若邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立

news/2025/9/27 12:22:48/文章来源:https://www.cnblogs.com/yubo-guan/p/19114949

1. 命题回顾
2. 前半句：邻接矩阵是三角矩阵 ⇒ 存在拓扑序列
- 2.1 邻接矩阵是上三角矩阵的情况
- 2.2 邻接矩阵是下三角矩阵的情况
3. 后半句：反之则不一定成立
4. 最终判断

1. 命题回顾

若邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立。

这里“邻接矩阵是三角矩阵”应理解为 有向图 的邻接矩阵（方阵，节点编号为 (1, 2, \dots, n)），并且该矩阵是上三角矩阵或下三角矩阵（通常讨论上三角，因为节点编号与拓扑顺序有关）。

2. 前半句：邻接矩阵是三角矩阵 ⇒ 存在拓扑序列

2.1 邻接矩阵是上三角矩阵的情况

假设邻接矩阵 (A) 是 上三角矩阵（对角线及以上可能有 1，对角线以下全 0）。

上三角意味着：如果存在边 (i \to j)，则必有 (i < j)（因为 (A_{ij} = 1) 且 (i < j) 时位于上三角部分；若 (i > j) 则 (A_{ij} = 0) 表示没有这样的边）。
因此，所有边的方向都是从编号小的节点指向编号大的节点。

于是节点编号 (1, 2, \dots, n) 本身就是一个拓扑序列：对于任意边 (i \to j)，有 (i < j)，所以序列中 (i) 在 (j) 之前，满足拓扑排序的定义。

结论：上三角矩阵 ⇒ 有拓扑序列（且就是 (1,2,\dots,n)）。

2.2 邻接矩阵是下三角矩阵的情况

如果矩阵是 下三角矩阵（对角线及以下可能有 1，对角线以上全 0）：

边 (i \to j) 存在 ⇒ (A_{ij} = 1) ⇒ (i \ge j)（严格下三角时 (i > j)，但若允许对角线，则可能有自环，但拓扑排序一般要求无自环，所以通常假设无自环，即 (i > j)）。
那么所有边的方向是从编号大的节点指向编号小的节点。

这样图中可能有环吗？
举例：3 个节点，边 (3\to 2) 和 (2\to 1) 都是允许的（(i>j)），但不会出现 (1\to 3)（因为 (1<3) 但上三角部分全 0），所以不会形成环（因为要形成环必须有一条边从小编号指向大编号，但这样的边不存在）。
实际上，下三角矩阵对应的图是无环的，因为若假设有环 (v_1 \to v_2 \to \dots \to v_k \to v_1)，在边的编号关系上，必须有 (v_1 > v_2 > \dots > v_k > v_1)，这不可能（传递得到 (v_1 > v_1) 矛盾）。所以也是 DAG。

因此，下三角矩阵也对应一个 DAG，拓扑序列存在（不过是逆序编号 (n, n-1, \dots, 1) 等）。

小结前半句：无论上三角还是下三角矩阵（无自环），对应的有向图是无环的（DAG），所以一定存在拓扑序列。
命题前半句为真。