无锡做网站seo的,app软件开发合同范本,网站建设需要的专业知识,做的网站适应屏幕大小一小部分矩阵论的整理复习#xff0c;这个由于公式输入的太麻烦了#xff0c;所以就弄了一点。后面直接看着书复习的。 矩阵论复习线性空间基与维数基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式线性子空间齐次方程组的解空间特征子空间生成子空间交空间和空间维数定理直和线性映射线性…一小部分矩阵论的整理复习这个由于公式输入的太麻烦了所以就弄了一点。后面直接看着书复习的。 矩阵论复习线性空间基与维数基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式线性子空间齐次方程组的解空间特征子空间生成子空间交空间和空间维数定理直和线性映射线性变换数乘变换、恒等变换、零变换线性变换的数量乘积、线性变换的和线性变换的加法与数乘的性质线性变换的表示矩阵欧氏空间欧式空间实例基的度量矩阵(基的Gram矩阵)基的度量矩阵的性质两组基的度量矩阵的关系酉空间酉空间中向量的标准内积Hermite矩阵共轭转置阵的性质酉空间基的度量矩阵的性质酉空间两组基的度量矩阵的关系内积空间的度量向量长度的性质向量组正交正交基Gram-Schmidt正交化线性空间 设F是一数域V是一非空集合如果对于任意两个元素a、b属于V总有唯一的一个元素c属于V与之对应称c为a与b的和记为cab。 又对于任一数k属于F及任一元素a属于 V有唯一的一个元素b属于V与之对应称b为k与a的数乘记为bka。 上述情况称V对加法和数乘运算封闭。 并且这两种运算满足以下8条规则(设a、b、c属于Vk、l属于F) abba (ab)ca(bc) aoa (假定o是零元素) a(-a)o 1aa k(la)(kl)a k(ab)kakb (kl)akala 那么称V为数域F上的线性空间记为V(F)。 基与维数 线性空间V(F)中的向量组x1、x2……xn称为V(F)的基或基向量组如果它满足 1.x1、x2……xn线性无关 2.V(F)中任意向量皆可写成x1、x2……xn的线性组合。 V(F)的维数基向量组里面向量的个数n称为dimV(F)n。也称为n维向量空间。 例子设正实数集 R{a∣a0,a∈R}R^{}\{a|a0,a\in R \} R{a∣a0,a∈R} 定义加法与数乘运算分别为 abab,∀a,b∈Rkaak,k∈Rabab ,\forall a,b\in R^{}\\ kaa^{k},k\in R abab,∀a,b∈Rkaak,k∈R 证明R是实数域R上的线性空间并求R的基和维数。 1.R在如此定义的加法与数乘运算保持封闭再验证运算满足8条规则 任意a、b、c属于R任意k、l属于R ababbaba (ab)cabcabcabca(bc) a1a1为R的零元素。 a1/a11/a为R的负元素。 1aa^1a 后面三条也满足 k(la)(kl)a k(ab)kakb (kl)akala 所以可见R构成实数域R上的线性空间。 现在求R的基和维数。 由a1a知1为R的零元素。 ∀a̸1,a∈R,∀b∈Rbalogab(logab)a\forall a \not1,a\in R^{},\forall b \in R^{} \\ ba^{log_{a}b}(log_{a}b)a ∀a​1,a∈R,∀b∈Rbaloga​b(loga​b)a 说明任一元素b均可表成非零元素a的线性组合任何非零元素a均为R的基dimR1 基变换公式、过渡矩阵、坐标变换公式 设 α1,α2,...,αnβ1,β2,...,βn\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n} \\ \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n} α1​,α2​,...,αn​β1​,β2​,...,βn​ 是线性空间两个基且 β1p11α1p21α2...pn1αnβ2p12α1p22α2...pn2αn…………βnp1nα1p2nα2...pnnαn(1)\beta_{1}p_{11}\alpha_{1}p_{21}\alpha_{2}...p_{n1}\alpha_{n}\\ \beta_{2}p_{12}\alpha_{1}p_{22}\alpha_{2}...p_{n2}\alpha_{n}\\ …………\\ \beta_{n}p_{1n}\alpha_{1}p_{2n}\alpha_{2}...p_{nn}\alpha_{n}\\\tag{1} β1​p11​α1​p21​α2​...pn1​αn​β2​p12​α1​p22​α2​...pn2​αn​…………βn​p1n​α1​p2n​α2​...pnn​αn​(1) 可以表示成 (β1,β2,…βn)(α1,α2,…αn)P(2)(\beta_{1},\beta_{2},…\beta_{n})(\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{n})P \tag{2} (β1​,β2​,…βn​)(α1​,α2​,…αn​)P(2) P(Pij)n×n[p11p12...p1np21p22...p2n⋮⋮⋱⋮pn1pn2...pnn](3)P(P_{ij})_{n \times n}\begin{bmatrix} p_{11}p_{12}...p_{1n} \\ p_{21}p_{22}...p_{2n} \\\vdots\vdots\ddots\vdots \\p_{n1}p_{n2}...p_{nn} \end{bmatrix}\tag{3} P(Pij​)n×n​⎣⎢⎢⎢⎡​p11​p21​⋮pn1​​p12​p22​⋮pn2​​......⋱...​p1n​p2n​⋮pnn​​⎦⎥⎥⎥⎤​(3) 上式1中系数pij横排竖放构成P如式3。 式2为基变换公式。 P为由基α到基β的过渡矩阵。 坐标变换公式x1…xn是元素r在基α下的坐标y1…yn是元素r在基β下的坐标 [x1x2⋮xn]P[y1y2⋮yn]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{bmatrix} P\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​P⎣⎢⎢⎢⎡​y1​y2​⋮yn​​⎦⎥⎥⎥⎤​ [y1y2⋮yn]P−1[x1x2⋮xn]\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{bmatrix} P^{-1}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​y1​y2​⋮yn​​⎦⎥⎥⎥⎤​P−1⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​ 线性子空间 设V1是数域F上的线性空间V的一个非空子集且对V中线性运算满足 ∀α,β∈V1,有αβ∈V1∀α∈V1∀k∈F有kα∈V1\forall \alpha,\beta\in V_{1},有\alpha\beta\in V_{1} \\ \forall \alpha\in V_{1}\forall k\in F有k\alpha\in V_{1} ∀α,β∈V1​,有αβ∈V1​∀α∈V1​∀k∈F有kα∈V1​ 称V1为V的线性子空间。 dimV1≤dimVdimV_{1}\leq dimV dimV1​≤dimV 齐次方程组的解空间 n元齐次线性方程组Ax0接的集合构成线性空间称为解空间记为N(A)他是Rn的子空间若rankArdimN(A)n-r。 特征子空间 设A属于Rn*nAvλv,A的属于特征值λ的 所有特征向量加上零向量构成Rn的子空间称为特征子空间。 生成子空间 V(F)的一组向量 α1,α2,…αm\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{m} α1​,α2​,…αm​ 令 V1k1α1...kiαi...kmαmk∈F,i1,2,...,mV_{1}{k_{1}\alpha_{1}...k_{i}\alpha_{i}...k_{m}\alpha_{m}}\\ k\in F,i1,2,...,m V1​k1​α1​...ki​αi​...km​αm​k∈F,i1,2,...,m V1表示由 α1,α2,…αm\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{m} α1​,α2​,…αm​ 生成子空间。 记为 V1span(α1,α2,…αm)V_{1}span(\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{m}) V1​span(α1​,α2​,…αm​) 注这里没有要求α1到αm线性无关。 生成子空间的维数等于向量组的秩。 dimspan(α1,α2,…αm)rank(α1,α2,…αm)dimspan(\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{m})rank(\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{m}) dimspan(α1​,α2​,…αm​)rank(α1​,α2​,…αm​) 交空间 设V1V2是V(F)的两个子空间称 V1∩V2αα∈V1,α∈V2V_{1}\cap V_{2}\alpha\alpha \in V_{1},\alpha \in V_{2} V1​∩V2​αα∈V1​,α∈V2​ 为V1,V2的交空间。子空间的交空间仍是子空间。 和空间 设V1V2是V(F)的两个子空间称 V1V2ααα1α2,α1∈V1,α2∈V2V_{1} V_{2}\alpha\alpha\alpha_{1}\alpha_{2},\alpha_{1} \in V_{1},\alpha_{2} \in V_{2} V1​V2​ααα1​α2​,α1​∈V1​,α2​∈V2​ 为V1,V2的和空间。子空间的和空间仍是子空间。 维数定理 设V1,V2是V(F)的两个子空间 dimV1dimV2dim(V1V2)dim(V1∩V2)dimV_{1}dimV_{2}dim(V_{1}V_{2})dim(V_{1}\cap V_{2}) dimV1​dimV2​dim(V1​V2​)dim(V1​∩V2​) 直和 设V1,V2是V(F)的两个子空间若 V1∩V20V_{1}\cap V_{2} {0} V1​∩V2​0 则称他们的和为直和记为 V1⊕V2V_{1}\oplus V_{2} V1​⊕V2​ 并且V1V2是直和等价于以下命题 α∈V1V2表达式唯一\alpha \in V_{1}V_{2}表达式唯一 α∈V1​V2​表达式唯一 若α1,α2,…αr是V1的基β1,β2,…βs是V2的基则α1,α2,…αrβ1,β2,…βs是V1V2的基。若\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{r} 是V_{1}的基\beta_{1},\beta_{2},…\beta_{s}是V_{2}的基\\则\alpha_{1},\alpha_{2},…\alpha_{r}\beta_{1},\beta_{2},…\beta_{s}是V_{1}V_{2}的基。 若α1​,α2​,…αr​是V1​的基β1​,β2​,…βs​是V2​的基则α1​,α2​,…αr​β1​,β2​,…βs​是V1​V2​的基。 dimV1dimV2dim(V1V2)dimV_{1}dimV_{2}dim(V_{1}V_{2}) dimV1​dimV2​dim(V1​V2​) 线性映射 设S和T是任意两个非空集合如果存在某个对应关系使任意s属于S在T中存在唯一的元素t与s相对应则称此对应关系是S到T的一个映射。它满足S中任一元素都有像像必在T中像唯一。 σs→t或σ(s)t称t为s在σ之下的像s为t在σ之下的一个原像\sigma s \rightarrow t或\sigma(s)t\\ 称t为s在\sigma之下的像s为t在\sigma之下的一个原像 σs→t或σ(s)t称t为s在σ之下的像s为t在σ之下的一个原像 若S到T的映射满足 ∀s1,s2∈S,有σ(s1s2)σ(s1)σ(s1)∀s∈S,∀k∈F,有σ(ks)kσ(s)\forall s_{1},s_{2} \in S,有\sigma(s_{1}s_{2})\sigma(s_{1})\sigma(s_{1})\\ \forall s \in S,\forall k \in F,有\sigma(ks)k\sigma(s) ∀s1​,s2​∈S,有σ(s1​s2​)σ(s1​)σ(s1​)∀s∈S,∀k∈F,有σ(ks)kσ(s) 称σ是从S到T的线性映射。 线性变换 线性空间V(F)到自身的线性映射称为V(F)中的线性变换记为 A\mathscr{A} A 若A1,A2都是Vn(F)中的线性变换∀α∈Vn(F),A1(a)A2(a)说明A1,A2相等记为A1A2易见A1A2的充要条件为A1(εi)A2(εi),i1,2,...,n其中ε1,...,εi,...,εn为Vn(F)的基若\mathscr{A}_{1},\mathscr{A}_{2}都是V_{n}(F)中的线性变换\forall \alpha \in V_{n}(F),\mathscr{A}_{1}(a)\mathscr{A}_{2}(a)\\ 说明\mathscr{A}_{1},\mathscr{A}_{2}相等记为\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}\\ 易见\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}的充要条件为\mathscr{A}_{1}(\varepsilon_{i})\mathscr{A}_{2}(\varepsilon_{i}),i1,2,...,n\\ 其中\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{i},...,\varepsilon_{n}为V_{n}(F)的基 若A1​,A2​都是Vn​(F)中的线性变换∀α∈Vn​(F),A1​(a)A2​(a)说明A1​,A2​相等记为A1​A2​易见A1​A2​的充要条件为A1​(εi​)A2​(εi​),i1,2,...,n其中ε1​,...,εi​,...,εn​为Vn​(F)的基 数乘变换、恒等变换、零变换 ∀k∈F,∀α∈Vn(F),定义A(a)ka,称A为由数所决定的数乘变换几何上表示A(a)与a共线。k1称为恒等变换记为C,即C(a)ak0,称为零变换记为O即O(a)0\forall k \in F,\forall \alpha \in V_{n}(F),定义\mathscr{A}(a)ka,\\ 称\mathscr{A}为由数所决定的数乘变换几何上表示\mathscr{A}(a)与a共线。\\ k1称为恒等变换记为\mathscr{C},即\mathscr{C}(a)a\\ k0,称为零变换记为\mathscr{O}即\mathscr{O}(a)0 ∀k∈F,∀α∈Vn​(F),定义A(a)ka,称A为由数所决定的数乘变换几何上表示A(a)与a共线。k1称为恒等变换记为C,即C(a)ak0,称为零变换记为O即O(a)0 线性变换的数量乘积、线性变换的和 ∀k∈F,∀α∈Vn(F),定义(A1A2)(a)A1(a)A2(a),称A1A2为线性变换A1与A2的和定义(kA)(a)kA(a)称kA为k与线性变换A的数量乘积记(−1)A−A,称−A是A的负变换显然−AAO定义(A1A2)(a)A1(A2(a)),称A1A2为线性变换A1与A2的乘积\forall k \in F,\forall \alpha \in V_{n}(F),定义(\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2})(a)\mathscr{A}_{1}(a)\mathscr{A}_{2}(a),\\ 称\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}为线性变换\mathscr{A}_{1}与\mathscr{A}_{2}的和\\ \\ 定义(k\mathscr{A})(a)k\mathscr{A}(a)\\ 称k\mathscr{A}为k与线性变换\mathscr{A}的数量乘积\\ 记(-1)\mathscr{A}-\mathscr{A},称-\mathscr{A}是\mathscr{A}的负变换显然-\mathscr{A}\mathscr{A}\mathscr{O}\\ \\ 定义(\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2})(a)\mathscr{A}_{1}(\mathscr{A}_{2}(a)),称\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}为线性变换\mathscr{A}_{1}与\mathscr{A}_{2}的乘积 ∀k∈F,∀α∈Vn​(F),定义(A1​A2​)(a)A1​(a)A2​(a),称A1​A2​为线性变换A1​与A2​的和定义(kA)(a)kA(a)称kA为k与线性变换A的数量乘积记(−1)A−A,称−A是A的负变换显然−AAO定义(A1​A2​)(a)A1​(A2​(a)),称A1​A2​为线性变换A1​与A2​的乘积 线性变换的加法与数乘的性质 交换律A1A2A2A1结合律(A1A2)A3A1(A2A3)零元素AOA负元素A(−A)01数乘1AA数结合k(lA)(kl)A分配律(kl)AkAlA分配律k(A1A2)kA1kA2Vn(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间记为End(V)交换律\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2}\mathscr{A}_{2}\mathscr{A}_{1}\\ 结合律(\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2})\mathscr{A}_{3}\mathscr{A}_{1}(\mathscr{A}_{2}\mathscr{A}_{3})\\ 零元素\mathscr{A}\mathscr{O}\mathscr{A}\\ 负元素\mathscr{A}(-\mathscr{A})0\\ 1数乘1\mathscr{A}\mathscr{A}\\ 数结合k(l\mathscr{A})(kl)\mathscr{A}\\ 分配律(kl)\mathscr{A}k\mathscr{A}l\mathscr{A}\\ 分配律k(\mathscr{A}_{1}\mathscr{A}_{2})k\mathscr{A}_{1}k\mathscr{A}_{2}\\ V_{n}(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间记为End(V) 交换律A1​A2​A2​A1​结合律(A1​A2​)A3​A1​(A2​A3​)零元素AOA负元素A(−A)01数乘1AA数结合k(lA)(kl)A分配律(kl)AkAlA分配律k(A1​A2​)kA1​kA2​Vn​(F)上的所有线性变换的集合构成一个线性空间记为End(V) 线性变换的表示矩阵 设A是Vn(F)上的线性变换ε1,ε2,...,εn是Vn(F)的基于是A(ε1),A(ε1),...,A(εn)可由基ε1,ε2,...,εn线性表示且表示法唯一。设:A(ε1)a11ε1a21ε2...an1εnA(ε2)a12ε1a22ε2...an2εn......A(εn)a1nε1a2nε2...annεn令A(aij)n×n,称A为线性变换A在基ε1,ε2,...,εn下的表示矩阵线性变换A可唯一确定方阵A给定一个方阵A在基ε1,ε2,...,εn下可唯一确定一个线性变换A设\mathscr{A}是V_{n}(F)上的线性变换\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}是V_{n}(F)的基\\ 于是\mathscr{A}(\varepsilon_{1}),\mathscr{A}(\varepsilon_{1}),...,\mathscr{A}(\varepsilon_{n})可由基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}线性表示且表示法唯一。设:\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{1})a_{11}\varepsilon_{1}a_{21}\varepsilon_{2}...a_{n1}\varepsilon_{n}\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{2})a_{12}\varepsilon_{1}a_{22}\varepsilon_{2}...a_{n2}\varepsilon_{n}\\ ......\\ \mathscr{A}(\varepsilon_{n})a_{1n}\varepsilon_{1}a_{2n}\varepsilon_{2}...a_{nn}\varepsilon_{n}\\ 令A(a_{ij})_{n\times n},称A为线性变换\mathscr{A}在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}下的表示矩阵\\ 线性变换\mathscr{A}可唯一确定方阵A给定一个方阵A在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}下可唯一确定一个线性变换\mathscr{A} 设A是Vn​(F)上的线性变换ε1​,ε2​,...,εn​是Vn​(F)的基于是A(ε1​),A(ε1​),...,A(εn​)可由基ε1​,ε2​,...,εn​线性表示且表示法唯一。设:A(ε1​)a11​ε1​a21​ε2​...an1​εn​A(ε2​)a12​ε1​a22​ε2​...an2​εn​......A(εn​)a1n​ε1​a2n​ε2​...ann​εn​令A(aij​)n×n​,称A为线性变换A在基ε1​,ε2​,...,εn​下的表示矩阵线性变换A可唯一确定方阵A给定一个方阵A在基ε1​,ε2​,...,εn​下可唯一确定一个线性变换A 欧氏空间 设V是实数域R上的n维线性空间对任给的α,β∈V,按某种法则对应着一个实数记为(α,β),如果满足下面四个条件交换律(α,β)(β,α)齐次性(kα,β)k(α,β),k为任意实数分配律(αβ,γ)(α,γ)(β,γ),γ∈V非负性(α,α)≥0;(α,α)0,当且仅当αθ则称实数(α,β)为定义在V上的内积定义了这样内积的n维线性空间V为n维欧几里得空间简称欧式空间记为Vn(R,E)设V是实数域R上的n维线性空间 对任给的\alpha,\beta \in V,按某种法则对应着一个实数记为(\alpha,\beta),\\ 如果满足下面四个条件\\ 交换律(\alpha,\beta)(\beta,\alpha)\\ 齐次性(k\alpha,\beta)k(\alpha,\beta),k为任意实数\\ 分配律(\alpha\beta,\gamma)(\alpha,\gamma)(\beta,\gamma),\gamma \in V\\ 非负性(\alpha,\alpha)\geq0;(\alpha,\alpha)0,当且仅当\alpha\theta\\ 则称实数(\alpha,\beta)为定义在V上的内积 定义了这样内积的n维线性空间V为\\ n维欧几里得空间简称欧式空间记为V_{n}(R,E) 设V是实数域R上的n维线性空间对任给的α,β∈V,按某种法则对应着一个实数记为(α,β),如果满足下面四个条件交换律(α,β)(β,α)齐次性(kα,β)k(α,β),k为任意实数分配律(αβ,γ)(α,γ)(β,γ),γ∈V非负性(α,α)≥0;(α,α)0,当且仅当αθ则称实数(α,β)为定义在V上的内积定义了这样内积的n维线性空间V为n维欧几里得空间简称欧式空间记为Vn​(R,E) 欧式空间实例 在n维线性空间Rn中∀α(a1,a2,…an)T,∀β(b1,b2,…bn)T,若规定(α,β)αTββTα∑i1naibi则它满足上面那四个条件因此这个式子所定义的内积为Rn中向量的标准内积。在n维线性空间R^{n}中\forall\alpha(a_{1},a_{2},…a_{n})^{T},\forall\beta(b_{1},b_{2},…b_{n})^{T},\\ 若规定(\alpha,\beta)\alpha^{T}\beta\beta^{T}\alpha\sum_{i 1}^{n}a_ib_i\\ 则它满足上面那四个条件因此这个式子所定义的内积为R^n中向量的标准内积。 在n维线性空间Rn中∀α(a1​,a2​,…an​)T,∀β(b1​,b2​,…bn​)T,若规定(α,β)αTββTαi1∑n​ai​bi​则它满足上面那四个条件因此这个式子所定义的内积为Rn中向量的标准内积。 基的度量矩阵(基的Gram矩阵) 设V是n维欧式空间ε1,ε2,...,εn是它的一个基令gij(εi,εj),G(gij),则称G为基ε1,ε2,...,εn的度量矩阵也称为基的Gram矩阵设V是n维欧式空间\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}是它的一个基\\ 令g_{ij}(\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}),G(g_{ij}),\\ 则称G为基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}的度量矩阵也称为基的Gram矩阵 设V是n维欧式空间ε1​,ε2​,...,εn​是它的一个基令gij​(εi​,εj​),G(gij​),则称G为基ε1​,ε2​,...,εn​的度量矩阵也称为基的Gram矩阵 基的度量矩阵的性质 设A为n维欧式空间V的基ε1,ε2,...,εn的度量矩阵则ATA,即A是实对称矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1,ε2,...,εn下的坐标分别为x(x1,...,xi,…xn)T,y(y1,...,yi,…yn)T则(α,β)xTAyθ̸∀α∈V,α(ε1,ε2,...,εn)x,必有xTAx0即A是正定矩阵设A为n维欧式空间V的基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}的度量矩阵则\\ A^TA,即A是实对称矩阵\\ \forall\alpha,\beta\in V;\alpha,\beta在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}下的坐标分别为\\ x(x_{1},...,x_{i},…x_{n})^{T},y(y_{1},...,y_{i},…y_{n})^{T}\\ 则(\alpha,\beta)x^TAy\\ \theta\not\forall\alpha\in V,\alpha(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})x,必有x^TAx0\\ 即A是正定矩阵 设A为n维欧式空间V的基ε1​,ε2​,...,εn​的度量矩阵则ATA,即A是实对称矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1​,ε2​,...,εn​下的坐标分别为x(x1​,...,xi​,…xn​)T,y(y1​,...,yi​,…yn​)T则(α,β)xTAyθ​∀α∈V,α(ε1​,ε2​,...,εn​)x,必有xTAx0即A是正定矩阵 这意味着欧氏空间中广义的向量的内积可通过它们在基下的坐标及其度量矩阵的双线性函数来计算。 两组基的度量矩阵的关系 设ε1,ε2,...,εn;η1,η2,...,ηn为n维欧式空间两个基他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1,ε2,...,εn到η1,η2,...,ηn的过渡矩阵则BCTAC设\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n};\eta_1,\eta_2,...,\eta_n为n维欧式空间两个基\\ 他们的度量矩阵分别为A,B.\\ C是\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}到\eta_1,\eta_2,...,\eta_n的过渡矩阵则\\ BC^TAC 设ε1​,ε2​,...,εn​;η1​,η2​,...,ηn​为n维欧式空间两个基他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1​,ε2​,...,εn​到η1​,η2​,...,ηn​的过渡矩阵则BCTAC 这说明欧氏空间中不同基的度量矩阵是相合矩阵 酉空间 设V是复数域C上的n维线性空间对任给的α,β∈V,按某种法则对应着一个复数记为(α,β),如果满足下面四个条件共轭交换律(α,β)(α,β)‾共轭齐次性(kα,β)kˉ(α,β)分配律(αβ,γ)(α,γ)(β,γ),γ∈V非负性(α,α)≥0;(α,α)0,当且仅当αθ则称复数(α,β)为定义在V上的内积定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间记为Vn(C,U)设V是复数域C上的n维线性空间对任给的\alpha,\beta \in V,\\ 按某种法则对应着一个复数记为(\alpha,\beta),如果满足下面四个条件\\ 共轭交换律(\alpha,\beta)\overline{(\alpha,\beta)}\\ 共轭齐次性(k\alpha,\beta)\bar k(\alpha,\beta)\\ 分配律(\alpha\beta, \gamma)(\alpha,\gamma)(\beta,\gamma),\gamma \in V\\ 非负性(\alpha,\alpha)\geq0;(\alpha,\alpha)0,当且仅当\alpha\theta\\ 则称复数(\alpha,\beta)为定义在V上的内积\\ 定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间记为V_{n}(C,U) 设V是复数域C上的n维线性空间对任给的α,β∈V,按某种法则对应着一个复数记为(α,β),如果满足下面四个条件共轭交换律(α,β)(α,β)​共轭齐次性(kα,β)kˉ(α,β)分配律(αβ,γ)(α,γ)(β,γ),γ∈V非负性(α,α)≥0;(α,α)0,当且仅当αθ则称复数(α,β)为定义在V上的内积定义了这样内积的n维线性空间为n维酉空间记为Vn​(C,U) 酉空间中向量的标准内积 在n维线性空间Cn中∀α(a1,...,ai,...,an)T,∀β(b1,...,bi,...,bn)T,定义内积(α,β)αHβ∑i1naˉibi其中αH(aˉ1,...,aˉi,...,aˉn)T,则Cn构成一个酉空间仍以Cn记之。上述定义的内积称为酉空间Cn中向量的标准内积。在n维线性空间C^n中\\ \forall \alpha(a_1,...,a_i,...,a_n)^T,\forall \beta(b_1,...,b_i,...,b_n)^T,\\ 定义内积(\alpha,\beta)\alpha^H\beta\sum_{i 1}^{n}\bar a_ib_i\\ 其中\alpha^H(\bar a_1,...,\bar a_i,...,\bar a_n)^T,则C^n构成一个酉空间仍以C^n记之。\\ 上述定义的内积称为酉空间C^n中向量的标准内积。 在n维线性空间Cn中∀α(a1​,...,ai​,...,an​)T,∀β(b1​,...,bi​,...,bn​)T,定义内积(α,β)αHβi1∑n​aˉi​bi​其中αH(aˉ1​,...,aˉi​,...,aˉn​)T,则Cn构成一个酉空间仍以Cn记之。上述定义的内积称为酉空间Cn中向量的标准内积。 Hermite矩阵 设ACm×n,Aˉ表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵令AH(Aˉ)T,则称AH为A的共轭转置阵。特别若AHA则称A为Hermite矩阵AH−A则称A为反Hermite矩阵Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。设AC^{m\times n},\bar A表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵\\ 令A^H(\bar A)^T,则称A^H为A的共轭转置阵。\\ 特别若A^HA则称A为Hermite矩阵\\ A^H-A则称A为反Hermite矩阵\\ Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。 设ACm×n,Aˉ表示由A元素的共轭复数所组成的矩阵令AH(Aˉ)T,则称AH为A的共轭转置阵。特别若AHA则称A为Hermite矩阵AH−A则称A为反Hermite矩阵Hermite矩阵与反Hermite矩阵是对称阵与反对称阵的推广。 共轭转置阵的性质 AHAT‾(AB)HAHBH(kA)HkˉAH(AB)HBHAH(AH)HAA可逆时(AH)−1(A−1)HA^H\overline {A^T}\\ (AB)^HA^HB^H\\ (kA)^H\bar kA^H\\ (AB)^HB^HA^H\\ (A^H)^HA\\ A可逆时(A^H)^{-1}(A^{-1})^H AHAT(AB)HAHBH(kA)HkˉAH(AB)HBHAH(AH)HAA可逆时(AH)−1(A−1)H 酉空间基的度量矩阵的性质 设A为n维酉空间V的基ε1,ε2,...,εn的度量矩阵则AAH,即A是Hermite矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1,ε2,...,εn下的坐标分别为x(x1,...,xi,…xn)T,y(y1,...,yi,…yn)T则(α,β)xHAyθ̸∀α∈V,α(ε1,ε2,...,εn)x,必有xHAx0即A是正定矩阵设A为n维酉空间V的基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}的度量矩阵则\\ AA^H,即A是Hermite矩阵\\ \forall\alpha,\beta\in V;\alpha,\beta在基\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}下的坐标分别为\\ x(x_{1},...,x_{i},…x_{n})^{T},y(y_{1},...,y_{i},…y_{n})^{T}\\ 则(\alpha,\beta)x^HAy\\ \theta\not\forall\alpha\in V,\alpha(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})x,必有x^HAx0\\ 即A是正定矩阵 设A为n维酉空间V的基ε1​,ε2​,...,εn​的度量矩阵则AAH,即A是Hermite矩阵∀α,β∈V;α,β在基ε1​,ε2​,...,εn​下的坐标分别为x(x1​,...,xi​,…xn​)T,y(y1​,...,yi​,…yn​)T则(α,β)xHAyθ​∀α∈V,α(ε1​,ε2​,...,εn​)x,必有xHAx0即A是正定矩阵 酉空间两组基的度量矩阵的关系 设ε1,ε2,...,εn;η1,η2,...,ηn为n维酉空间两个基他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1,ε2,...,εn到η1,η2,...,ηn的过渡矩阵则BCHAC设\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n};\eta_1,\eta_2,...,\eta_n为n维酉空间两个基\\ 他们的度量矩阵分别为A,B.\\ C是\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}到\eta_1,\eta_2,...,\eta_n的过渡矩阵则\\ BC^HAC 设ε1​,ε2​,...,εn​;η1​,η2​,...,ηn​为n维酉空间两个基他们的度量矩阵分别为A,B.C是ε1​,ε2​,...,εn​到η1​,η2​,...,ηn​的过渡矩阵则BCHAC 内积空间的度量 设V是酉(欧式)空间∀α∈V,α的长度定义为∣∣α∣∣(α,α)长度为1的向量称为单位向量如果α̸θ,则α∣∣α∣∣是一个单位向量。∀α,β∈V,称∣∣α−β∣∣为α,β之间的距离记为d(α,β)设V是酉(欧式)空间\forall\alpha\in V,\alpha的长度定义为\\ ||\alpha||\sqrt{(\alpha,\alpha)}\\ 长度为1的向量称为单位向量\\ 如果\alpha\not \theta,则\frac{\alpha}{||\alpha||}是一个单位向量。\\ \forall\alpha,\beta\in V,称||\alpha-\beta||为\alpha,\beta之间的距离记为d(\alpha,\beta)\\ 设V是酉(欧式)空间∀α∈V,α的长度定义为∣∣α∣∣(α,α)​长度为1的向量称为单位向量如果α​θ,则∣∣α∣∣α​是一个单位向量。∀α,β∈V,称∣∣α−β∣∣为α,β之间的距离记为d(α,β) 向量长度的性质 设V是酉(欧式)空间则向量的长度具有以下性质∣∣α∣∣≥0,∣∣α∣∣0时αθ∣∣kα∣∣∣k∣∣∣α∣∣∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣(Cauchy−Schwarz不等式)等号成立的充要条件是αβ线性相关∣∣αβ∣∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣(三角不等式)设V是酉(欧式)空间则向量的长度具有以下性质\\ ||\alpha||\geq0,||\alpha||0时\alpha\theta\\ ||k\alpha|||k| ||\alpha||\\ |(\alpha,\beta)|\leq||\alpha||||\beta||(Cauchy-Schwarz不等式)\\ 等号成立的充要条件是\alpha\beta线性相关\\ ||\alpha\beta||\leq||\alpha||||\beta||(三角不等式) 设V是酉(欧式)空间则向量的长度具有以下性质∣∣α∣∣≥0,∣∣α∣∣0时αθ∣∣kα∣∣∣k∣∣∣α∣∣∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣(Cauchy−Schwarz不等式)等号成立的充要条件是αβ线性相关∣∣αβ∣∣≤∣∣α∣∣∣∣β∣∣(三角不等式) 向量组正交 设αβ为欧氏空间两个非零向量他们之间夹角α,β定义为α,βarccos(α,β)∣∣α∣∣∣∣β∣∣,0≤α,β≤π对于酉空间两个非零向量其夹角cos2α,β(α,β)(β,α)(α,α)(β,β)∣(α,β)∣2(α,α)(β,β)设\alpha\beta为欧氏空间两个非零向量他们之间夹角\alpha,\beta定义为\\ \alpha,\betaarccos\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||||\beta||},\\ 0\leq\alpha,\beta\leq \pi\\ 对于酉空间两个非零向量其夹角\\ cos^2\alpha,\beta\frac{(\alpha,\beta)(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)}\frac{|(\alpha,\beta)|^2}{(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)} 设αβ为欧氏空间两个非零向量他们之间夹角α,β定义为α,βarccos∣∣α∣∣∣∣β∣∣(α,β)​,0≤α,β≤π对于酉空间两个非零向量其夹角cos2α,β(α,α)(β,β)(α,β)(β,α)​(α,α)(β,β)∣(α,β)∣2​ (α,β)0时称α与β正交。θ与所有向量正交(\alpha,\beta)0时称\alpha与\beta正交。\\ \theta与所有向量正交 (α,β)0时称α与β正交。θ与所有向量正交 α1,...,αi,...,αm是不含零向量的向量组若他们两两正交则说其为正交向量组。若正交向量组内每一个向量都是单位向量则说该向量组是标准正交向量组。显然α1,...,αi,...,αm是标准正交向量组的充要条件是(αi,αj)δij{1,ij0,i̸ji,j1,2,...m正交向量组是线性无关向量组\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_m是不含零向量的向量组若他们两两正交则说其为正交向量组。\\ 若正交向量组内每一个向量都是单位向量则说该向量组是标准正交向量组。\\ 显然\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_m是标准正交向量组的充要条件是\\ (\alpha_i,\alpha_j)\delta_{ij} \begin{cases} 1,\quad ij\\ 0, \quad i\notj \end{cases}\quad i,j1,2,...m\\ 正交向量组是线性无关向量组 α1​,...,αi​,...,αm​是不含零向量的向量组若他们两两正交则说其为正交向量组。若正交向量组内每一个向量都是单位向量则说该向量组是标准正交向量组。显然α1​,...,αi​,...,αm​是标准正交向量组的充要条件是(αi​,αj​)δij​{1,ij0,i​j​i,j1,2,...m正交向量组是线性无关向量组 正交基 在n维空间中由n个正交向量所组成的基为正交基由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。α1,...,αi,...,αm是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵即它的度量矩阵是单位矩阵。对于酉(欧式)空间总能从一组线性无关的极大组出发由Gram−Schmidt正交化方法构造一个标准正交基。在n维空间中由n个正交向量所组成的基为正交基\\ 由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。\\ \alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_m是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵\\ 即它的度量矩阵是单位矩阵。\\ 对于酉(欧式)空间总能从一组线性无关的极大组出发\\ 由Gram-Schmidt正交化方法构造一个标准正交基。 在n维空间中由n个正交向量所组成的基为正交基由n个标准正交向量所组成的基为标准正交基。α1​,...,αi​,...,αm​是标准正交基充要条件是它的Gram矩阵即它的度量矩阵是单位矩阵。对于酉(欧式)空间总能从一组线性无关的极大组出发由Gram−Schmidt正交化方法构造一个标准正交基。 Gram-Schmidt正交化 设α1,...,αi,...,αr是线性无关的向量组Gram−Schmidt正交化过程设\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_r是线性无关的向量组\\ Gram-Schmidt正交化过程\\ 设α1​,...,αi​,...,αr​是线性无关的向量组Gram−Schmidt正交化过程 (1)正交化 (2)标准(单位)化 γ1β1∣∣β1∣∣γ2β2∣∣β2∣∣...γrβr∣∣βr∣∣则γ1,γ2,...,γr为span(α1,α2,...,αr)一个标准正交基\gamma_1\frac{\beta_1}{||\beta_1||}\\ \gamma_2\frac{\beta_2}{||\beta_2||}\\ ...\\ \gamma_r\frac{\beta_r}{||\beta_r||}\\ 则\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_r为span(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r)一个标准正交基 γ1​∣∣β1​∣∣β1​​γ2​∣∣β2​∣∣β2​​...γr​∣∣βr​∣∣βr​​则γ1​,γ2​,...,γr​为span(α1​,α2​,...,αr​)一个标准正交基