常系数齐次微分方程

常系数齐次微分方程

引子

线性相关/线性无关

设 \(y_1,y_2, \dots , y_n\) 为定义在 \(I\) 上的 \(n\) 个函数，如果存在 \(n\) 个不全为零的常数 \(k_1,k_2, \dots k_n\) 使得如下恒等式成立：

\[k_1y_1 + k_2y_2 + \dots k_ny_n \]

那么称这 \(n\) 个函数在区间 \(I\) 上线性相关，否则称线性无关。

二阶

\[y'' + py' + qy = 0 \tag1 \]

首先，要找出该方程的通解，我们要先找出两特解 \(y_1\), \(y_2\)，且 \(y_1 ,y_2\) 应线性无关。

我们发现，\(e^{rx}\) 的各阶导数与它本身都只相差了一个常数因子，所以我们尝试设其为该方程的一个解。

则有：\(r^2e^{rx} + pre^{rx} + qe^{rx} = 0\) ，化简得：\((r^2 + pr + q)e^{rx} = 0\) ，所以有方程：

\[r^2 + pr + q = 0 \]

只要满足该方程的 \(r\)，就一定满足上述微分方程。而该方程也被称为方程 \((1)\) 的特征方程，其两根 \(r_1,r_2\) 可用求根公式求出。而其中我们可以分出来三类：\(\Delta > 0,\Delta = 0,\Delta < 0\) 。

\(\Delta > 0\) / 存在两实根

则：

\[r_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2-4q}}{2}，r_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2-4q}}{2} \]

又因两特解 \(e^{r_1x},e^{r_2x}\) 线性无关，所以通解为：

\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \]

\(\Delta = 0\) / 有两相同实根

此时只有 \(r_1 = r_2 = -\frac{p}{2}\)，只能得到微分方程的一个解 \(y_1 = e^{r_1x}\)。为了得到通解，还需解出另一个解 \(y_2\) 使得 \(\frac{y_2}{y_1}\) 不为常数。那么我们设 \(\frac{y_2}{y_1} = u(x), y_2 = u(x)y_1\)，带入微分方程，得到：

\[e^{r_1x}(u'' + (2r_1 + p)u' + (r_1^2 + pr_1 + q)) = 0 \]

又因为 \(r_1 = -\frac{p}{2}\)，所以 \((2r_1 + p) = 0 , (r_1^2 + pr_1 + q) = 0\)，则可得：

\[u'' = 0 \]

那么我们不妨设 \(u(x) = x\)，则 \(y_2 = xe^{r_1x}\)，所以通解为：

\[y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x} \]

\(\Delta < 0\) / 有两共轭虚根

其中：

\[r_1 = \alpha + \beta i,r_2 = \alpha - \beta i \\ \alpha = -\frac{p}{2},\beta = \frac{\sqrt{4q - p^2}}{2} \]

对其运用欧拉公式，可得：

\[y_1 = e^{(\alpha + \beta i)x} = e^{\alpha x} \cdot e^{\beta i x} = e^{\alpha x}(\cos{\beta x} + i \sin{\beta x}) \]

同理，对于 \(y_2\)，有：

\[y_2 = e^{(\alpha - \beta i)x} = e^{\alpha x} \cdot e^{-\beta i x} = e^{\alpha x}(\cos{\beta x} - i \sin{\beta x}) \]

但是这两个通解都为复值函数，所以我们做如下变换使得 \(y_1,y_2\) 变为实值函数：

\[\bar{y_1} = \frac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x}\cos{\beta x} \\ \bar{y_2} = \frac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x}\sin{\beta x} \]

则通解为：

\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x} + C_2\sin{\beta x}) \]