P2051 [AHOI2009] 中国象棋 个人题解

news/2025/10/11 14:57:25/文章来源:https://www.cnblogs.com/bdxzay10180615/p/19134728

题目链接

题目描述:

给你一个 \(n*m\) 的棋盘,棋盘的每行和每列只能放置有 \(2\) 个棋子(可以放置 \(0\) 个棋子),问有多少种放置方案

解题方法:

这道题看起来像是八皇后问题的加强版,但是如果一个个枚举的话,复杂度将是天文数字,可以发现这是在有限集合内求最优解的问题,我们使用 DP 来解决,下面用闫氏 DP 分析法来考虑状态转移方程。

状态表示:

集合:我们用 \(f[i][j][k]\) 表示所有前 \(i\) 行有 \(j\) 列放置了一个棋子且有 \(k\) 列放置了两个棋子的方案数集合

属性:MAX

状态计算:

1. 当前第 \(i\) 行一个棋子也不放时

由上一行也就是第 \(i-1\) 行的状态直接转移过来:
\(f[i][j][k]=f[i-1][j][k]\)

2. 当前第 \(i\) 行放置一个棋子时

此时分为两种情况,一种是选择空列放置时,另一种是选择已经放置一个棋子的列。

1° 当选择空列放置时

由第 \(i-1\) 行,有 \(j-1\) 列放置了一个棋子且有 \(k\) 列放置了两个棋子的方案数转移过来,为什么是 \(j-1\) 而不是 \(j\) 呢?因为如果我们在一个空列上新放一个棋子,那么就会新产生有一个棋子的一列,而我们当前的状态为 \(f[i][j][k]\) ,所以是从 \(f[i-1][j-1][k]\) 转移过来,注意到此时一共有 \(m-(j-1)-k\) 个空列,所以方案数要加上 \(f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k)\) ,即此时的状态转移方程为:
\(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k)\)

2°当选择已经放置一个棋子的列时

由第 \(i-1\) 行,有 \(j+1\) 列放置了一个棋子且有 \(k-1\) 列放置了两个棋子的方案数转移过来,与上面一样都是根据当前的状态,在放到已经放置了一个棋子的列上后,这一列变成放置了两个棋子的列,所以是从 \(f[i-1][j+1][k-1]\) 转移过来,此时一共有 \(j+1\) 列放置了一个棋子的列,即共有 \(j+1\) 种可能m,则此时的状态转移方程为;
\(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)\)

3. 当前第 \(i\) 行放置两个棋子时

此时分为三种情况,一种时都选择空列位置,一种是都选择已经放置一个棋子的列,还有一种是一个棋子选择空列,另一个棋子选择已经放置一个棋子的列。

1°当都选择空列放置时

由第 \(i-1\) 行,有 \(j-2\) 列放置了一个棋子且有 \(k\) 列放置了两个棋子的方案数转移过来,此时共有 \(m-(j-2)-k\) 个空列,而要放置两个棋子则选择数为

\[\begin{pmatrix} 2\\ m-(j-2)-k \\\end{pmatrix} \]

则此时的状态转移方程为:
\(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*\begin{pmatrix} 2\\ m-(j-2)-k \\\end{pmatrix}\)

2°当都选择已经放置一个棋子的列时

由第 \(i-1\) 行,有 \(j+2\) 列放置了一个棋子且有 \(k-2\) 列放置了两个棋子的方案数转移过来,此时共有 \(j+2\) 个已经放置一个棋子的列,而要放置两个棋子则选择数为

\[\begin{pmatrix} 2\\ j+2 \\\end{pmatrix} \]

则此时的状态转移方程为:
\(f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*\begin{pmatrix} 2\\ j+2 \\\end{pmatrix}\)

3°当一个棋子选择空列,另一个棋子选择已经放置一个棋子的列时

由第 \(i-1\) 行,有 \(j\) 列放置了一个棋子且有 \(k-1\) 列放置了两个棋子的方案数转移过来,此时共有 \(m-j-(k-1)\) 个空列和 \(j\) 个已经放置一个棋子的列,故选择数为 \(j*(m-j-(k-1)))\)
则此时的状态转移方程为:
\(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*j*(m-j-(k-1))\)

综上,我们得到完整的状态转移方程:

1°一个也不选:\(f[i][j][k]=f[i-1][j][k]\)
2°只选一个棋子:\(\begin{cases}f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-(j-1)-k) & 选择空列\\f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1) & 选择已经有一个棋子的列\end{cases}\)
3°选择两个棋子:\(\begin{cases}f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*\begin{pmatrix} 2\\ m-(j-2)-k \\\end{pmatrix} & 都选择空列\\f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*\begin{pmatrix} 2\\ j+2 \\\end{pmatrix} & 都选择已经有一个棋子的列\\f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*j*(m-j-(k-1)) & 一个棋子选择空列,另一个棋子选择已经放置一个棋子的列\end{cases}\)
最后开始状态为 \(f[0][0][0]=1\) ,因为如果不放棋子的话也算一种方案,最终答案为 $$\sum_{i=0,j=0}^{m}f[n][i][j]$$,最后别忘记结果要 \(\bmod 9999973\)

代码如下:

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/934812.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

一种智能调度分布式路径计算解决方案

本文分享自天翼云开发者社区《一种智能调度分布式路径计算解决方案》.作者:蒋辉 背景技术 传统的CDN动态加载智能路由系统对用户动态请求,主要通过探测服务器主动发起周期性的探测请求,探测CDN中转节点和源站的可用…

使用 C++ 和 minizip 实现 ZIP 压缩解压工具

在软件开发中,文件压缩和解压是常见的需求。今天我们来介绍一个基于 minizip 库的 C++ ZIP 工具类 - ZipUtility,它可以轻松地处理 ZIP 文件的创建和解压。这篇文章使用AI辅助编写。核心功能 1. 压缩功能 ZipUtility…

西部数码使用外部dns服务器怎么配置解析

西部数码使用外部dns服务器怎么配置解析在西部数码购买的域名如果使用的dns是外部的,要在该外部dns管理平台去设置解析 比如使用的阿里云的dns如何设置解析 在阿里云dns管理页面找到dns粘贴到西部数码该域名的解析地址…

一看就懂,Oracle认证体系中的OCP中级认证

对于刚接触Oracle数据库或者打算往数据库领域发展的人来说,需要了解一下这个认证:Oracle的中级认证OCP认证专家。 OCP认证全称为Oracle Certified Professional(甲骨文认证专家),是全球知名的IT技术认证体系之一,由…

实用指南:SDN 控制器深度剖析:架构、对比与实践部署

pre { white-space: pre !important; word-wrap: normal !important; overflow-x: auto !important; display: block !important; font-family: "Consolas", "Monaco", "Courier New", …

2025 年试验机生产厂家最新推荐榜单:聚焦优质企业,助力精准选购高低温等各类试验设备弹簧拉压/弹簧疲劳/高频弹簧疲劳/U型弹簧专用试验机厂家推荐

在工业生产与科研检测的关键环节,试验机对保障产品质量、验证材料性能起着不可替代的作用。随着市场需求激增,试验机生产厂家数量骤增,但行业乱象也随之显现,产品质量参差不齐、技术水平差距悬殊、服务体系不完善等…

IIS/如何查看IIS上部署网站的实时连接数

我们在IIS发布的Web网站,如何查看网站实时的连接数呢? 1、首先打开运行框,输入perfmon.msc 2、打开监视工具-->性能监视器 3、点击 “+”号,添加计数项 Web Service/Current Connections 4、可以查看到网站的实…

Supabase:无需后端代码的 Web 开发完整解决方案

在现代 Web 应用开发中,构建 MVP(最简可行产品)时,后端基础设施的搭建常常成为主要瓶颈。开发者需要处理数据库、API、用户认证、权限控制、文件存储等多个模块,开发成本较高。 Supabase 提供了一种替代方案:它以…

Halo RAG!

Halo AI 助手插件最新版本深度集成了 RAG 问答功能,支持将 Halo 文章或 Docsme 文档作为知识库,为访客提供智能问答服务。用户需先创建知识库,配置嵌入模型并选择内容范围以建立索引;随后创建问答应用,关联知识库…

拼叨叨砍价系统:实体店低成本引流的营销利器

在互联网营销深入各行业的当下,“砍一刀” 凭借强社交裂变属性,已成为大众熟知的营销模式。拼叨叨砍价系统基于这一模式,针对实体店商家营销痛点,打造出轻量化、易操作的砍价活动模块,支持微信公众号部署,能帮助…

2025 自动门生产厂家最新推荐榜:权威筛选优质品牌,含选购指南与实力厂家深度解析

在出入口自动化浪潮下,自动门已成为商业综合体、医院、工业厂区等场景的刚需设备,但其市场呈现 “繁荣与乱象并存” 的态势。部分品牌缺乏核心技术,产品故障率高、寿命短,无形中增加使用成本;售后体系缺失导致故障…

grafana-使用grafana-image-renderer:v4.0.17渲染仪表盘图像

grafana-使用grafana-image-renderer:v4.0.17渲染仪表盘图像v4.0.17需要grafana版本在11.3.8以上。我的是centos7, 升级grafana很简单,备份一下数据和配置,然后停掉grafana服务,然后使用【rpm -Uvh 新版本的rpm包 …

医德出诊排班挂号管理系统:医院高效运营与便民服务的智能解决方案

在数字化医疗浪潮下,传统挂号模式的低效、信息不透明等问题日益凸显,患者就医体验不佳,医院管理压力也持续增加。医德出诊排班挂号系统作为一款聚焦医疗服务场景的数字化工具,依托微信公众号生态,整合出诊排班、预…

一佳教育培训课程系统小程序:一站式教育数字化解决方案

在数字化教育浪潮下,培训机构对高效、多功能的线上教学管理工具需求迫切。一佳教育培训课程系统小程序应运而生,涵盖微信小程序版本,支持微擎系统交付,集课程管理、学员运营、营销推广、商城功能于一体,以加密源码…

SLS Copilot 实践:基于 SLS 灵活构建 LLM 应用的数据基础设施

本文将分享我们在构建 SLS SQL Copilot 过程中的工程实践,展示如何基于阿里云 SLS 打造一套完整的 LLM 应用数据基础设施。作者:顾汉杰(执少)"纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。" —— 陆游在 LLM 应用快…

2025 木饰面源头厂家最新推荐榜单:21 年标杆企业领衔,背景墙/全屋 /格栅/碳晶板全品类最新推荐及选购指南

木饰面市场正面临性能适配难、供货周期长、品质参差不齐的行业痛点:家装中潮湿区域需防水板材、高端空间看重环保平整度,公装对防火抗菌要求严苛,而大小订单交付失衡问题普遍。同时,近年新锐品牌涌现与技术迭代,让…

2025 年北京市清理化粪池公司最新推荐排行榜:聚焦高压技术与全城服务的权威甄选朝阳区/丰台区/海淀区/通州区清理化粪池厂家推荐

在城市化持续推进的当下,化粪池清理作为维护城市环境卫生、保障管道系统通畅的核心环节,其服务质量直接关系到居民生活舒适度与企业运营效率。然而当前行业乱象频发,部分企业设备陈旧导致清理不彻底,不仅残留污垢易…

报表方案Stimulsoft 2025.4 重磅发布!新增AI报表助手、C#脚本支持、全新图表类型等多项功能!

全球知名的报表解决方案服务商 Stimulsoft 正式发布2025.4 版本!该版本面向报表、仪表盘与可填写PDF表单的开发者,带来了多项令人期待的新特性,包括 Reports.JS 中运行 C# 脚本的支持、AI 智能报表助手、全新3D图表…

Prometheus的Exporter的数据采集机制

Prometheus的Exporter的数据采集机制Prometheus的Exporter采集器通过一套精巧的架构实现数据采集与暴露,而其个性化定制能力则得益于开放的客户端库和灵活的设计模式。下面我们深入解析其工作原理和定制方法。 🔄 E…

2025 年珠三角 / 中山 / 东莞 / 佛山厂房出售公司推荐:中创集团产业生态型厂房的价值与服务解析

在广东省 “坚持实体经济为本、制造业当家” 的发展导向下,《广东省加快扩大工业有效投资实施方案(2025—2027 年)》明确提出要打造高水平产业承载平台,聚焦新材料、生物医药、先进制造等新赛道培育主导产业。当前…