完整教程：矩阵与行列式

news/2025/10/28 8:11:21/文章来源:https://www.cnblogs.com/gccbuaa/p/19170623

一、行列式

1.1 二元线性方程组与二阶行列式

二元线性方程组求解

对于二元线性方程组：
${a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\begin{cases}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2} = b_{2}\end{cases}$

通过消元法可推导得：
$(a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{1}=b_{1} a_{22}-a_{12} b_{2}$
$(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) x_{2}=a_{11} b_{2}-b_{1} a_{21}$

当系数项满足 $a11a22−a12a21≠0\boldsymbol{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0}$ 时，方程组有唯一解：
$x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21x_{1}=\frac{b_{1} a_{22}-a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}$
$x2=a11b2−b1a21a11a22−a12a21x_{2}=\frac{a_{11} b_{2}-b_{1} a_{21}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}$

二阶行列式定义

看起来好像有些规律呀
在这里插入图片描述

上述方程组中，系数项 $a11a22−a12a21\boldsymbol{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}$ 称为二阶行列式，记为：
$D=∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21D=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$

1.2 三阶行列式

三阶行列式展开式

对于三阶行列式：
$∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

其展开式为：
$a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\begin{aligned} &a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} \\ -&a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned}$
二阶看起来挺容易就算出来了，三阶的呢？

三阶行列式计算示例

计算行列式 $D=∣12−4−221−34−2∣D=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 1 \\ -3 & 4 & -2\end{array}\right|$ ：
$D=1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4−(−4)×2×(−3)−2×(−2)×(−2)−1×1×4=−4−6+32−24−8−4=−14\begin{aligned} D&=1 \times 2 \times (-2) + 2 \times 1 \times (-3) + (-4) \times (-2) \times 4 - (-4) \times 2 \times (-3) - 2 \times (-2) \times (-2) - 1 \times 1 \times 4 \\ &=-4 - 6 + 32 - 24 - 8 - 4 \\ &=-14 \end{aligned}$

二、矩阵基础

矩阵和数据之间的关系。
A B C D代表四座城市，它们之间可通行的关系：
在这里插入图片描述
如果有表格的形式来表示：

2.1 矩阵的定义

矩阵是由行和列组成的数表，设 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ ，记为：
$A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)$

其中， $a_{ij}$ 表示矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素；输入的数据即构成矩阵，对数据的处理本质是矩阵操作。

2.2 矩阵与行列式的区别

对比维度	行列式	矩阵
行数与列数	行数必须等于列数（n阶）	行数可不等于列数（m×n）
元素个数	n阶行列式有 $n^2$ 个元素	m×n矩阵有 $m \times n$ 个元素
本质	一个数值	一个数表

2.3 何为矩阵？

输入的数据就是矩阵，对素材做任何的操作都是矩阵的管理了。
在这里插入图片描述

2.4 矩阵的组成

矩阵是由行和列来组成的：
在这里插入图片描述
矩阵的特殊形式行向量与列向量：

2.5 特殊矩阵

1. 向量（特殊矩阵）

行向量：1行n列矩阵，记为 $(a1a2⋯an)\left(a_{1} \quad a_{2} \quad \cdots \quad a_{n}\right)$
列向量：n行1列矩阵，记为 $(a1a2⋮an)\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)$

2. 方阵

行数与列数相等的矩阵，称为n阶方阵，记为：
$A=An×n=An=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯an1an2⋯ann)=(aij)n×nA=A_{n \times n}=A_{n}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & & & \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$

3. 三角矩阵

上三角矩阵：主对角线以下元素全为0的方阵：
$(a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮00⋯ann)\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$
下三角矩阵：主对角线以上元素全为0的方阵：
$(a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ann)\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$

4. 对角阵

主对角线以外元素全为0的方阵：
$(λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋮00⋯λn)\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right)$

5. 单位矩阵

主对角线元素全为1、其余元素全为0的对角阵，记为 $I$ ：
$I=(10⋯001⋯0⋮⋮⋮⋮00⋯1)I=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)$

2.6 同型矩阵与矩阵相等

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等，例如 $(1234)\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ 与 $(5678)\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}$ 是同型矩阵（均为2×2矩阵）。
矩阵相等：需同时满足两个条件：
1. 两矩阵为同型矩阵；
2. 对应位置的元素相等，即 $,n)a_{i j}=b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 。

三、矩阵的基本运算

3.1 矩阵加法

设两个 $m \times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$ ，则它们的和 $A + B$ 定义为：
$A+B=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn)A+B=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n} \end{array}\right)$

3.2 矩阵数乘

设常数 $λ\lambda$ 与 $m \times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ ，则数乘 $λA\lambda A$ （或 $AλA\lambda$ ）定义为：
$λA=Aλ=(λa11λa12⋯λa1nλa21λa22⋯λa2n⋮⋮⋮λam1λam2⋯λamn)\lambda A=A \lambda=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \lambda a_{m 2} & \cdots & \lambda a_{m n}\end{array}\right)$

3.3 矩阵乘法

乘法条件

矩阵 $A$ （ $m \times k$ ）与矩阵 $B$ （ $k \times n$ ）可乘，且乘积 $C = A B$ 为 $m \times n$ 矩阵（ $A$ 的列数 = $B$ 的行数）。

乘法示例（销售额计算）

设两个商场的三种电视机销量矩阵 $A$ （华润：2行3列），三种电视机单价矩阵 $B$ （长虹：3行1列）：
$A=(128101496),B=(2.533.5)A=\left(\begin{array}{ccc}12 & 8 & 10 \\ 14 & 9 & 6\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{c}2.5 \\ 3 \\ 3.5\end{array}\right)$
在这里插入图片描述

则销售额矩阵 $C = A B$ 计算如下：
$C=AB=(128101496)(2.533.5)=(12×2.5+8×3+10×3.514×2.5+9×3+6×3.5)=(8983)\begin{aligned} C &=AB=\left(\begin{array}{ccc} 12 & 8 & 10 \\ 14 & 9 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 2.5 \\ 3 \\ 3.5 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} 12 × 2.5 + 8 × 3 + 10 × 3.5 \\ 14 × 2.5 + 9 × 3 + 6 × 3.5 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{l} 89 \\ 83 \end{array}\right) \end{aligned}$

乘法性质

无交换律：一般 $\neq BA$ ，例如：
$A=(−241−2),B=(24−3−6)A=\left(\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -3 & -6\end{array}\right)$
$AB=(−16−32816),BA=(0000)AB=\left(\begin{array}{cc}-16 & -32 \\ 8 & 16 \end{array}\right),\quad BA=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$
结合律： $(A B) C = A (BC)$
数乘结合律： $λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
分配律： $A (B + C) = A B + A C$ ， $(B + C) A = B A + C A$

3.4 矩阵表示线性方程组

对于线性方程组：
${a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{cases}$

可表示为矩阵形式 $AX=b\boldsymbol{AX=b}$ ，其中：

系数矩阵： $A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)$
未知数矩阵： $X=(x1⋮xn)X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$
常数矩阵： $b=(b1⋮bm)b=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)$

3.5 矩阵转置

转置定义

将矩阵 $A$ 的行与列互换，得到的新矩阵称为 $A$ 的转置，记为 $A^T$ 。例如：
$A=(1203−11),AT=(132−101)A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1\end{pmatrix},\quad A^T=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

转置性质

$A^{T})^{T}=A$
$A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
$(λA)T=λAT(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$
$AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ （推广： $(A1A2⋯An)T=AnT⋯A2TA1T\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)^{T}=A_{n}^{T} \cdots A_{2}^{T} A_{1}^{T}$ ）

3.6 对称矩阵

若矩阵 $A$ 满足 $A^{T}=A$ ，则 $A$ 为对称矩阵，其本质是对应元素相等： $a_{ij}=a_{ji}$ 。

示例：
$(1011−1),(0000),(−32−4207−475)\left(\begin{array}{cc}10 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc}-3 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 7 \\ -4 & 7 & 5\end{array}\right)$

3.7 逆矩阵

逆矩阵定义

设 $A$ 为n阶方阵，若存在n阶方阵 $B$ ，使得 $A B = B A = I$ （ $I$ 为n阶单位阵），则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记为 $B=A^{-1}$ 。

逆矩阵性质（ $A$ 、 $B$ 均可逆）

$A^{-1})^{-1}=A$
$A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
$(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda} A^{-1}$ （ $λ≠0\lambda \neq 0$ ）
$AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

四、矩阵的秩

对于一个 $S * N$ 的矩阵：
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix}$
矩阵 $A$ 的每一行可以看作一个 $N$ 维向量：
$,s\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}),\quad i = 1,2,\cdots,s$
$,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 叫作 $A$ 的行向量。
矩阵 $A$ 的每一列可以看作一个 $S$ 维向量：
$,n\beta_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{sj} \end{pmatrix},\quad j = 1,2,\cdots,n$
$,βn\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 叫作 $A$ 的列向量。

4.1 秩的定义

矩阵的秩是矩阵中最大线性无关向量组的向量个数，且矩阵的行秩=列秩（行秩：行向量组的最大线性无关向量个数；列秩：列向量组的最大线性无关向量个数）。

秩的计算示例

设矩阵 $A$ 的行向量组为 $α1=(1,1,3,1)\alpha_{1}=(1,1,3,1)$ ， $α2=(0,2,−1,4)\alpha_{2}=(0,2,-1,4)$ ， $α3=(0,0,0,5)\alpha_{3}=(0,0,0,5)$ ， $α4=(0,0,0,0)\alpha_{4}=(0,0,0,0)$ ，对应的矩阵：
$A=(113102−1400050000)A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

求行向量组的极大线性无关组：
设 $k1α1+k2α2+k3α3=0k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3}=0$ ，得方程组：
${k1=0k1+2k2=03k1−k2=0k1+4k2+5k3=0\begin{cases} k_{1}=0 \\ k_{1}+2 k_{2}=0 \\ 3 k_{1}-k_{2}=0 \\ k_{1}+4 k_{2}+5 k_{3}=0 \end{cases}$
解得 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$ ，故 $α1,α2,α3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关；又 $α4\alpha_{4}$ 为零向量（必线性相关），因此行向量组的秩为3。
求列向量组的秩：
设列向量组为 $β1,β2,β3,β4\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$ ，可验证 $β3=72β1−12β2+0β4\beta_{3}=\frac{7}{2} \beta_{1}-\frac{1}{2} \beta_{2}+0 \beta_{4}$ （ $β3\beta_{3}$ 可由 $β1,β2\beta_{1},\beta_{2}$ 线性表示），而 $β1,β2,β4\beta_{1},\beta_{2},\beta_{4}$ 线性无关，因此列向量组的秩为3。

4.2 秩的几何意义

旋转矩阵 $(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}$ ：变换后仍为二维图形，秩为2；
矩阵 $(1−11−1)\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ ：变换后压缩为一维直线，秩为1。

4.3 秩的通俗理解

若有 $N$ 张照片（对应矩阵的 $N$ 个向量），但照片本质仅涵盖3个人的信息（独立信息），则矩阵的秩为3。
在这里插入图片描述

五、向量的内积、长度与正交

5.1 向量内积

内积定义

设n维向量 $x=(x1x2⋮xn)x=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ， $y=(y1y2⋮yn)y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)$ ，则 $x$ 与 $y$ 的内积记为 $[x, y]$ ：
$[x,y]=x1y1+x2y2+⋯+xnyn=xTy[x,y]=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}=x^{T}y$

内积性质

对称性： $[x, y] = [y, x]$
线性性： $[λx,y]=λ[x,y][\lambda x,y]=\lambda [x,y]$ （ $λ\lambda$ 为常数）
可加性： $[x + y, z] = [x, z] + [y, z]$

5.2 向量的长度

长度定义

n维向量 $x$ 的长度（范数）记为 $∥x∥\|x\|$ ：
$∥x∥=[x,x]=x12+x22+⋯+xn2≥0\|x\|=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \geq 0$

特殊向量与长度性质

单位向量：若 $∥x∥=1\|x\|=1$ ，则 $x$ 为单位向量；
齐次性： $∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥\|\lambda x\|=|\lambda| \cdot \|x\|$ ；
三角不等式： $∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\| \leq \|x\|+\|y\|$ 。

5.3 向量的正交

正交定义

若向量 $x$ 与 $y$ 的内积 $[x, y] = 0$ ，则称 $x$ 与 $y$ 正交。
正交向量组：两两正交的非零向量组成的向量组，且正交向量组必线性无关。

正交向量求解示例

在 $R^3$ 中，已知 $α1=(111)\alpha_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ ， $α2=(1−21)\alpha_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$ 正交，求非零向量 $α3\alpha_{3}$ 使三者两两正交。

设 $α3=(x1,x2,x3)T\alpha_{3}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$ ，由正交条件得：
$[α1,α3]=α1Tα3=x1+x2+x3=0[\alpha_{1},\alpha_{3}]=\alpha_{1}^{T}\alpha_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$
$[α2,α3]=α2Tα3=x1−2x2+x3=0[\alpha_{2},\alpha_{3}]=\alpha_{2}^{T}\alpha_{3}=x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$
转化为线性方程组：
$x=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)$
初等行变换求解：
$(1111−21)∼r(1110−30)∼r(111010)∼r(101010)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$
得 ${x1=−x3x2=0\begin{cases}x_{1}=-x_{3} \\ x_{2}=0\end{cases}$ ，取 $x_{3}=1$ ，则 $α3=(−101)\alpha_{3}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ 。