记录每个点所属的 SCC 编号。
   • 按照栈 \(S\) 中从栈顶到栈底的顺序依次取出结点 \(u\)，若 \(u\) 未被标记则在反图上 DFS，并把每个 \(u\) 能到达的后继点的 SCC 编号标记为相同的编号。
   • 按照这个逻辑，则每次在反图上的 DFS 都能找出一个完整的 SCC。

代码：

//adj 是原图，nadj 是反图。void dfs1(int x) {vis[x] = 1;for (auto y : adj[x]) {if (!vis[y]) {dfs1(y);}}stk.push(x);
}
void dfs2(int x) {scc[x] = cid;for (auto y : nadj[x]) {if (!scc[y]) {dfs2(y);}}
}
void kosaraju() {for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (!vis[i]) {dfs1(i);}}while (!stk.empty()) {int u = stk.top();stk.pop();if (!scc[u]) {++cid;dfs2(u);}}
}

算法正确性证明

引理：记结点 \(u\) 在栈中的位置为 \(f_u\)（栈顶的 \(f\) 值为 \(n\)，栈底的 \(f\) 值为 \(1\)），所属的强连通分量编号为 \(C_u\)，那么对于原图的一条边 \(u \to v\)，若满足 \(C_u \ne C_v\)，则有 \(f_u > f_v\) 成立。

证明：可以把每条跨 SCC 的边 \(u \to v\) 分为：\(u, v\) 在同一个 DFS 中遍历到的，和在不同 DFS 中遍历到的。（DFS 指代码中的 dfs1）

• 对于被同一个 DFS 遍历到的，一定是先经过 \(u\) 再经过 \(v\)，由于是后缀顺序遍历，所以越晚遍历到的点 \(f\) 值越小，故 \(f_u > f_v\) 成立。

• 对于被不同 DFS 遍历到的，一定是先经过 \(v\) 再经过 \(u\)，由于它们属于不同的 DFS 过程，先被 DFS 的 \(f\) 一定小，故 \(f_u > f_v\) 成立。

综上，原命题成立。

我们按照 \(f\) 从大到小在反图上 DFS，每次都只会遍历栈顶 \(u\) 所属强连通分量 \(C_u\) 中的点，因为 \(C_u\) 在 DAG 上的前驱点的 \(f\) 值都比 \(f_u\) 大，所以一定都在 \(u\) 之前被遍历过了。

可以注意到我们在根据拓扑序访问 DAG 上的强连通分量，所以求出的 SCC 编号从小到大排列就是 DAG 的拓扑序。（注意如果该算法用来实现 2-SAT，要与 Tarjan 算法的写法区分）

Flags

题意

给定 \(n\) 个二元组 \((x_i, y_i)\) 和 \(n\) 个数轴上的点，第 \(i\) 个点可以取在 \(x_i\) 或 \(y_i\)，你需要求出一个方案使得 \(n\) 个点中相邻两个点的最小距离最大。

很明显可以先二分答案，然后转化成一个 2-SAT 问题，朴素的做法就是线段树优化建图 + Tarjan。

但是我们可以使用 Kosaraju，Kosaraju 在优化建图的问题上与 Tarjan 的区别就在于，Kosaraju 的形式很简洁，使得我们能够直接用数据结构优化 DFS 找点的过程，而不用像 Tarjan 一样建立虚点。通常情况下 Kosaraju 的时空常数都更好，部分情况下 Kosaraju 有复杂度更好的做法（有个点分树优化建图的题 Kosaraju 的复杂度更好，懒得放了）。