洛谷 P7011 Escape

房间情况记为 \(a_u\)。

首先，判定能否逃走，可以在 \(t\) 点下面挂一个编号为 \(n+1\) 的点，权值为 \(+\infty\)。判定就转化为，能否在题设限制中，最终的体力达到 \(+\infty\)。

然后考虑这个英雄会怎么走。
他可能会以一种弯弯扭扭，徘徊多次的姿态在树上游荡。具体地，他可能在第一次经过点 \(u\) 的时候，不足以打败 \(u\) 点的怪兽，导致他不能喝其子树中的魔泉；但是他可能会返回，在另一个分支中喝魔泉从而能有足够的体力打 \(a_u\)。

一般人都会想 DP 对吧。设 \(f_{u}(x)\) 为，只考虑 \(u\) 子树中的情况，以 \(x\) 的体力进入 \(u\) 子树，出来的时候体力增加的最大值。

转移的时候，顺序是重要的。他甚至可以反复横跳。
所以没有一个确定的顺序来更新状态。

这里用若干个二元组的集合来刻画 \(f_u\)。二元组 \((a, b)\) 表示，\(x\ge a\) 的时候比 \(x < a\) 的时候，能多收 \(b\) 的体力。这样的二元组是不多的（可以从下面的更新过程中看到）。

那 \(f_u(x)\) 就是重复以下过程，直到集合为空。

• 取出集合中最小的二元组 \((a, b)\) 并删除；
• 若 \(x \ge a\)，则加上 \(b\) 的贡献，并令 \(x \gets x+b\)。

显然 \(f_u(x)\) 单调不降。

容易看出，每次只需要暴力合并 \(u\) 的儿子 \(v\) 们的 \(f_v\)，再考虑怎么加进 \(u\) 点的贡献就可以。
显然 \(a_u > 0\) 的情况，直接往 \(u\) 的集合里丢一个 \((0, a_u)\) 就行。下面重点讨论 \(a_u <0\) 的情况。

如果直接往集合里面加入一个 \((0, a_u)\) 讲道理是可以的。但是有两个限制没有考虑：

• 进入 \(u\) 这个子树的最小初始体力为 \(-a_u\)，也即 \(f_u(x)\) 的定义域是 \(x\ge -a_u\)；
• 那如果把 \(f_u(-a_u)\) 带进去有可能会得到一个负的结果，那还不如不进入这个子树。换句话说，\(f_u(x)\) 只有在 \(x\) 大于等于一个最小值 \(least\) 的时候才非负。

首先解决第二个限制。我们可以想一件事：
怎么求出在没有加进 \((0, a_u)\) 的集合中，最小的值 \(least\) 使得 \(f_u(least)\ge -a_u\)。这样才能使得 DP 有抉择的空间。

实际上不难。初始设定 \(least=0,extra =0,now=0\) 表示，\(f_u(least)\) 能得到的最多额外收益 \(extra\)，以及实时更新的体力值 \(now\) 维护我们对 \(least\) 的调整。

重复以下过程直到 \(extra \ge -a_u\) 或集合为空：

• 取集合中最小元素 \((x, y)\)，并删除。
• 若 \(now\) 小于 \(x\)，这时候初始值 \(least\) 并不足以让我们达到 \(-a_u\) 的额外收益。则让 \(least\) 加上 \(now\)，并让 \(now \gets x\)。（这里 \(now\) 表示当前体力）
• 额外收益 \(extra \gets extra + y\)，现在的体力值 \(now \gets now + y\)。

现在求出了 \(least\) 和 \(extra\)。那这个 \(least\) 就表示，最小进入 \(u\) 子树的体力，使得在里面转一圈能回本。

进入 \(u\) 要花掉 \(u\) 的代价。所以实际上最小是要有 \(least - a_u\) 的进入体力。只需要在经历上面的过程之后，加入 \((least - a_u, extra + a_u)\) 就可以。

但这里有一个问题。可能 \(u\) 的集合中原来有一些第一关键字小于 \(least - a_u\) 的二元组。这也简单，删去这些二元组，把 \(extra\) 加上他们的第二关键字就可以。

用 priority_queue 表示集合，启发式合并做到 \(O(n\log^2n)\)。暴力删点不会影响复杂度，因为每个点最多被删一次。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//#define filename "xxx" 
#define FileOperations() freopen(filename".in", "r", stdin), freopen(filename".out", "w", stdout)
#define multi_cases 1#define inf 0x3f3f3f3f
#define Linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int, int> 
#define ull unsigned long long
#define all(v) v.begin(), v.end()
#define upw(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define dnw(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); --i)template<class T> bool vmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, true : false; }
template<class T> bool vmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, true : false; }
template<class T> void clear(T &x) { T().swap(x); }const int N = 2e5+5;#define int long longint n, t, a[N];
vector<int> G[N];priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > s[N];void DFS(int u, int fa) {for(auto v : G[u]) if(v != fa) {DFS(v, u);if(s[u].size() < s[v].size()) swap(s[u], s[v]);while(!s[v].empty()) s[u].push(s[v].top()), s[v].pop();}if(a[u] > 0) {s[u].push(pii(0, a[u]));}else if(a[u] < 0) {int least = 0, ex = 0, now = 0;while(ex < -a[u] && !s[u].empty()) {auto [x, y] = s[u].top();s[u].pop();if(now < x) least += x - now, now = x;ex += y, now += y;}while(!s[u].empty()) {auto [x, y] = s[u].top();if(x > least - a[u]) break;s[u].pop();ex += y;}if(ex >= -a[u]) s[u].push(pii(least - a[u], ex + a[u]));}
}void WaterM() {cin >> n >> t;upw(i, 1, n) cin >> a[i];upw(i, 1, n-1) {int u, v;cin >> u >> v;G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);}a[++n] = 1000000000000000ll;G[n].push_back(t), G[t].push_back(n);DFS(1, 0);int res = 0;while(!s[1].empty()) {auto [x, y] = s[1].top();	s[1].pop();if(res >= x) res += y;}puts(res >= 1000000000000000ll ? "escaped" : "trapped");upw(i, 1, n) clear(G[i]), clear(s[i]);
}signed main() {
#ifdef filenameFileOperations();
#endifsigned _ = 1;
#ifdef multi_casesscanf("%d", &_);
#endifwhile(_--) WaterM();return 0;
}