第二章数列极限

§1 有界序列与无穷小序列
- 1.a 有界序列
- 1.b 无穷小序列
- 1.c 有界序列与无穷小序列的性质
§2 收敛序列
- 2.a 收敛序列的定义
- 2.b 收敛序列的性质
- 2.c 收敛序列与不等式
§3 收敛原理
- 3.a 单调收敛原理
- 3.b 闭区间套原理与波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理
- 3.c 柯西收敛原理
§4 无穷大
- 4.a 无穷极限
- 4.b 扩充的实数系
附录斯托尔茨（Stolz）定理
- 特普利茨变换
- 引理 1
- 引理 2
- 斯托尔茨定理

§1 有界序列与无穷小序列

1.a 有界序列

定义 1
设 $\{x_n\}$ 是一个实数序列。
(1) 如果存在 $M \in \mathbb{R}$，使得

\[x_n \leq M, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

就说序列 $\{x_n\}$ 有上界，实数 $M$ 是它的一个上界。
(2) 如果存在 $m \in \mathbb{R}$，使得

\[x_n \geq m, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

就说序列 $\{x_n\}$ 有下界，实数 $m$ 是它的一个下界。
(3) 如果序列 $\{x_n\}$ 有上界并且也有下界，就说该序列有界。

序列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是：存在 $K \in \mathbb{R}$，使得

\[|x_n| \leq K, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

序列 $\{x_n\}$ 有界这件事，可以用符号表述为

\[(\exists K \in \mathbb{R}) (\forall n \in \mathbb{N}) (|x_n| \leq K). \]

而"序列 $\{x_n\}$ 无界"是上面陈述的否定，它可以用符号表述为

\[(\forall K \in \mathbb{R}) (\exists n \in \mathbb{N}) (|x_n| > K). \]

1.b 无穷小序列

定义 2
设 $\{x_n\}$ 是一个实数序列。如果对任意实数 $\varepsilon > 0$，都存在自然数 $N$，使得只要 $n > N$，就有

\[|x_n| < \varepsilon, \]

那么我们就称 $\{x_n\}$ 为无穷小序列。

用符号表示，"$\{x_n\}$ 是无穷小序列"这件事可以写成

\[(\forall \varepsilon > 0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n > N)(|x_n| < \varepsilon). \]

"序列 $\{y_n\}$ 不是无穷小序列"这件事可以用符号表示成

\[(\exists \varepsilon > 0)(\forall N \in \mathbb{N})(\exists n > N)(|y_n| \geq \varepsilon). \]

引理
设 $\{\alpha_n\}$ 和 $\{\beta_n\}$ 是实数序列，并设存在 $N_0 \in \mathbb{N}$，使得

\[|\alpha_n| \leq \beta_n, \quad \forall n > N_0. \]

如果 $\{\beta_n\}$ 是无穷小序列，那么 $\{\alpha_n\}$ 也是无穷小序列。

证明
对任意的 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得 $n > N_1$ 时 $|\beta_n| < \varepsilon$。
取 $N = \max \{N_0, N_1\}$，则当 $n > N$ 时，就有

\[|\alpha_n| \leq \beta_n < \varepsilon. \]

□

1.c 有界序列与无穷小序列的性质

定理 1
关于有界序列与无穷小序列，有以下结果：
（1）两个有界序列的和与乘积都是有界序列。即如果 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 都是有界序列，那么 $\{x_n + y_n\}$ 与 $\{x_n y_n\}$ 都是有界序列。
（2）两个无穷小序列 $\{\alpha_n\}$ 与 $\{\beta_n\}$ 之和 $\{\alpha_n + \beta_n\}$ 也是无穷小序列。
（3）无穷小序列 $\{\alpha_n\}$ 与有界序列 $\{x_n\}$ 的乘积 $\{\alpha_n x_n\}$ 是无穷小序列。
（4）$\{\alpha_n\}$ 是无穷小序列 $\Longleftrightarrow$ $\{\alpha_n\}$ 是无穷小序列。

证明
（1）设 $|x_n| \leq K$，$|y_n| \leq L$，$\forall n \in \mathbb{N}$。
则

\[|x_n + y_n| \leq |x_n| + |y_n| \leq K + L, \]

\[|x_n y_n| = |x_n| |y_n| \leq KL, \]

所以 $\{x_n + y_n\}$ 与 $\{x_n y_n\}$ 有界。

（2）对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，使得

\[n > N_1 \Rightarrow |\alpha_n| < \varepsilon/2, \]

\[n > N_2 \Rightarrow |\beta_n| < \varepsilon/2. \]

取 $N = \max \{N_1, N_2\}$，则 $n > N$ 时

\[|\alpha_n + \beta_n| \leq |\alpha_n| + |\beta_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \]

（3）设 $|x_n| \leq K$，$\forall n \in \mathbb{N}$，$K > 0$。
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得 $n > N$ 时 $|\alpha_n| < \varepsilon/K$。
则

\[|\alpha_n x_n| = |\alpha_n| |x_n| < (\varepsilon/K) \cdot K = \varepsilon. \]

（4）由定义，显然成立。
□

推论
我们有：
（5）两个无穷小序列 $\{\alpha_n\}$ 和 $\{\beta_n\}$ 的乘积 $\{\alpha_n \beta_n\}$ 也是无穷小序列；
（6）实数 $c$ 与无穷小序列 $\{\alpha_n\}$ 的乘积 $\{c\alpha_n\}$ 也是无穷小序列；
（7）有限个无穷小序列之和仍是无穷小序列，有限个无穷小序列之乘积也是无穷小序列。

证明
（5）无穷小序列 $\{\beta_n\}$ 是有界序列，由定理 1（3）即得。
（6）常数 $c$ 可视为有界序列，由定理 1（3）即得。
（7）利用数学归纳法即可证明。
□

§2 收敛序列

2.a 收敛序列的定义

定义
设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数。如果对任意实数 $\varepsilon > 0$ 都存在自然数 $N$，使得只要 $n > N$，就有

\[|x_n - a| < \varepsilon, \]

那么我们就说序列 $\{x_n\}$ 收敛，它以 $a$ 为极限（或者说序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$），记为

\[\lim_{n \to +\infty} x_n = a \quad \text{或者} \quad x_n \to a. \]

不收敛的序列称为发散序列。

用符号表示，$\lim_{n \to +\infty} x_n = a$ 的定义可以写成：

\[(\forall \varepsilon > 0) (\exists N \in \mathbb{N}) (\forall n > N) (|x_n - a| < \varepsilon). \]

而序列 $\{y_n\}$ 不收敛于 $b$ 这件事可以表示为：

\[(\exists \varepsilon > 0) (\forall N \in \mathbb{N}) (\exists n > N) (|y_n - b| \geq \varepsilon). \]

定理 1
如果序列 $\{x_n\}$ 有极限，那么它的极限是唯一的。

证明
用反证法。假设序列 $\{x_n\}$ 有极限 $a$ 和 $b$，$a < b$。取 $\varepsilon \in \mathbb{R}$ 满足

\[0 < \varepsilon < \frac{b - a}{2}. \]

于是，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得 $n > N_1$ 时

\[a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon; \]

又存在 $N_2 \in \mathbb{N}$，使得 $n > N_2$ 时

\[b - \varepsilon < x_n < b + \varepsilon. \]

令 $N = \max \{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，就有

\[b - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon, \]

这与 $0 < \varepsilon < \frac{b - a}{2}$ 矛盾。
□

定理 2（夹逼定理）
设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 和 $\{z_n\}$ 都是实数序列，满足条件

\[x_n \leq y_n \leq z_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

如果

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = a, \]

那么 $\{y_n\}$ 也是收敛序列，并且也有

\[\lim_{n \to \infty} y_n = a. \]

证明
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N_1$ 时，

\[a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon, \]

当 $n > N_2$ 时，

\[a - \varepsilon < z_n < a + \varepsilon. \]

令 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则 $n > N$ 时，就有

\[a - \varepsilon < x_n \leq y_n \leq z_n < a + \varepsilon. \]

□

定理 3
设 $\{x_n\}$ 是实数序列，$a$ 是实数。则以下三陈述等价：
(1) 序列 $\{x_n\}$ 以 $a$ 为极限；
(2) $\{x_n - a\}$ 是无穷小序列；
(3) 存在无穷小序列 $\{\alpha_n\}$ 使得

\[x_n = a + \alpha_n, \quad n = 1, 2, \cdots. \]

证明
(1)⇒(2): 由定义即可看出。
(2)⇒(3): 设 $\alpha_n = x_n - a$，则 $\{\alpha_n\}$ 是无穷小序列，并且 $x_n = a + \alpha_n$。
(3)⇒(1): 存在 $N \in \mathbb{N}$，使得 $n > N$ 时

\[|\alpha_n| < \varepsilon, \]

这时

\[|x_n - a| = |\alpha_n| < \varepsilon. \]

□

2.b 收敛序列的性质

定理 4
收敛序列 $\{x_n\}$ 是有界的。

证明
设 $\lim x_n = a$，则对于 $\varepsilon = 1 > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，就有

\[-|a| - 1 \leq a - 1 < x_n < a + 1 \leq |a| + 1, \]

即

\[|x_n| < |a| + 1. \]

记 $K = \max \{ |x_1|, \cdots, |x_N|, |a| + 1 \}$，则有

\[|x_n| \leq K, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

□

定理 5
(1) 设 $\lim x_n = a$，则 $\lim |x_n| = |a|$。
(2) 设 $\lim x_n = a$，$\lim y_n = b$，则

\[\lim (x_n \pm y_n) = a \pm b. \]

(3) 设 $\lim x_n = a$，$\lim y_n = b$，则

\[\lim (x_n y_n) = ab. \]

(4) 设 $x_n \neq 0 (n = 1, 2, \cdots)$，$\lim x_n = a \neq 0$，则

\[\lim \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}. \]

证明
(1) $| |x_n| - |a| | \leq |x_n - a|$。

(2) 我们有

\[|(x_n \pm y_n) - (a \pm b)| \leq |x_n - a| + |y_n - b|. \]

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，分别使得
当 $n > N_1$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon / 2$，
和
当 $n > N_2$ 时，$|y_n - b| < \varepsilon / 2$。
记 $N = \max \{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，就有

\[|(x_n \pm y_n) - (a \pm b)| \leq |x_n - a| + |y_n - b| < \varepsilon / 2 + \varepsilon / 2 = \varepsilon. \]

(3) 因为收敛序列是有界的，所以存在 $K \in \mathbb{R}$ 使得

\[|y_n| \leq K, \quad n = 1, 2, \cdots. \]

不妨设 $K > 0$。又可取 $L \in \mathbb{R}$ 使得 $L > |a|$。
于是，我们有

\[|x_n y_n - ab| = |(x_n - a) y_n + a(y_n - b)| \leq |x_n - a||y_n| + |a||y_n - b| \leq K |x_n - a| + L |y_n - b|. \]

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ 分别使得
当 $n > N_1$ 时，$|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2K}$，
和
当 $n > N_2$ 时，$|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2L}$。
令 $N = \max \{N_1, N_2\}$，则当 $n > N$ 时，就有

\[|x_n y_n - ab| \leq K |x_n - a| + L |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]

(4) 因为 $\lim x_n = a$，所以对于 $|a|/2 > 0$，存在 $N_0 \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N_0$ 时，

\[|x_n - a| < |a|/2. \]

这时

\[|x_n| = |a - (a - x_n)| \geq |a| - |a - x_n| > |a|/2, \]

\[\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{a} \right| = \left| \frac{a - x_n}{x_n a} \right| \leq \frac{2}{|a|^2} |x_n - a|. \]

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N_1$ 时，

\[|x_n - a| < \frac{|a|^2}{2} \varepsilon. \]

令 $N = \max(N_0, N_1)$，则当 $n > N$ 时，就有

\[\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{a} \right| \leq \frac{2}{|a|^2} |x_n - a| < \varepsilon. \]

□

推论
(5) 设 $\lim x_n = a$, $c \in \mathbb{R}$，则

\[\lim (c x_n) = ca. \]

(6) 设 $x_n \neq 0 (n=1, 2, \cdots)$，$\lim x_n = a \neq 0$，$\lim y_n = b$，则

\[\lim \frac{y_n}{x_n} = \frac{b}{a}. \]

2.c 收敛序列与不等式

定理 6
如果 $\lim x_n < \lim y_n$（这就是说：如果 $\lim x_n = a$, $\lim y_n = b$, $a < b$），那么存在 $N \in \mathbb{N}$，使得 $n > N$ 时有

\[x_n < y_n. \]

证明
对于 $\varepsilon = \frac{b - a}{2} > 0$，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$ 和 $N_2 \in \mathbb{N}$，分别使得
当 $n > N_1$ 时，$a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$，
和
当 $n > N_2$ 时，$b - \varepsilon < y_n < b + \varepsilon$。
令 $N = \max \{N_1, N_2\}$，则 $n > N$ 时就有

\[x_n < a + \varepsilon = b - \varepsilon < y_n. \]

□

定理 7
如果 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都是收敛序列，并且满足条件

\[x_n \leq y_n, \quad \forall n > N_0, \]

那么

\[\lim x_n \leq \lim y_n. \]

证明
用反证法。如果 $\lim x_n > \lim y_n$，那么根据定理 6 存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得 $n > N_1$ 时

\[x_n > y_n. \]

取 $n > \max \{N_0, N_1\}$ 就得到矛盾。
□

§3 收敛原理

3.a 单调收敛原理

定义
(1) 若实数序列 $\{x_n\}$ 满足

\[x_n \leq x_{n+1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

则称这序列是递增的或者单调上升的，记为 $\{x_n\} \uparrow$。

(2) 若实数序列 $\{y_n\}$ 满足

\[y_n \geq y_{n+1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

则称这序列是递减的或者单调下降的，记为 $\{y_n\} \downarrow$。

(3) 单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。

定理 1（单调收敛原理）
递增序列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是它有上界。

证明
必要性：收敛序列是有界的。

充分性：设序列 $\{x_n\}$ 有上界，则存在上确界

\[a = \sup \{x_n\}. \]

对任意 $\varepsilon > 0$，显然 $a - \varepsilon < a$，因而存在 $x_N$ 使得

\[a - \varepsilon < x_N \leq a. \]

于是当 $n > N$ 时，就有

\[a - \varepsilon < x_N \leq x_n \leq a. \]

这证明了

\[\lim x_n = a = \sup \{x_n\}. \]

□

推论
递减序列 $\{y_n\}$ 收敛的充要条件是它有下界。

证明
令 $x_n = -y_n, n = 1,2,\cdots$，就可以把这情形转化为定理1中的情形。
□

3.b 闭区间套原理与波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

定义
如果一列闭区间 $\{[a_n, b_n]\}$ 满足条件：
(1) $[a_n, b_n] \supseteq [a_{n+1}, b_{n+1}]$，$\forall n \in \mathbb{N}$;
(2) $\lim (b_n - a_n) = 0$，
那么我们就说该列闭区间形成一个闭区间套。

定理 2（闭区间套原理）
如果实数序列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足条件：
(1) $a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1}$，$\forall n > 1$;
(2) $\lim (b_n - a_n) = 0$，
那么：
(i) 序列 $\{a_n\}$ 与序列 $\{b_n\}$ 收敛于相同的极限值：

\[\lim a_n = \lim b_n = c, \]

(ii) $c$ 是满足以下条件的唯一实数：

\[a_n \leq c \leq b_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

证明
(i) 由条件 (1) 可得

\[a_{n-1} \leq a_n \leq b_n \leq b_{n-1} \leq \cdots \leq b_1. \]

序列 $\{a_n\}$ 递增而有上界 $b_1$，序列 $\{b_n\}$ 递减而有下界 $a_1$。
根据单调收敛原理，$\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是收敛序列。
由条件 (2) 可得

\[\lim a_n - \lim b_n = \lim (b_n - a_n) = 0. \]

这证明了序列 $\{a_n\}$ 与序列 $\{b_n\}$ 的极限相等。

(ii) 因为

\[c = \sup \{a_n\} = \inf \{b_n\}, \]

所以显然有

\[a_n \leq c \leq b_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

如果实数 $c'$ 也满足条件

\[a_n \leq c' \leq b_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

那么在上式中让 $n \to +\infty$ 取极限就得到

\[c' = \lim a_n = \lim b_n = c. \]

这证明了满足所述条件的实数 $c$ 是唯一的。
□

定义
设 $\{x_n\}$ 是实数序列，而

\[n_1 < n_2 < \cdots < n_k < n_{k+1} < \cdots \]

是一串严格递增的自然数，则

\[x_{n_1}, x_{n_2}, \cdots, x_{n_k}, x_{n_{k+1}}, \cdots \]

也形成一个实数序列。我们把这序列 $\{x_{n_k}\}$ 叫作序列 $\{x_n\}$ 的子序列（或者部分序列）。

定理 3
设序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则它的任何子序列 $\{x_{n_k}\}$ 也都收敛于同一极限 $a$。

证明
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得只要 $n > N$，就有

\[|x_n - a| < \varepsilon. \]

当 $k > N$ 时就有 $n_k \geq k > N$，因而这时有

\[|x_{n_k} - a| < \varepsilon. \]

□

定理 4（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）
设 $\{x_n\}$ 是有界序列，则它具有收敛的子序列。

证明
序列 $\{x_n\}$ 有界，因而可设

\[a \leq x_n \leq b, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

用中点 $\frac{a+b}{2}$ 把闭区间 $[a,b]$ 对分成两个闭子区间

\[\left[a, \frac{a+b}{2}\right] \quad 和 \quad \left[\frac{a+b}{2}, b\right]. \]

在这两个闭子区间中，至少有一个含有序列 $\{x_n\}$ 的无穷多项，把这一闭子区间记为 $[a_1, b_1]$。

重复这一过程，得到一串闭区间

\[[a_1,b_1]\supseteq [a_2,b_2]\supseteq \cdots \supseteq [a_k,b_k]\supseteq \cdots, \]

其中第 $k$ 个闭区间 $[a_k,b_k]$ 的长度为

\[b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}. \]

根据闭区间套原理，存在一个实数 $c$，满足

\[c \in [a_k,b_k], \quad \forall k \in \mathbb{N}. \]

现在构造收敛于 $c$ 的子序列：

因为 $\{x_n\}$ 有无穷多项在 $[a_1,b_1]$ 之中，选取其中某一项，记为 $x_{n_1}$。
因为 $\{x_n\}$ 有无穷多项在 $[a_2,b_2]$ 之中，选取其中在 $x_{n_1}$ 之后的某一项，记为 $x_{n_2}$。
继续这样做下去，得到 $\{x_n\}$ 的一个子序列 $\{x_{n_k}\}$，满足

\[x_{n_k} \in [a_k,b_k], \quad \forall k \in \mathbb{N}. \]

因为

\[|x_{n_k}-c| \leq b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}, \quad \forall k \in \mathbb{N}, \]

所以

\[\lim x_{n_k} = c. \]

□

3.c 柯西收敛原理

定义
如果序列 $\{x_n\}$ 满足条件：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有

\[|x_m - x_n| < \varepsilon, \]

那么我们就称这序列为基本序列（或者柯西序列）。
用符号表示，基本序列的条件可以写成：

\[(\forall \varepsilon > 0) (\exists N \in \mathbb{N}) (\forall m, n > N) (|x_m - x_n| < \varepsilon). \]

引理
基本序列 $\{x_n\}$ 是有界的。

证明
对于 $\varepsilon = 1$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得只要是 $m, n > N$，就有

\[|x_m - x_n| < 1. \]

于是，对于 $n > N$，我们有

\[|x_n| \leq |x_n - x_{N+1}| + |x_{N+1}| < 1 + |x_{N+1}|. \]

若记

\[K = \max \{|x_1|, \cdots, |x_N|, 1 + |x_{N+1}|\}, \]

则有

\[|x_n| \leq K, \quad \forall n \in \mathbb{N}. \]

□

定理 5（柯西收敛原理）
序列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有

\[|x_m - x_n| < \varepsilon. \]

换句话说：
序列 $\{x_n\}$ 收敛 $\Longleftrightarrow$ 序列 $\{x_n\}$ 是基本序列。

证明
必要性：设 $\lim x_n = a$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，有

\[|x_m - a| < \varepsilon/2, \quad |x_n - a| < \varepsilon/2, \]

这时就有

\[|x_m - x_n| = |(x_m - a) - (x_n - a)| \leq |x_m - a| + |x_n - a| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \]

充分性：因为基本序列是有界的，引用波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，可以断定存在序列 $\{x_n\}$ 的收敛子序列 $\{x_{n_k}\}$，设

\[x_{n_k} \to a \quad (k \to +\infty). \]

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $m, n > N$ 时，就有

\[|x_m - x_n| < \varepsilon/2. \]

又，存在 $N_1 \in \mathbb{N}$，使得 $k > N_1$ 时有

\[|a - x_{n_k}| < \varepsilon/2. \]

取定一个 $k > \max\{N, N_1\}$。对于任意的 $n > N$ 有

\[|a - x_n| \leq |a - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_n| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \]

这证明了

\[\lim x_n = a. \]

□

§4 无穷大

4.a 无穷极限

定义 1
(1) 设 $\{x_n\}$ 是实数序列。如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，就有

\[x_n > E, \]

那么我们就说序列 $\{x_n\}$ 发散于 $+\infty$，记为

\[\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty. \]

(2) 设 $\{y_n\}$ 是实数序列。如果对任意正实数 $E$，存在自然数 $N$，使得 $n > N$ 时，就有

\[y_n < -E, \]

那么我们就说序列 $\{y_n\}$ 发散于 $-\infty$，记为

\[\lim_{n \to \infty} y_n = -\infty. \]

(3) 设 $\{z_n\}$ 是实数序列。如果序列 $\{|z_n|\}$ 发散于 $+\infty$，即

\[\lim_{n \to \infty} |z_n| = +\infty, \]

那么我们就称 $\{z_n\}$ 为无穷大序列，记为

\[\lim_{n \to \infty} z_n = \infty. \]

定理 1
单调序列必定具有（有穷的或无穷的）极限。更具体地说，就是：
(1) 递增序列 $\{x_n\}$ 有极限，

\[\lim x_n = \sup \{x_n\}; \]

(2) 递减序列 $\{y_n\}$ 有极限，

\[\lim y_n = \inf \{y_n\}. \]

证明
(1) 如果 $\{x_n\}$ 有上界，那么 $\{x_n\}$ 收敛，并且

\[\lim x_n = \sup \{x_n\} < +\infty. \]

如果 $\{x_n\}$ 无上界，那么对任意 $E>0$，存在 $x_N$，满足

\[x_N > E. \]

于是当 $n > N$ 时，就有

\[x_n \geq x_N > E. \]

这证明了

\[\lim x_n = +\infty = \sup \{x_n\}. \]

(2) 可仿照 (1) 的情形给出证明。
□

定理 2
设 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 是实数序列，满足条件

\[x_n \leq y_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \]

则有：
(1) 如果 $\lim x_n = +\infty$，那么 $\lim y_n = +\infty$；
(2) 如果 $\lim y_n = -\infty$，那么 $\lim x_n = -\infty$。

证明
(1) 对任意 $E > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，$x_n > E$，这时就有

\[y_n \geq x_n > E. \]

(2) 可仿照 (1) 的情形给予证明。
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定理 3
如果 $\lim x_n = +\infty$ (或 $-\infty$，或 $\infty$)，那么对于 $\{x_n\}$ 的任意子序列 $\{x_{n_k}\}$ 也有

\[\lim x_{n_k} = +\infty \text{(或 } -\infty, \text{或 } \infty). \]

证明
留给读者作为练习。
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定理 4
设 $x_n \neq 0$，$\forall n \in \mathbb{N}$，则 $\{x_n\}$ 是无穷大序列 $\Longleftrightarrow$ $\{1/x_n\}$ 是无穷小序列。

证明
留给读者作为练习。
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4.b 扩充的实数系

我们给实数系 $\mathbb{R}$ 添加两个符号 $-\infty$ 和 $+\infty$，这样就得到了扩充的实数系

\[\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}. \]

我们在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中保留 $\mathbb{R}$ 中元素的顺序关系，并且补充定义涉及 $+\infty$ 和 $-\infty$ 的顺序关系如下：

\[-\infty < x < +\infty, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \]

定理 5
实数序列 $\{x_n\}$ 至多只能有一个极限，即至多只能有一个 $c \in \overline{\mathbb{R}}$，使得

\[\lim x_n = c. \]

证明
如果 $\{x_n\}$ 收敛于 $c \in \mathbb{R}$，那么它是有界的，因而不能有无穷极限。如果 $\{x_n\}$ 发散于 $+\infty$，那么 $\{x_n\}$ 无界，因而不能有有穷极限，并且从定义可以看出它也不能发散于 $-\infty$。对于 $\{x_n\}$ 发散于 $-\infty$ 的情形，可类似地进行讨论。
□

在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中规定以下一些运算：

(1) 如果 $x \in \mathbb{R}$，那么

\[x + (\pm \infty) = (\pm \infty) + x = \pm \infty, \]

\[x - (\pm \infty) = \mp \infty; \]

(2) 如果 $x \in \mathbb{R}$，$x > 0$，那么

\[x \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot x = \pm \infty; \]

如果 $y \in \mathbb{R}$，$y < 0$，那么

\[y \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot y = \mp \infty; \]

(3) 如果 $x \in \mathbb{R}$，那么

\[\frac{x}{+ \infty} = \frac{x}{- \infty} = 0; \]

(4)

\[(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty, \quad (+ \infty) - (- \infty) = + \infty, \]

\[(- \infty) + (- \infty) = - \infty, \quad (- \infty) - (+ \infty) = - \infty, \]

\[(+ \infty) \cdot (+ \infty) = + \infty, \quad (- \infty) \cdot (- \infty) = + \infty, \]

\[(- \infty) \cdot (+ \infty) = (+ \infty) \cdot (- \infty) = - \infty. \]

注意，在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中，对于 $(+ \infty) - (+ \infty), \quad (+ \infty) + (- \infty), \quad (- \infty) + (+ \infty), \quad 0 \cdot (\pm \infty), \quad + \infty / + \infty, \quad - \infty / + \infty, \quad + \infty / - \infty, \quad - \infty / - \infty$ 等，都没有做定义。

在做了有关规定之后，我们可以验证：以下极限的运算法则对于允许出现无穷极限的情形也仍然成立，只要这些公式的右端有意义：

\[\lim(x_n + y_n) = \lim x_n + \lim y_n, \]

\[\lim(x_n y_n) = \lim x_n \cdot \lim y_n, \]

\[\lim\frac{y_n}{x_n} = \frac{\lim y_n}{\lim x_n}. \]

附录斯托尔茨（Stolz）定理

特普利茨变换

定义
设给定了一个由非负实数排成的无穷三角形数表（无穷三角阵）

\[t_{11} \]

\[t_{21}, \quad t_{22} \]

\[\vdots \quad \vdots \]

\[t_{n1}, \quad t_{n2}, \quad \cdots, \quad t_{nn} \]

\[\vdots \quad \vdots \quad \ddots \quad \vdots \]

如果这数表满足条件：
(1) $$\sum_{k=1}^{n}t_{nk}=1, \quad \forall n \in \mathbb{N},$$
(2) 对任意给定的 $k$ 都有

\[\lim_{n \to +\infty}t_{nk}=0, \]

那么我们就把这样的数表 $\{t_{nk}\}$ 叫作特普利茨数表或者特普利茨矩阵，并把序列变换

\[\beta_n=\sum_{k=1}^{n}t_{nk}\alpha_k, \quad n=1,2,\cdots \]

叫作特普利茨变换。

引理 1

引理 1
设 $\{t_{nk}\}$ 是任意一个特普利茨数表，$\{\alpha_n\}$ 是任意一个无穷小序列，并设

\[\beta_n=\sum_{k=1}^{n}t_{nk}\alpha_k, \quad n=1,2,\cdots, \]

则有

\[\lim_{n \to \infty}\beta_n=0. \]

证明
对任何 $\epsilon>0$，存在 $m\in\mathbb{N}$，使得只要 $k>m$，就有

\[|\alpha_k|<\epsilon/2. \]

对这取定的 $m$，又可取 $p\in\mathbb{N}$ 充分大，使得 $n>p$ 时，有

\[t_{n1}|\alpha_1|+\cdots+t_{nm}|\alpha_m|<\epsilon/2. \]

记 $N=\max\{m,p\}$。于是，对于 $n>N$，就有

\[|\beta_n|\leq t_{n1}|\alpha_1|+\cdots+t_{nm}|\alpha_m|+t_{n(m+1)}|\alpha_{m+1}|+\cdots+t_{nn}|\alpha_n| \]

\[<\frac{\epsilon}{2}+(t_{n(m+1)}+\cdots+t_{nn})\frac{\epsilon}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon. \]

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引理 2

引理 2
设 $\{t_{nk}\}$ 是一个特普利茨数表，$\{u_n\}$ 是收敛于 $a$ 的一个实数序列，

\[v_n=\sum_{k=1}^n t_{nk}u_k, \quad n=1,2,\cdots, \]

则有

\[\lim_{n \to \infty}v_n=a. \]

证明
我们有

\[u_n=a+\alpha_n, \]

这里 $\{\alpha_n\}$ 是无穷小序列。于是

\[v_n=\sum_{k=1}^n t_{nk}(a+\alpha_k)=a\sum_{k=1}^n t_{nk}+\sum_{k=1}^n t_{nk}\alpha_k=a+\sum_{k=1}^n t_{nk}\alpha_k. \]

由引理 1 可知 $\left(\sum_{k=1}^n t_{nk}\alpha_k\right)$ 是无穷小序列，因而有

\[\lim_{n \to \infty}v_n=a. \]

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斯托尔茨定理

斯托尔茨定理
设 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 是实数序列，$0<x_1<x_2<\cdots<x_n<x_{n+1}<\cdots$，并且 $\lim_{n \to \infty}x_n=+\infty$。
如果存在有穷极限 $\lim_{n \to \infty}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=a$，那么也就一定有

\[\lim_{n \to \infty}\frac{y_n}{x_n}=a. \]

证明
为书写方便，记 $x_0=y_0=0$。
考察特普利茨数表

\[t_{nk}=\frac{x_k-x_{k-1}}{x_n}, \quad n=1,2,\cdots, \quad k=1,2,\cdots,n. \]

用这数表对序列

\[u_n=\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}, \quad n=1,2,\cdots \]

作变换就得到

\[v_n=\sum_{k=1}^{n}t_{nk}u_k=\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k-x_{k-1}}{x_n}\cdot\frac{y_k-y_{k-1}}{x_k-x_{k-1}} \]

\[=\frac{1}{x_n}\sum_{k=1}^{n}(y_k-y_{k-1})=\frac{y_n}{x_n}, \quad n=1,2,\cdots. \]

我们有 $\lim_{n \to \infty}u_n=a$，利用引理 2 就得到

\[\lim_{n \to \infty}v_n=a, \]

即

\[\lim_{n \to \infty}\frac{y_n}{x_n}=a. \]