树形DP通用思路总结

树形 DP 的通用套路就是定根 → 设状态（含语义与边界）→ 按子树合并转移，再用 换根（rerooting）/树形背包/计数与期望等模板覆盖高频题型，必要时配合小到大合并、长链剖分或虚树解决复杂度问题。

一、通用三步法？

1. 定根：任选 1 为根（或题意指定/重心/直径端点），把无根树变成有根树。
2. 设状态：让 dp[u][*] 的每一维都有清晰语义（如选/不选、已用容量、涂色数、路径是否经过 u 等），明确可空子树的返回值（常用 0、1、−INF）。
3. 合并转移：对子节点逐个合并（“多子树分组背包”），注意顺序与幂等：
   • 点/边独立：min/max + Σ child 型。
   • 路径/距离：size、sum 两件套；
   • 树形背包：二维/一维滚动合并，复杂度常见 O(n k^2)，用“大合并小/分治/单调性”优化。

二、典型模型与“拿来即用”的状态设计

1. 点独立集 / 覆盖 / 匹配（最常考）

• 最大独立集：f[u][0/1] 表示 u 不选/选 的最优。 转移：f[u][1] = val[u] + Σ f[v][0]``f[u][0] = Σ max(f[v][0], f[v][1])
• 最小点覆盖与最大匹配互补；边版本同理改成边状态或儿子之间两两配对。

2. 距离与路径贡献

• 子树信息：sz[u] 子树大小，g[u] 为 u 到其子树所有点距离和：g[u] = Σ (g[v] + sz[v])。
• 换根（全局距离和）：ans[1]=g[1]，向下：ans[v] = ans[u] + n - 2*sz[v]。 同构思可做经过 u 的路径数/长度和、点/边权累加等。

3. 树形背包

• f[u][j] 表示在 u 的子树拿 j 个（或容量 j）能取得的最优。
• 合并孩子时做分组背包：f[u]= merge(f[u], f[v])，双循环 j 与 t。
• 常见优化：
  • 大合并小把均摊复杂度降到 O(n k)；
  • 若转移是 min-convolution，可用分治/单调队列/Knuth等（依题目结构）。

4. 染色与计数（方案数 / 期望）

• 树上 k 染色（相邻不同色）：f[u] = (k-1) * Π f[v] 或用 f[u][same/diff] 细分。
• 计数题注意：模数、空子树=1，与乘法在合并时机。

5. Rerooting（换根 DP）

把“以 u 为根的答案”设为聚合函数：

• 自底向上得到每条“向父贡献”的值；
• 用前后缀预处理（或 AtCoder 式模板）把去掉某子树的外部贡献 O(1) 拿到，再把根换到该子树。 适用：距离和、最大值带方向、子树答案转全局答案、边双向属性等。

6. 进阶

• DSU on tree（小到大）：离线统计“关于 u 子树的查询”（颜色数、频次、莫队思想），不是 DP，但常与“每个 u 的答案”搭配。
• 虚树 DP：关键点集上的 DP，把原树缩成含关键点与其 LCA 的稀疏树，复杂度 O(k log n) 建 + O(k) DP。
• 长链剖分：把线性转移挂到主链上，优化合并。
• 答案二分 + 可行性 DP：如“最多选 k 条边使代价 ≤ X”。

三、合并技巧与复杂度

• 两层循环谁在外？ 通常“容量/数量在外，孩子在内”。
• 大合并小：总移动次数 ≤ 每元素被搬运 O(log n) 次，降维打击树背包的常数。
• 前后缀：把“去掉某个孩子的合并结果” O(1) 取到，为换根模板与“除去某子树的贡献”提供捷径。
• 空集定义：计数设 1，max 设 -INF，min 设 +INF，避免把“没选到东西”的状态误参与比较。

四、易错

• 点权/边权别混：统一在转移的入口处“落点”。
• 模数：乘法合并先取模；0 方案注意。
• 重根时别二次计入：ans[v] = ans[u] + … - 子树贡献 + 外部贡献，公式要写干净。
• 空子树/叶子：提前给初值；max 型要允许“一个孩子也不选”。
• 递归深度：极端链用迭代或 std::vector<int>().shrink_to_fit() 无关，这里更建议栈大小或尾递归的替代。

五、模板

1) 最大独立集（点权）

// 题意&思路：树上选点，任意相邻不能同选；dp[u][0/1] 表示不选/选u的最优。
// 转移：选u则孩子必不选；不选u则孩子取max。
// 复杂度O(n)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int N=200005;int n,hd[N],to[N<<1],nx[N<<1],ec;
ll w[N],f[N][2];void ad(int u,int v){ to[++ec]=v; nx[ec]=hd[u]; hd[u]=ec; }
void df(int u,int p){f[u][1]=w[u];for(int e=hd[u];e;e=nx[e]){int v=to[e]; if(v==p) continue;df(v,u);f[u][1]+=f[v][0];f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);}
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];for(int i=1,u,v;i<n;i++){ cin>>u>>v; ad(u,v); ad(v,u); }df(1,0);cout<<max(f[1][0],f[1][1])<<"n";
}

2) 距离和（换根 DP）

// 题意&思路：求每个点到所有点的距离和。先算子树距离和g与子树大小sz；
// 再换根：ans[v]=ans[u]+n-2*sz[v]。总O(n)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
using ll=long long;
const int N=200005;int n,hd[N],to[N<<1],nx[N<<1],ec,sz[N];
ll g[N],ans[N];void ad(int u,int v){ to[++ec]=v; nx[ec]=hd[u]; hd[u]=ec; }
void d1(int u,int p){sz[u]=1; g[u]=0;for(int e=hd[u];e;e=nx[e]){int v=to[e]; if(v==p) continue;d1(v,u);sz[u]+=sz[v];g[u]+=g[v]+sz[v];}
}
void d2(int u,int p){for(int e=hd[u];e;e=nx[e]){int v=to[e]; if(v==p) continue;ans[v]=ans[u]+(ll)n-2*sz[v];d2(v,u);}
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);cin>>n;for(int i=1,u,v;i<n;i++){ cin>>u>>v; ad(u,v); ad(v,u); }d1(1,0); ans[1]=g[1]; d2(1,0);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<(i==n?'n':' ');
}

六、思考什么？

• 我需要子树信息还是全局每点答案？若后者，十有八九要 rerooting。

• 状态是否可合并且无顺序依赖？若有顺序依赖，考虑前后缀或链式优化。

• 是否存在“选/不选”二值语义？能否把复杂约束转化为“选了谁就限制谁”的树独立/覆盖模型？

• 复杂度落在 O(n) / O(n log n) / O(n k) 可承受区间了吗？不行就：大合并小 / 降维 / 分治 / 单调。

• 边界：空子树值、模数、叶子初始化、取 max/min 的“无效值”。

  模型/目的	状态设计（示例）	合并与转移	常见复杂度	易错点
  最大独立集	f[u][0/1]	选 u：儿子取 0；不选：取 max	O(n)	重复计数、负权初值
  最小覆盖/匹配	f[u][0/1/2] 或边匹配	相邻限制 + 枚举儿子态	O(n)	覆盖定义与可行性
  距离/路径和	sz[u], g[u]	g[u]=Σ(g[v]+sz[v])；换根 ans[v]=ans[u]+n-2sz[v]	O(n)	sz 与方向号
  树形背包	f[u][j]	儿子分组背包合并	O(n k^2) → 优化到 O(n k)	空集初值、转移顺序
  染色/计数	f[u] 或 f[u][same/diff]	乘法合并	O(n)	模数与 0/1 设定
  Rerooting	子树 DP + 前后缀	去掉某子树的外部贡献再加回	O(n)	不要重复计入