学校机构网站建设内容,建筑人才招聘,扫一扫内饰图片识别车型,长沙旅游攻略必玩的景点8.2 BA 与图优化 Bundle Adjustment 是指从视觉图像中提炼出最优的 3D 模型和相机参数#xff08;内参和外参#xff09;。 8.2.1 相机模型和 BA 代价函数 我们从一个世界坐标系中的点 p \boldsymbol{p} p 出发#xff0c;把相机的内外参数和畸变都考虑进来#xff0c;…8.2 BA 与图优化 Bundle Adjustment 是指从视觉图像中提炼出最优的 3D 模型和相机参数内参和外参。 8.2.1 相机模型和 BA 代价函数 我们从一个世界坐标系中的点 p \boldsymbol{p} p 出发把相机的内外参数和畸变都考虑进来最后投影成像素坐标步骤如下 1世界坐标系转换到相机坐标系 P ′ R p t [ X ′ , Y ′ , Z ′ ] T (8-30) \boldsymbol{P}\boldsymbol{Rp}\boldsymbol{t}[X,Y,Z]^\mathrm{T} \tag{8-30} P′Rpt[X′,Y′,Z′]T(8-30) 2将 P ′ \boldsymbol{P} P′ 投影至归一化平面得到归一化坐标 P c [ u c , v c , 1 ] T [ X ′ / Z ′ , Y ′ / Z ′ , 1 ] T (8-31) \boldsymbol{P}_c[u_c, v_c, 1]^{\mathrm{T}}[X/Z,Y/Z, 1]^\mathrm{T} \tag{8-31} Pc​[uc​,vc​,1]T[X′/Z′,Y′/Z′,1]T(8-31) 3去畸变这里仅考虑径向畸变 { u c ′ u c ( 1 k 1 r c 2 k 2 r c 4 ) v c ′ v c ( 1 k 1 r c 2 k 2 r c 4 ) (8-32) \left\{\begin{array}{l} u_{\mathrm{c}}^{\prime}u_{\mathrm{c}}\left(1k_{1} r_{\mathrm{c}}^{2}k_{2} r_{\mathrm{c}}^{4}\right) \\ v_{\mathrm{c}}^{\prime}v_{\mathrm{c}}\left(1k_{1} r_{\mathrm{c}}^{2}k_{2} r_{\mathrm{c}}^{4}\right) \end{array}\right. \tag{8-32} {uc′​uc​(1k1​rc2​k2​rc4​)vc′​vc​(1k1​rc2​k2​rc4​)​(8-32) 4根据内参模型计算像素坐标 { u s f x u c ′ c x v s f y v c ′ c y (8-33) \left\{\begin{array}{l} u_{s}f_{x} u_{\mathrm{c}}^{\prime}c_{x} \\ v_{s}f_{y} v_{\mathrm{c}}^{\prime}c_{y} \end{array}\right. \tag{8-33} {us​fx​uc′​cx​vs​fy​vc′​cy​​(8-33) 上面的过程也就是 观测方程将它抽象的记为 z h ( x , y ) (8-34) \boldsymbol{z}h({\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}}) \tag{8-34} zh(x,y)(8-34) 其中 x \boldsymbol{x} x 是指此时相机的位姿即 R \boldsymbol{R} R、 t \boldsymbol{t} t对应的李群为 T \boldsymbol{T} T李代数为 ξ \boldsymbol{\xi} ξ路标 y \boldsymbol{y} y 即三维点 p \boldsymbol{p} p观测数据 z \boldsymbol{z} z 则是像素坐标。以最小二乘角度考虑此次观测的误差为 e z − h ( T , p ) (8-35) \boldsymbol{e}\boldsymbol{z}-h(\boldsymbol{T},\boldsymbol{p}) \tag{8-35} ez−h(T,p)(8-35) 把其他时刻的观测都考虑进来设 z i j \boldsymbol{z}_{ij} zij​ 为在位姿 T i \boldsymbol{T}_i Ti​ 处观察路标 p j \boldsymbol{p}_j pj​ 产生的数据那么整体的代价函数为 1 2 ∑ i 1 m ∑ j 1 n ∥ e i j ∥ 2 1 2 ∑ i 1 m ∑ j 1 n ∥ z i j − h ( T i , p j ) ∥ 2 (8-36) \frac{1}{2}\sum_{i1}^{m}\sum_{j1}^{n}\|\boldsymbol{e}_{ij}\|^2\frac{1}{2}\sum_{i1}^{m}\sum_{j1}^{n}\|\boldsymbol{z}_{ij}-h(\boldsymbol{T}_i,\boldsymbol{p}_j)\|^2 \tag{8-36} 21​i1∑m​j1∑n​∥eij​∥221​i1∑m​j1∑n​∥zij​−h(Ti​,pj​)∥2(8-36) 对这个最小二乘进行求解相当于对位姿和路标同时进行优化也就是所谓的 BA。 8.2.2 BA 的求解 容易看出 h ( T , p ) h(\boldsymbol{T},\boldsymbol{p}) h(T,p) 不是线性函数因此我们希望采用非线性优化的方法求解最优值所以关键在于梯度 Δ x \Delta \boldsymbol{x} Δx 的求解。 在整体 BA 目标函数上我们把自变量定义为所有待优化的变量 x [ T 1 , T 2 , . . . , T m , p 1 , p 2 , . . . , p n ] T (8-37) \boldsymbol{x}[\boldsymbol{T}_1,\boldsymbol{T}_2,...,\boldsymbol{T}_m,\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,...,\boldsymbol{p}_n]^T \tag{8-37} x[T1​,T2​,...,Tm​,p1​,p2​,...,pn​]T(8-37) 相应地增量方程中的 Δ x \Delta \boldsymbol{x} Δx 是对整体自变量的增量。当我们给自变量一个增量时目标函数变为 1 2 ∥ f ( x Δ x ) ∥ 2 ≈ 1 2 ∑ i 1 m ∑ j 1 n ∥ e i j F i j Δ ξ i E i j Δ ξ j ∥ 2 (8-38) \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x}\Delta \boldsymbol{ x})\|^2 \approx \frac{1}{2}\sum_{i1}^{m}\sum_{j1}^{n}\|\boldsymbol{e}_{ij}\boldsymbol{F}_{ij} \Delta \boldsymbol{\xi}_i\boldsymbol{E}_{ij}\Delta \boldsymbol{\xi}_j\|^2 \tag{8-38} 21​∥f(xΔx)∥2≈21​i1∑m​j1∑n​∥eij​Fij​Δξi​Eij​Δξj​∥2(8-38) 其中 F i j \boldsymbol{F}_{ij} Fij​ 表示整个代价函数在当前状态下对相机位姿 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 的偏导数 E i j \boldsymbol{E}_{ij} Eij​ 表示整个代价函数在当前状态下路标位置 p \boldsymbol{p} p 的偏导数。 把相机位姿放在一起 x c [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ m ] T ∈ R 6 m (8-39) \boldsymbol{x}_c[ \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,...,\boldsymbol{\xi}_m]^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^{6m} \tag{8-39} xc​[ξ1​,ξ2​,...,ξm​]T∈R6m(8-39) 把空间点的变量也放在一起 x p [ p 1 , p 2 , . . . , p n ] T ∈ R 3 n (8-40) \boldsymbol{x}_p[ \boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,...,\boldsymbol{p}_n]^\mathrm{T} \in \mathbb{R}^{3n} \tag{8-40} xp​[p1​,p2​,...,pn​]T∈R3n(8-40) 那么式8-38可简化为 1 2 ∥ f ( x Δ x ) ∥ 2 ≈ 1 2 ∥ e F Δ x c E Δ x p ∥ 2 (8-41) \frac{1}{2}\|f(\boldsymbol{x}\Delta \boldsymbol{ x})\|^2 \approx \frac{1}{2}\|\boldsymbol{e}\boldsymbol{F} \Delta \boldsymbol{x}_c\boldsymbol{E}\Delta \boldsymbol{x}_p\|^2 \tag{8-41} 21​∥f(xΔx)∥2≈21​∥eFΔxc​EΔxp​∥2(8-41) 上式将二次项之和写成了矩阵形式。这里的雅克比矩阵 F \boldsymbol{F} F 和 E \boldsymbol{E} E 是整体目标函数对整体变量的导数它是一个很大的矩阵由每个误差项的导数 F i j \boldsymbol{F}_{ij} Fij​ 和 E i j \boldsymbol{E}_{ij} Eij​ 拼凑而成。可以采用高斯牛顿法或 L-M 法得到增量方程 H Δ x g (8-42) \boldsymbol{H} \Delta \boldsymbol{x}\boldsymbol{g} \tag{8-42} HΔxg(8-42) 为便于表示我们将变量归类为位姿和空间点两种则雅克比矩阵分块为 J [ F E ] (8-43) \boldsymbol{J[F \quad E]} \tag{8-43} J[FE](8-43) 以高斯牛顿法为例则 H \boldsymbol{H} H 矩阵为 H J T J [ F T F F T E E T F E T E ] (8-44) \boldsymbol{H}\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{J}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F} \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \end{array}\right] \tag{8-44} HJTJ[FTFETF​FTEETE​](8-44) 但是这个矩阵的维度非常大而且直接对 H \boldsymbol{H} H 求逆复杂度也很高。所以我们需要利用 H \boldsymbol{H} H 矩阵的特殊结构加速计算过程。 8.2.3 稀疏性和边缘化 1 H \boldsymbol{H} H 矩阵的稀疏性是由雅克比矩阵 J ( x ) \boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) J(x) 引起的。考虑其中一个 e i j \boldsymbol{e}_{ij} eij​它只描述了相机在 T i \boldsymbol{T}_i Ti​ 处看到 p j \boldsymbol{p}_j pj​这件事只与第 i i i个位姿和第 j j j 个路标有关而与其他位姿和路标都无关因此对其余部分的变量的导数都为零。所以误差 e i j \boldsymbol{e}_{ij} eij​ 对应的雅克比矩阵为 J i j ( x ) ( 0 2 × 6 , … 0 2 × 6 , ∂ e i j ∂ T i , 0 2 × 6 , … 0 2 × 3 , … 0 2 × 3 , ∂ e i j ∂ p j , 0 2 × 3 , … 0 2 × 3 ) (8-45) \boldsymbol{J}_{i j}(\boldsymbol{x})\left(\mathbf{0}_{2 \times 6}, \ldots \boldsymbol{0}_{2 \times 6}, \frac{\partial \boldsymbol{e}_{i j}}{\partial \boldsymbol{T}_{i}}, \mathbf{0}_{2 \times 6}, \ldots \mathbf{0}_{2 \times 3}, \ldots \mathbf{0}_{2 \times 3}, \frac{\partial \boldsymbol{e}_{i j}}{\partial \boldsymbol{p}_{j}}, \mathbf{0}_{2 \times 3}, \ldots \mathbf{0}_{2 \times 3}\right) \tag{8-45} Jij​(x)(02×6​,…02×6​,∂Ti​∂eij​​,02×6​,…02×3​,…02×3​,∂pj​∂eij​​,02×3​,…02×3​)(8-45) 注意误差对相机位姿的偏导 ∂ e i j / ∂ ξ i \partial \boldsymbol{e}_{i j} / \partial \boldsymbol{\xi}_{i} ∂eij​/∂ξi​ 维度为 2 × 6 2\times6 2×6对路标点的偏导 ∂ e i j / ∂ p j \partial \boldsymbol{e}_{i j} / \partial \boldsymbol{p}_{j} ∂eij​/∂pj​维度为 2 × 3 2\times3 2×3。 2以下图为例假设 J i j \boldsymbol{J}_{ij} Jij​ 只在 i i i、 j j j 处有非零块那么它对 H \boldsymbol{H} H矩阵的贡献为 J i j T J i j \boldsymbol{J}_{ij}^\mathrm{T}\boldsymbol{J}_{ij} JijT​Jij​ J i j T J i j \boldsymbol{J}_{ij}^\mathrm{T}\boldsymbol{J}_{ij} JijT​Jij​ 矩阵有 4 个非零块位于 ( i , i ) (i,i) (i,i)、 ( i , j ) (i,j) (i,j)、 ( j , i ) (j,i) (j,i)、 ( j , j ) (j,j) (j,j)。对整体的 H \boldsymbol{H} H有 H ∑ i , j J i j T J i j (8-46) \boldsymbol{H}\sum_{i,j}\boldsymbol{J}_{ij}^\mathrm{T}\boldsymbol{J}_{ij} \tag{8-46} Hi,j∑​JijT​Jij​(8-46) 将 H \boldsymbol{H} H 矩阵分块 H [ H 11 H 12 H 21 H 22 ] (8-47) \boldsymbol{H}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{H}_{11} \boldsymbol{H}_{12} \\ \boldsymbol{H}_{21} \boldsymbol{H}_{22} \end{array}\right] \tag{8-47} H[H11​H21​​H12​H22​​](8-47) 结合式8-44可知 H 11 \boldsymbol{H}_{11} H11​ 只和相机位姿有关 H 22 \boldsymbol{H}_{22} H22​ 只和路标点有关。当遍历矩阵 H \boldsymbol{H} H时总有 ① H 11 \boldsymbol{H}_{11} H11​ 是对角矩阵且只在 H i i \boldsymbol{H}_{ii} Hii​ 处有非零块 ② H 22 \boldsymbol{H}_{22} H22​ 也是对角矩阵且只在 H j j \boldsymbol{H}_{jj} Hjj​处有非零块 ③ H 12 \boldsymbol{H}_{12} H12​ 和 H 21 \boldsymbol{H}_{21} H21​ 可能是稀疏的也可能是稠密的视具体观测数据而定。 3以下图为例 假设一个场景内有 2 个相机位姿 C 1 \boldsymbol{C}_1 C1​、 C 2 \boldsymbol{C}_2 C2​和 6 个路标点 P 1 \boldsymbol{P}_1 P1​、 P 2 \boldsymbol{P}_2 P2​、 P 3 \boldsymbol{P}_3 P3​、 P 4 \boldsymbol{P}_4 P4​、 P 5 \boldsymbol{P}_5 P5​、 P 6 \boldsymbol{P}_6 P6​这些相机位姿和路标点所对应的变量为 T i , i 1 , 2 \boldsymbol{T}_{i}, i1,2 Ti​,i1,2 和 p j , j 1 , 2 \boldsymbol{p}_{j}, j1,2 pj​,j1,2。可以推出此场景下的 BA 目标函数为 1 2 ( ∥ e 11 ∥ 2 ∥ e 12 ∥ 2 ∥ e 13 ∥ 2 ∥ e 14 ∥ 2 ∥ e 23 ∥ 2 ∥ e 24 ∥ 2 ∥ e 25 ∥ 2 ∥ e 26 ∥ 2 ) (8-48) \frac{1}{2}\left(\left\|e_{11}\right\|^{2}\left\|e_{12}\right\|^{2}\left\|e_{13}\right\|^{2}\left\|e_{14}\right\|^{2}\left\|e_{23}\right\|^{2}\left\|e_{24}\right\|^{2}\left\|e_{25}\right\|^{2}\left\|e_{26}\right\|^{2}\right) \tag{8-48} 21​(∥e11​∥2∥e12​∥2∥e13​∥2∥e14​∥2∥e23​∥2∥e24​∥2∥e25​∥2∥e26​∥2)(8-48) 令 J 11 \boldsymbol{J}_{11} J11​ 为 e 11 \boldsymbol{e}_{11} e11​ 对应的雅克比矩阵且 e 11 \boldsymbol{e}_{11} e11​ 对其他相机变量和路标点的偏导都为零。我们把所有变量以 x ( ξ 1 , ξ 2 , p 1 , ⋯ , p 6 ) T \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{p}_{1}, \cdots, \boldsymbol{p}_{6}\right)^{\mathrm{T}} x(ξ1​,ξ2​,p1​,⋯,p6​)T 的顺序摆放则有 J 11 ∂ e 11 ∂ x ( ∂ e 11 ∂ ξ 1 , 0 2 × 6 , ∂ e 11 ∂ p 1 , 0 2 × 3 , 0 2 × 3 , 0 2 × 3 , 0 2 × 3 , 0 2 × 3 ) (8-49) \boldsymbol{J}_{11}\frac{\partial \boldsymbol{e}_{11}}{\partial \boldsymbol{x}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{e}_{11}}{\partial \boldsymbol{\xi}_{1}}, \mathbf{0}_{2 \times 6}, \frac{\partial \boldsymbol{e}_{11}}{\partial \boldsymbol{p}_{1}}, \mathbf{0}_{2 \times 3}, \mathbf{0}_{2 \times 3}, \mathbf{0}_{2 \times 3}, \mathbf{0}_{2 \times 3}, \mathbf{0}_{2 \times 3}\right) \tag{8-49} J11​∂x∂e11​​(∂ξ1​∂e11​​,02×6​,∂p1​∂e11​​,02×3​,02×3​,02×3​,02×3​,02×3​)(8-49) 我们用下图直观地表示雅克比矩阵的稀疏性 由此可以得到整体雅克比矩阵 J \boldsymbol{J} J 和 H \boldsymbol{H} H矩阵。 H \boldsymbol{H} H 矩阵中非对角部分的非零矩阵块长方形块可理解为其对应的两个变量之间的关系。 更一般地假设有 m m m 个相机位姿 n n n个路标点且通常路标点的数量远多于相机即 n ≫ m n \gg m n≫m。这种情况下的 H \boldsymbol{H} H 矩阵如下图所示左上角块非常小右下对角块很大由于形状很像箭头又称为箭头形矩阵。 4将 H \boldsymbol{H} H 矩阵划分为四个区域不难看出左上角为对角块矩阵且每个对角块元素的维度与相机位姿维度相同同样的右下角也是对角块矩阵且每个对角块元素的维度与路标点维度相同。而且这四个区域和式8-44中的矩阵块是对应的。 那么增量方程 H Δ x g \boldsymbol{H} \Delta\boldsymbol{x}\boldsymbol{g} HΔxg 可写为以下形式 [ B E E T C ] [ Δ x c Δ x p ] [ v w ] (8-50) \left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{B} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}} \\ \Delta \boldsymbol{x}_{p} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{w} \end{array}\right] \tag{8-50} [BET​EC​][Δxc​Δxp​​][vw​](8-50) 对角块矩阵求逆的难度远小于一般矩阵的求逆难度所以只需要对对角块矩阵分别求逆即可。对线性方程组进行高斯消元得 [ I − E C − 1 0 I ] [ B E E T C ] [ Δ x c Δ x p ] [ I − E C − 1 0 I ] [ v w ] (8-51) \left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} -\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1} \\ \mathbf{0} \boldsymbol{I} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{B} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} C \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}} \\ \Delta \boldsymbol{x}_{p} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} -\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1} \\ 0 \boldsymbol{I} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{w} \end{array}\right] \tag{8-51} [I0​−EC−1I​][BET​EC​][Δxc​Δxp​​][I0​−EC−1I​][vw​](8-51) 整理得 [ B − E C − 1 E T 0 E T C ] [ Δ x c Δ x p ] [ v − E C − 1 w w ] (8-52) \left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{B}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \Delta \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}} \\ \Delta \boldsymbol{x}_{p} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{v}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{w} \\ \boldsymbol{w} \end{array}\right] \tag{8-52} [B−EC−1ETET​0C​][Δxc​Δxp​​][v−EC−1ww​](8-52) 可以看出方程第一行只和 Δ x c \Delta \boldsymbol{x}_c Δxc​ 有关我们可以先将 Δ x c \Delta \boldsymbol{x}_c Δxc​ 解出来 ( B − E C − 1 E T ) Δ x c v − E C − 1 w (8-53) (\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}})\Delta \boldsymbol{x}_c\boldsymbol{v}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{w} \tag{8-53} (B−EC−1ET)Δxc​v−EC−1w(8-53) Δ x c \Delta \boldsymbol{x}_c Δxc​ 解出来后再将其代入第二行方程从而将 Δ x p \Delta \boldsymbol{x}_p Δxp​ 求解出来。这个过程称为 Schur 舒尔消元。相较于直接求解的方法它的优势在于 ① 消元过程中 C \boldsymbol{C} C 为对角块故 C − 1 \boldsymbol{C}^{-1} C−1 容易求出 ② Δ x c \Delta \boldsymbol{x}_c Δxc​ 解出来后根据 Δ x p C − 1 ( w − E T Δ x c ) \Delta \boldsymbol{x}_{p}\boldsymbol{C}^{-1}\left(\boldsymbol{w}-\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \Delta \boldsymbol{x}_{\mathrm{c}}\right) Δxp​C−1(w−ETΔxc​) 解出路标的增量方程。 5从概率角度来看我们称这一步为 边缘化。我们将求解 ( Δ x c Δ x p ) (\Delta \boldsymbol{x}_c\Delta \boldsymbol{x}_p) (Δxc​Δxp​) 的问题转化成了先固定 Δ x p \Delta \boldsymbol{x}_p Δxp​求出 Δ x c \Delta \boldsymbol{x}_c Δxc​再求 Δ x p \Delta \boldsymbol{x}_p Δxp​ 的过程。这相当于做了条件概率展开 P ( x c , x p ) P ( x c ∣ x p ) P ( x p ) (8-54) P(\boldsymbol{x}_c,\boldsymbol{x}_p)P( \boldsymbol{x}_c | \boldsymbol{x}_p)P(\boldsymbol{x}_p) \tag{8-54} P(xc​,xp​)P(xc​∣xp​)P(xp​)(8-54) 8.2.4 鲁棒核函数 在前面的 BA 问题中我们将最小化误差项的二范数平方和作为目标函数这样虽然直观但是如果出现误匹配该误差项会很大从而将对整体函数产生较大影响进而影响最终优化结果。 对此我们将原先误差的二范数度量替换成一个增长没那么快的函数同时保证光滑性质使得优化结果更加稳健减小误匹配项的影响这样的函数称为 鲁棒核函数。鲁棒核函数有很多种如 Huber 核 H ( e ) { 1 2 e 2 当  ∣ e ∣ ⩽ δ , δ ( ∣ e ∣ − 1 2 δ ) 其他  (8-55) H(e) \begin{cases}\frac{1}{2} e^{2} \text { 当 }|e| \leqslant \delta, \\ \delta\left(|e|-\frac{1}{2} \delta\right) \text { 其他 }\end{cases} \tag{8-55} H(e){21​e2δ(∣e∣−21​δ)​ 当 ∣e∣⩽δ, 其他 ​(8-55) 当误差 e e e 大于阈值 δ \delta δ 时函数增长由二次形式转为一次形式相当于限制了梯度的最大值。同时 Huber 核函数又是光滑的可以很方便的求导。如下图在误差较大时Huber 核函数增长明显低于二次函数。