小作业 11

给定 \(a,b>0\)，求 \(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}\) 的最小值。

---

\[\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2} \]

\[=1-\dfrac{ab}{a^2+3ab+2b^2}=1-\dfrac{1}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}+3}\le 1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3}=2\sqrt2-2 \]

当且仅当 \(a=\sqrt{2}b\) 时取等。