无穷小和无穷大

无穷小量

\(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = 0\)，\(f(x)\) 为当 \(x\rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0\)，\({x_n}\) 当 \(n\rightarrow \infty\)，\(x_n\)为当 \(n \rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0\)，\(\frac{1}{x}\) 为当 \(x \rightarrow \infty\) 的无穷小。

\(0\) 是无穷小。

定理

\(x \rightarrow x_0\)，\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A \rightarrow f(x) = A+\alpha\)，\(\alpha\) 是无穷小。

运算

如 \(\alpha\)、\(\beta\) 无穷小，\(x\rightarrow x_0\) 。

• \(\alpha + \beta\) 无穷小
• \(\alpha - \beta\) 无穷小
• \(\alpha \cdot \beta\) 无穷小
• \(\frac{\alpha}{\beta}\) 无法计算

无穷大量

无穷大分为 \(+\infty\) 与 \(- \infty\)。

定理

如果 \(f(x)\) 的极限是 \(\infty\) ，说明 \(f(x)\) 不存在极限。

例如，\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty\)， \(\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty\)，\(\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{1}{x} = -\infty\)。

再比如，\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x-1} = \infty\)。

运算

\(\infty\)

• \(\infty + \infty\) 无法计算
• \(\infty - \infty\) 无法计算
• \(\infty \cdot \infty = \infty\)
• \(\frac{\infty}{\infty}\) 无法计算

\(+ \infty\)

• \((+\infty )+ (+\infty ) = (+\infty)\)
• \((+\infty ) - (+\infty )\) 无法计算
• \((+\infty ) \cdot (+\infty ) = (+\infty)\)
• \(\frac{(+\infty )}{(+\infty )}\) 无法计算

\(-\infty\)

• \((-\infty )+ (-\infty ) = (-\infty)\)
• \((-\infty ) - (-\infty )\) 无法计算
• \((-\infty ) \cdot (-\infty ) = (+\infty)\)
• \(\frac{(-\infty )}{(-\infty )}\) 无法计算

定理

若 \(f(x)\) 是无穷大，\(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷小。

若 \(f(x)\) 是无穷小，且 \(f(x) \neq 0\) ，\(\frac{1}{f(x)}\) 是无穷大。