1. 什么是对数？
对数是指数运算的逆运算。如果 \(a^b = c\)（其中 \(a > 0\) 且 \(a ≠ 1\)），那么 \(\log_a c = b\)
基本定义
- \(\log_a x = y\) 意味着 \(a^y = x\)
- 例如：\(\log_2 8 = 3\)，因为 \(2^3 = 8\)
2. 常见的对数类型
自然对数 (ln)
- 以 \(e\) 为底的对数：\(\ln x = \log_e x\)
- \(e ≈ 2.71828...\)（自然常数）
常用对数 (lg)
- 以 10 为底的对数：\(\lg x = \log_{10} x\)
二进制对数 (lb)
- 以 2 为底的对数：\(\lb x = \log_2 x\)
3. 对数的基本性质
- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
- \(\log_a (\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y\)
- \(\log_a (x^n) = n \log_a x\)
- \(\log_a a = 1\)
- \(\log_a 1 = 0\)
4. 换底公式
\[\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
\]
常用形式：\(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\)
5. 换底公式法
这是最实用的笔算方法：
\[\log_a x = \frac{\log x}{\log a}
\]
通过查常用对数表来计算。
6. 对数表查表法（传统方法）
步骤：
- 将数字标准化为科学计数法形式
- 查对数表得到尾数部分
- 加上首数部分（指数部分）
例如计算 \(\log_{10} 256\)：
- \(256 = 2.56 × 10^2\)
- 查表得 \(\log_{10} 2.56 ≈ 0.4082\)
- \(\log_{10} 256 = 0.4082 + 2 = 2.4082\)
7. 近似计算公式
泰勒级数展开：
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...
\]
（当 \(|x| < 1\) 时）
常用近似：
- \(\ln 2 ≈ 0.693\)
- \(\ln 3 ≈ 1.099\)
- \(\log_{10} 2 ≈ 0.301\)
- \(\log_{10} 3 ≈ 0.477\)
8. 实用笔算技巧
利用对数性质：
- \(\log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - 0.301 = 0.699\)
- \(\log 4 = \log 2^2 = 2\log 2 = 2 × 0.301 = 0.602\)
9. 现代笔算方法
如果没有计算器，最实际的方法是：
- 记住几个关键对数值
- 利用对数的运算法则进行分解
- 通过线性插值估算中间值
实际例子：
计算 \(\log_2 20\)
- \(\log_2 20 = \log_2 (4 × 5) = \log_2 4 + \log_2 5 = 2 + \log_2 5\)
- \(\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} ≈ \frac{0.699}{0.301} ≈ 2.32\)
- 所以 \(\log_2 20 ≈ 2 + 2.32 = 4.32\)
