在本文中，我们用 \(f(x,y)=1\) 来表示 \(x\) 可以到达点 \(y\)，用 \(g(x,y)=1\) 表示 \(f(x,y)=1\) 且 \(f(y,x)=1\)。
I、强连通
对于图 \(U\) 上的任意两点 \(x\) 和 \(y\)，如果有 \(g(x,y)=1\)，那么称 \(x,y\) 是强连通的。
对于图 \(U\) 的子图 \(V\)，若 \(V\) 中任意两点 \(x,y\) 都满足 \(g(x,y)=1\)，则称图 \(V\) 是一个强连通分量。
II、Tarjan
一、定义
vector <int> v[N]表示原图。int dfn[N]表示 dfs 序中第 \(i\) 个点的时间戳。int low[N]表示节点 \(i\) 所处的强连通分量中最小的时间戳。stack <int> st表示 dfs 的路径上的节点。bool is[N]表示节点 \(i\) 是否处于栈中。int tim表示时间戳。
二、具体操作
- 找到一个未被访问过的节点 \(x\)，将 \(x\) 入栈，更新 \(x\) 的时间戳，且更新：
vis[x] = 1;
low[x] = dfn[x];
is[x] = 1;
st.push(x);
- 遍历所有邻接节点 \(y\)：
-
若 \(y\) 未被访问，则继续递归，并更新
low[x] = min(low[x],low[y]);。 -
若 \(y\) 被访问过，且在栈中，则更新
low[x] = min(low[x],dfn[y]); -
若 \(y\) 被访问过，但不在栈中，说明 \(y\) 在另一个强连通分量中。
- 遍历完成后，如果
low[x] = dfn[x]，说明 \(x\) 是一个强连通分量中编号最小的，从栈中弹出所有和 \(x\) 在一个强连通分量里的元素 \(y\)，并更新：
low[y] = low[x];
由于我们是按路径遍历的，所以栈剩下的一定不和 \(x\) 在一个强连通分量里。
时间复杂度为 O(n)。
III.缩点
对于每一个强连通分量，它的内部都是联通的，如果内部的点之间没有贡献或贡献容易计算，那么我们可以把它当成一个点来看。
一、定义
只需要在 Tarjan 求强连通分量的情况下，添加：
int num[N]第 \(i\) 个点的缩点后的编号。int sum编号的计数戳。
二、具体步骤
在 Tarjan 求强连通分量的情况下，添加：
- 对于 \(x\)，更新：
sum++,num[x] = sum;
- 在遍历完成后弹出的元素 \(y\) 更新：
num[y] = num[x];
三、更多的操作：
可以添加：
int siz[N]表示第 \(i\) 个强连通分量（或点）的大小。int in[N]表示第 \(i\) 个点的入度。int out[N]表示第 \(i\) 个点的出度。
IIII.例题
- 给你一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向图，如果第 \(i\) 个点的颜色为 1，那么它相邻的节点的颜色也为 1，问最少将多少个节点的颜色染成 1，才能使最后所有节点颜色为 1。
分析：对于每一个缩点，只要一个节点颜色为 1，那么整个缩点的颜色为 1，缩点的颜色还可以往相邻的缩点传，最终就是要求缩点后有多少个连通块。
// \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ =88888= // // // // // // ////
// \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ o8888888o // // // // // ////
// \\\\ \\ \\ \\ \\ 88" . "88 // // // // ////
// \\\\ \\ \\ \\ (| -_- |) // // // ////
// \\\\ \\ \\ O\ = /O // // ////
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// \\\\ .' \\| |// `. ////
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using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll> P;
typedef __int128 int128;
#define IOS ios::sync_with_stdio(0);
#define rep(i,x,y,z) for(int i = x;i <= y;i+=z)
#define per(i,y,x,z) for(int i = y;i >= x;i-=z)
#define frin(x) freopen(x,"r",stdin);
#define frout(x) freopen(x,"w",stdout);
const int N = 1e6 + 5;
const int M = 2e3 + 5;
const int K = 18;
const double eps = 1e-6;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int dx[] = {-1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1};
const int dy[] = {0, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 1};
namespace better_function {inline ll read() {ll s = 0, w = 1;char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') w = -1;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9') {s = s * 10 + c - '0';c = getchar();}return s * w;}inline void print(ll x) {if (x < 0) {putchar('-');x = -x;}if (x >= 10) {print(x / 10);}putchar(x % 10 + '0');return;}inline ll pow(ll x, ll y, ll z) {if (z == 0) z = INF;ll ans = 1;while (y) {if (y % 2) {ans *= x;}x *= x;y >>= 1;}return ans;}inline ll gcd(ll a, ll b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}inline ll lcm(ll a, ll b) {return a * b / gcd(a, b);}
}
namespace ex_prime {bool Isprime[N];int Phi[N], Prime[N], prime_num;inline void euler(ll n) {Phi[1] = 1;rep(i, 2, n, 1) {if (Isprime[i] == 0) Prime[++prime_num] = i, Phi[i] = i - 1;rep(j, 1, prime_num, 1) {if (Prime[j] * i > n) break;Isprime[i * Prime[j]] = 1;if (i % Prime[j] == 0) {Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * Prime[j];break;} else Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * Phi[Prime[j]];}}}inline int prime(ll x) {if (!prime_num) euler(N);if (x > prime_num) return -1;return Prime[x];}inline int phi(ll x) {if (!prime_num) euler(N);if (x > N - 5) return -1;return Phi[x];}inline bool isprime(ll x) {if (!prime_num) euler(N);if (x > N - 5) return -1;return Isprime[x];}
}
inline void solve();
int main() {IOS;//frin("");frout("");int T = 1;//cin >> T;while (T--) {solve();}return 0;
}
using namespace better_function;
using namespace ex_prime;
int n,dfn[N],low[N],tim;
bool is[N];
int sum,col[N],in[N];
stack <int> st;
vector <int> v[N];
void dfs_tarjan(int x) {dfn[x] = low[x] = ++tim;st.push(x);is[x] = 1;rep(i,0,(int)v[x].size() - 1,1) {int y = v[x][i];if(!dfn[y]) {dfs_tarjan(y);low[x] = min(low[x],low[y]);}else if(is[y]) {low[x] = min(low[x],dfn[y]);}}if(dfn[x] == low[x]) {int y;sum++;do{y = st.top();st.pop();col[y] = sum;is[y] = 0;}while(y != x);}
}
void Tarjan() {rep(i,1,n,1) {if(!dfn[i]) {dfs_tarjan(i);}}
}
inline void solve() {cin >> n;rep(i,1,n,1) {rep(j,1,n,1) {int x;cin >> x;if(x) v[i].push_back(j);}}Tarjan();rep(i,1,n,1) {rep(j,0,(int)v[i].size() - 1,1) {int y = v[i][j];// cout << i << ' ' << col[i] << ' ' << y << ' ' << col[y] << endl;if(col[i] != col[y]) {in[col[y]]++;}}}int ans = 0;rep(i,1,sum,1) {if(!in[i]) ans++;}cout << ans;
}
)
