平衡树(二叉排序树)

set，map底层为平衡树

splay，sbt，treap，AVL，替罪羊树

splay：本质为二叉排序树

二叉排序树： 有左子树 < root，柚子树 > root，采用中序遍历时为输出为有序序列

虽然对于二叉树插入and查询为logN，但随着插入不同最坏退化为链O(N)

故此需要平衡的二叉排序树(保证层数)

Tree Rotation操作(核心)： 在旋转过程中让树区域平衡

void splay(x) {将x节点旋为根
}

即不断将底下的数网上转，旋转为root节点

Splaying的操作(受三种因素影响)：

• 节点x是父节点p的左儿子还是右儿子
• 节点p是不是root节点，如果不是
• 节点p是父节点g的左儿子还是右儿子

有三种操作：
Zig step：

当p节点为root节点，进行Zig step，有：

• x为p左孩子：x右旋
• x为p右孩子：x左旋

Zig-Zig step：

当p非root节点，且p和x同为左孩子或者右孩子，有：

• p，x同为左孩子：依次右旋旋转p和x
• p，x同为右孩子：依次左旋旋转p和x

最后将x旋转为root

Zig-Zag step：

当p非root节点，且p和x不同为左孩子或者右孩子，有：

• p为左孩子，x为右孩子：将x左旋再右旋
• p为右孩子，x为左孩子：将x右旋再左旋

对于x和p是不同边儿子时，先将x旋转为p的父亲，再将x旋转为root的位置

即当和父亲为相同儿子：有旋转父亲，再旋转我，和父亲为不同儿子：旋转我，再旋转我

其中记录P：对于x的父亲f的儿子旋转后父子关系不变，与x同向的儿子与x的父子关系同样不改变，变的是与x不同向的儿子，因此进行标记

因此要对p进行记录

板子：

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
struct node {int data;
}_a[MAXN];
bool operator < (node const &_a, node const &_b) {return _a.data < _b.data;   
}
bool operator == (node const &_a, node const &_b) {return _a.data == _b.data;   
}
bool operator != (node const &_a, node const &_b) {return !(_a.data == _b.data);
}
bool operator > (node const &_a, node const &_b) {return !(_a < _b && _a == _b);
}int _fa[MAXN], _s[MAXN][2], _num[MAXN], _size[MAXN], n, t, _root, _sz;
inline int ws(int x) {//即which son：返回父亲节点儿子是否为自己(1/0)return _s[_fa[x]][1] == x;
}void setson(int son, int f, int w) {//0:左，左小 1:右，大//setson：将son接到父亲f，方向为w(儿子的方向)if(son != 0) _fa[son] = f;if(f != 0) _s[f][w] = son;
}void maintain(int x) {_size[x] = _size[_s[x][0]] + _size[_s[x][1]] + _num[x];
}void rot(int x) {//旋转x：根据你为左儿子or右儿子，往上旋一层int f = _fa[x], ff = _fa[f];//f记录父亲节点是谁，ff为父亲的父亲int w = ws(x), wf = ws(f);//w记录我为左儿子还是右儿子，wf为父亲的方向int p = _s[x][!w];//p是与自己不同向的儿子//记录P：对于x的父亲f的儿子旋转后父子关系不变//与x同向的儿子与x的父子关系同样不改变//变的是与x不同向的儿子，因此进行标记setson(p, f, w);setson(x, ff, wf);//接到爷爷上，方向为父亲方向setson(f, x, !w);//将父亲接到自己，方向是我方向的反方向//maintain维护其他信息：子树大小，子树最大值，子树和等···maintain(f);maintain(x);
}void splay(int x) {for(; _fa[x]; rot(x)) {//直到root节点都循环进行操作，rot旋自己if(_fa[_fa[x]] && ws(_fa[x]) == ws(x)) {//爷爷存在，并且父亲和我方向相同rot(_fa[x]);//转父亲，for循环中rot(x)还会保证转一次自己}_root = x;//记录当前根}
}void insert(int now, node p) {if(_root == 0) {_root = ++ _sz;_a[_sz] = p;_size[_sz] = _num[_sz] = 1;return ;}while(_a[now] != p) {_size[now] ++ ;if(p > _a[now]) {if(_s[now][1] == 0) {_a[++ _sz] = p;setson(_sz, now, 1);}now = _s[now][1];}else {if(_s[now][0] == 0) {-a[++ _sz] = p;setson(_sz, now, 0);}now = _s[now][0];}}_size[now] ++;_num[now] ++;splay(now);
}void dfs(int now) {if(_s[now][0]) dfs(_s[now][0]);for(int i = 1; i <= _num[now]; ++ i) {cut << _num[now] << " ";}if(_s[now][1]) dfs(_s[now][1]);
}int main() {freopen("in.txt", "r". stdin);freopen("splay.txt", "w", stdout);int C;scanf("%d", &C);while(C -- ) {}return 0;
}

对于删除操作：splay树支持删除操作，先将删除节点旋转到root节点，断开左右子树：

• 断柚子树：找左子树最大的点
• 断左子树：找柚子树最小的点

采用结构体记录或者遍历的方式找到，然后将左右子树(最大/最小点p)splay为root节点，此时显然p无右/左儿子，将另一边接上去即可