级数 - Emi

news/2025/9/26 11:39:53/文章来源:https://www.cnblogs.com/jia-t-t/p/19113180

几何级数

定义：每一项乘以一个固定的数得到下一项(不就是等比级数？)
求和: $$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$ 这里$S_n$是前$n$项的和, $a$ 是第一项, r 是公比. 然后呢，整个级数的和就是前$n$项和取$n$趋近于$\infty$的极限: $$S=lim_{n\rightarrow\infty} S_n$$
一个级数当且仅当 $|r|<1$ 的时候才是收敛的, 并且其求和为：$$S=\frac{a}{1-r}$$

级数收敛和发散的定义

如果一个级数的和是有限的我们称这个级数收敛，反之级数发散。

判断级数收敛或发散的方法们

Preliminary Test

\[lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq0 \]

如果一个无穷级数的项在$n$趋向于$\infty$时不等于$0$，我们说这个级数发散。

\[lim_{n\rightarrow\infty}a_n = 0 \]

如果级数第$n$项在$n$趋向于$\infty$时等于$0$，那我们就需要更进一步地采用其他方法来判断。

the comparision test

使用的前提条件：确保级数的所有项都是正的

$\sum_{n=0}^{\infty}m_n$ 是一个已知收敛的级数，我们要判断$\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$是否收敛。那么在某一个$n$开始，每一项都满足如下关系 $|a_n|\le m_n$ 我们说 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的。
$\sum_{n=0}^{\infty}d_n$ 是一个已知发散的级数.如果从某一项开始始终满足$|a_n|\ge d_n$，则级数 $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$ 发散.

the integral test

使用的前提条件： 确保级数的所有项都是正的，并且级数不是递增的 对于所有的$n>N$都有$0<a_{n+1}\le a_n$
如果$\int^{\infty}a_ndn$是有限的，则 $\sum^{\infty}a_n$ 收敛，如果积分是无限的则级数是发散的。 (我们算积分的时候只考虑上限)

the ratio test

使用的前提条件： 确保所有项都是正的

\[\rho_n=|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \]

\[\rho=lim_{n\rightarrow\infty}\rho_n \]

if $\rho<1$ the series converges; if$\rho=1$ use a different test; if $\rho>1$ the series diverges.
端点测试：有些情况下，$\rho<1$给我们给出的是一个区间，那么我们就需要判断是闭区间还是开区间，判断的方法是把端点值带进去判断端点值对应的级数是收敛还是发散。

the special comparison test

使用的前提条件： 确保所有的项都是正的
将$a_n$写成一个简洁的主导项形式，然后构造比较对象$b_n$，然后计算极限$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n_n}=L$，如果$0<L<\infty$则$\sum a_n$和$\sum b_n$同时收敛或发散。当我们构造比较对象时经常采用以下几种：

P级数：$\sum \frac{1}{n^p}$ 当且仅当$p>1$时收敛，其他情况下级数发散。通常用integral test测试。
几何级数：$\sum ar^n$ 当且仅当 $|r|<1$时收敛
对数级数：$\sum \frac{1}{n ln n}$、$\sum\frac{1}{n(ln n)^p}$当且仅当$p>1$时收敛

交替级数的收敛判断

如果$|a_{n+1}|\le|a_n|$并且$lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$，则此交替级数收敛。

一些计算的技巧

指数函数增长比多项式快
阶乘增长比指数快
stirling公式（数学中用来近似阶乘的重要公式）$$n!\eqsim\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$
如果一个级数对应的绝对值级数收敛，那么这个级数也是收敛的
preliminary test 应该可以一眼看出来极限值。完了之后看看积分好不好算，积分好算先用积分法判断。积分不好算再用ratio，要是判断不出来，就构造一个比它大的收敛级数或者比它小的发散级数。构造级数的方法如果是分数的话分子和分母分别找。