详细介绍：【C++】二叉搜索树

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的实现

二叉树的本质是通过链表实现，所以先实现一个树节点

template
struct BSTNode
{K _key;BSTNode* _left;BSTNode* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};

3.1插入

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右走，一会往左走）

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//寻找合适位置while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;
}

3.2. 二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

void find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

3.3二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩子均为空
要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案

把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//准备删除// 0-1个孩⼦的情况// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可if (cur->_left == nullptr){if (cur != _root){//左为空，父亲指向我的右if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}else{_root = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur != _root){//右为空，父亲指向我的左。if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}else{_root = cur->_left;}delete cur;}else{//左右都不为空，找子树中适合的节点替代我// 2个孩⼦的情况// 删除情况4，替换法删除// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。Node* minRightParent = cur;Node* minRight = cur->_right;while (minRight->_left){minRightParent = minRight;minRight = minRight->_left;}swap(cur->_key, minRight->_key);if (minRight == minRightParent->_left)minRightParent->_left = minRight->_right;elseminRightParent->_right = minRight->_right;delete minRight;}return false;}}return false;
}

3.4二叉搜索树的遍历

二叉搜索树的遍历采用的是中序遍历，利用递归很简单就可以实现。但在主函数调用时就会发现，根节点我们无法获取，所以这里再采用一种“套娃”的方式，

	void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了

场景：检查一篇英文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

7.3 key/value二叉搜索树代码实现

#pragma once
#include
#include
using namespace std;
template
struct BSTNode
{// pair _kv;K _key;V _value;BSTNode* _left;BSTNode* _right;BSTNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};
template
class BSTree
{typedef BSTNode Node;
public:BSTree() = default;BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}BSTree& operator=(BSTree t){swap(_root, t._root);return *this;}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}
private:Node* _root = nullptr;
};