2024 ICPC南京 VP（补题）记录
B - Birthday Gift
若两个 \(1\) 下标奇偶不同，则一定存在一种方法能删去奇数位置和偶数位置的一对 \(1\) ，\(0\) 是同理的。
一次操作删除一个奇数位一个偶数位，两个元素奇偶相同，则一定不会碰面，否则考虑任意两个奇偶不同的 \(1\) ，其区间中没有其他的 \(1\) ，那区间全是 \(0\) 且长度为偶数，则一定能删出来。
那么先贪心把已存在的奇偶不同的数删了，最后再用 \(2\) 去补掉剩余的位置。最后还要考虑 \(2\) 有剩余时的配对（我就被 \([2,2,2,2,2\cdots]\) 坑了）。
C - Topology
无上数数！
先考虑一个完整数怎么计算拓扑序个数，采用树上 dp 的方式：
这里用到点生成函数的推导，一个点 \(u\) 的两个儿子是组合形插入，即有贡献 \(f_{v_1} f_{v_2}\cdot \binom{s_{v_1}+s_{v_2}}{s_{v_1}}\) ，\(s_u\) 是子树大小。那么由 \(EGF\) 可以表示成 \(\frac{f_{v_1}}{s_{v_1}!}\cdot \frac{f_{v_2}}{s_{v_2}!}\) ，也就是所有子树的 \(EGF\) 乘起来，得到真实的 \(f\) 还要乘 \((s_u-1)!\) （\(u\) 必须放开头不考虑）。
现在回答这个问题，假设询问 \(x\) 我们已经得到了一个删去 \(x\) 子树时的拓扑序，则能插入子树 \(x\) 当且仅当其父亲 \(fa_x\) 的插入时刻小于 \(x\) 的插入时刻。
那我们设 \(f_{u,k}\) 表示删去 \(u\) 的子树后有多少个合法拓扑序，满足 \(fa_u\) 的插入时刻小于 \(k\) 。
设 \(u\) 的父亲为 \(fa\) ，则所有的 \(f_{fa,k}\) 都能转移到 \(f_{u,j},k<j\) ，系数考虑将 \(fa\) 中去掉 \(u\) 的子树后的这一堆点插入，先前已经有了 \(n-s_{fa}\) 个点，则后面有 \(n-s_{fa}-k+2\) 个空隙，要塞入 \(s_{fa}-s_{u}-1\) 个元素（减一去掉 \(fa\)），是个插板法，再乘上这堆点的拓扑序方案数。算 \(f_{u,j}\) 是个前缀和，可以计算。
G - Binary Tree
每次询问需要严格删除 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 个点，考虑询问重心，由于是二叉树，则重心去掉会最多分成三个子树。有一个类似点分治的方案。
考虑选其中两个子树做一次询问，则根据答案可以唯一确定这个点在哪个子树内。
这里有一个问题，重心会分配给一个子树，即没有询问点的那个子树，若那个子树很大，例如恰好等于 \(\frac{n}{2}\) 则分配重心后严格删除性就不满足了，此时要保证重心分配给大小尽可能小的子树内，即询问时询问大小最大的两个子树。
I - Bingo
之前考过的 Min-Max 容斥。
将行列打成一个 \(n+m\) 的集合 \(S\)，一行或一列的值为这一行列的数的最大值，则 bingo 数是 \(\min(S)\) 。
不太好算，用 Min-Max 容斥，变为 \(\sum_{T\in S}(-1)^{|T|+1}\max(T)\) 。
不妨将序列排序，考虑求一个集合 \(T\) 的值，其有 \(i\) 行和 \(j\) 列，则有 \(c=im+jn-ij\) 个位置需要填数，不妨认为 \(\max(T)=a_k\) （这里认为所有 \(j>k\) 的 \(a_j\) 都大于 \(a_k\)），此时 \(\max(T)=a_k\) ，除了放入 \(a_k\) ，剩下位置需要放 \(\binom{k-1}{c-1}\) 个，再加上排列运算，答案为：
移项化简后为：
后面的和式是差卷积的形式，即 \(F(k)=\sum_{i=0}f(i)g_{k+i}\) 。于是可以用 NTT 优化，总复杂度 \(O(nm\log(nm))\) 。
