逆序对略解

逆序对

定义

在一个数列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字就构成了一个逆序对

求逆序对

有3种方法：暴力，归并排序，线段树

1.暴力算法

枚举i和j(i<j)，并判断是否满足a[j]<a[i]

for(int i=1;i<n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){if(a[i]>a[j]) ans++;}}

时间复杂度：O(n²)

2.归并排序

首先知道归并排序的原理：每次把数组平均分成两组，直至每一组只有一个元素，那这一部分一定有序，再用有序部分继续比较排序，进行合并。这样最后合并出来的数组就是有序的

例：

1 3 5 7 9        2 4 6 8 10

① 由于1<2，所以把1放入答案数组

1

② 因为3>2，所以把2放入答案数组

1 2

③ 因为3<4，所以把3放入答案数组

1 2 3

……

最终，答案数组变为

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

我们观察操作①②③，发现它是在比较两个部分的元素大小。

第②步中，发现3>2，由于每个部分都是有序的，因为前面组中3后面的数都比3大，所以前面组中3以及之后的数字都会与2组成逆序对，所以只需要再归并排序的基础上，当前面元素大于后面元素时计算逆序对个数即可

//a是当前数组，t是答案数组
void mergesort(int l,int r){if(l>=r) return;int mid=(l+r)>>1;mergesort(l,mid);mergesort(mid+1,r);int k=0,i=l,j=mid+1;while(i<=mid&&j<=r){if(a[i]<=a[j]) t[++k]=a[i++];else{t[++k]=a[j++];ans+=mid-i+1;}}while(i<=mid) t[++k]=a[i++];while(j<=r) t[++k]=a[j++];for(i=l,k=0;i<=r;i++) a[i]=t[++k];return;
}

时间复杂度：O(n long n)

3.树状数组

树状数组的作用是求前缀和，如何用树状数组表示逆序对数？

其实网上有2种思路，感觉都很神奇。

1.记录下标法

开struct存每一位的值(val)和下标(id)，然后按照val降序对数组进行排序。针对每一位，让这一位在树状数组中的位置+1，然后求上一个位置的前缀和，就是当前数值所构成的一部分逆序对数。

原理

因为数组按照权值降序排序，所以处理当前元素时，树状数组中已存在的所有元素值都大于等于当前元素值，满足a[i]>a[j]的条件，接下来需要满足i<j，所以就找j上一位的前缀和，因为每一位只有一个权值，所以树状数组中的值只可能为0和1，即为这一位有数字/没数字，所以前缀和就是1的个数，即为比j小的下标的个数，满足i<j，所以上一位的前缀和就是这一位与前面数的逆序对数

注

当val值相等的时候，需要按id从大到小排序，这是为了防止将相同的数字错误的当作逆序对数。假设下标2,4存的数值都是10，如果先处理2下标，那么2下标就会被标记，接下来处理4下标的时候，由于2<4，所以计算前缀和会把2下标也计算上，这样是错误的。

（洛谷P1908）

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=5e5+10;
ll n,ans;
struct node{ll id,val;
}a[N];
struct tree{ll c[N];void update(ll p,ll x){for(;p<=n;p+=(p&-p)) c[p]+=x;return ;}ll ask(ll p){ll ans=0;for(;p;p-=(p&-p)) ans+=c[p];return ans;}
}t;
bool cmp(node a1,node a2){if(a1.val!=a2.val) return a1.val>a2.val;return a1.id>a2.id;
}
int main(){scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i].val);a[i].id=i;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){t.update(a[i].id,1);ans+=t.ask(a[i].id-1);}printf("%lld",ans);return 0;
}

时间复杂度：O(n long n)

2.记录数值法

记录每个数值出现的次数，到处理当前位时，让当前位的数值在树状数组中的位置+1，然后求这个数值在树状数组中的前缀和，并用i减去它。

原理

由于记录的是每一个数值出现的次数，所以处理当前元素(i)时，求它的前缀和，就是所有小于等于它的数值的个数，此时满足j<i，所以还需要满足a[i]<a[j]，由于前缀和计算的是小于等于，当前是第j个数，所以答案应为i-ask(a[i])

注

当数组数值过大时需要进行离散化

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=5e5+10;
ll n,ans,a;
struct tree{ll c[N];void update(ll p,ll x){for(;p<=n;p+=(p&-p)) c[p]+=x;return ;}ll ask(ll p){ll ans=0;for(;p;p-=(p&-p)) ans+=c[p];return ans;}
}t;
int main(){scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a);t.update(a,1);ans+=i-t.ask(a);}printf("%lld",ans);return 0;
}

时间复杂度：O(n long n)