完整教程：区间dp,数据结构优化dp等6种dp,各种trick深度讲解

// 优化后的石子合并
for (int len = 2; len <= n; len++) {
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
int best_k = opt[l][r-1];
// 利用决策单调性
for (int k = best_k; k <= opt[l+1][r]; k++) {
if (f[l][k] + f[k+1][r] + s[r] - s[l-1] < f[l][r]) {
f[l][r] = f[l][k] + f[k+1][r] + s[r] - s[l-1];
opt[l][r] = k;
}
}
}
}

记忆化搜索的威力

对于复杂的区间划分，记忆化搜索往往更直观：

long long dfs(int l, int r) {
if (l == r) return 0;
if (f[l][r] != INF) return f[l][r];
long long res = INF;
for (int k = l; k < r; k++) {
res = min(res, dfs(l, k) + dfs(k+1, r) + s[r] - s[l-1]);
}
return f[l][r] = res;
}

part2. 数据结构优化DP

part2.1 系统化分类

数据结构优化DP可以分为以下几类：

1. 单调队列优化

适用条件：转移方程形如

f[i] = min_{j∈[i-k, i-1]} { f[j] + cost(j, i) }

且代价函数具有单调性。

经典例题： 滑动窗口最大值、多重背包单调队列优化

// 单调队列优化框架
deque<
int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 维护队列单调性
while (!q.empty() && f[q.back()] >= f[i-1]) q.pop_back();
q.push_back(i-1);
// 移除过期决策
while (!q.empty() && q.front() < i - k) q.pop_front();
// 转移
f[i] = f[q.front()] + cost(q.front(), i);
}

2. 线段树/树状数组优化

适用条件：需要区间查询最值或区间和。

// 线段树优化DP框架
struct SegmentTree {
// 实现区间最值查询、单点更新
};
SegmentTree seg;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 查询区间 [i-k, i-1] 的最值
int min_val = seg.query(i-k, i-1);
f[i] = min_val + cost(i);
seg.update(i, f[i]);
}

3. 李超线段树优化

适用条件：转移方程包含一次函数项。

原理： 将每个决策j看作一条直线 y = k_j * x + b_j，用线段树维护在x处的最小值直线。

part2.2 斜率优化详解

斜率优化是数据结构优化DP的精华，用于形如：

f[i] = min_{j


步骤：
推导斜率公式
维护凸包
二分查找最优决策点
// 斜率优化模板
vector<
int> q;
// 单调队列，存储决策点下标
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 维护凸包：删除不满足凸性的点
while (q.size() >= 2) {
int j = q[q.size()-2], k = q.back();
if ((f[k]-f[j])/(a[k]-a[j]) >= (f[i]-f[k])/(a[i]-a[k]))
q.pop_back();
else break;
}
q.push_back(i);
// 二分查找最优决策
int l = 0, r = q.size()-1;
while (l < r) {
int mid = (l+r)/2;
if (get_slope(q[mid], q[mid+1]) <= 2*a[i])
l = mid+1;
else
r = mid;
}
f[i] = f[q[l]] + (a[i]-a[q[l]])*(a[i]-a[q[l]]);
}

part3. 树形DP的深入探讨
part3.1 状态设计的艺术
树形DP的状态设计远比基础课中丰富：
1. 树上背包问题
状态：f[u][j] 表示以u为根的子树中选择j个节点的最优解
void dfs(int u) {
size[u] = 1;
// 初始化：通常f[u][0] = 0, f[u][1] = w[u]
for (int v : children[u]) {
dfs(v);
// 背包合并：注意倒序枚举避免重复
for (int j = size[u]; j >= 0; j--) {
for (int k = 0; k <= size[v]; k++) {
f[u][j+k] = max(f[u][j+k], f[u][j] + f[v][k]);
}
}
size[u] += size[v];
}
}
2. 换根DP
用于求解每个节点作为根时的答案。
技巧： 第一次DFS计算子树信息，第二次DFS通过父节点信息更新子节点。
void dfs1(int u, int parent) {
// 计算子树信息
for (int v : adj[u]) {
if (v == parent) continue;
dfs1(v, u);
f[u] += f[v] + size[v];
// 示例：求深度和
}
}
void dfs2(int u, int parent) {
// 换根：g[v] = g[u] - size[v] + (n - size[v])
for (int v : adj[u]) {
if (v == parent) continue;
g[v] = g[u] - 2 * size[v] + n;
dfs2(v, u);
}
}
3. 复杂状态设计示例
例题： 树的直径（路径最长）
// f[u][0]: u为根的子树中最长路径
// f[u][1]: u为根的子树中次长路径（与最长路径不相交）
// 或者：
// f[u]: 从u出发的最长链
// g[u]: 经过u的最长路径
void dfs(int u, int parent) {
for (int v : adj[u]) {
if (v == parent) continue;
dfs(v, u);
// 更新经过u的最长路径
g[u] = max(g[u], f[u] + f[v] + 1);
// 更新从u出发的最长链
f[u] = max(f[u], f[v] + 1);
}
}
part3.2 树形DP的优化技巧
1. 长链剖分优化
用于深度相关的树形DP，将复杂度从O(n²)优化到O(n)。
原理： 继承重儿子信息，暴力合并轻儿子。

void dfs(int u, int parent) {
// 继承重儿子
if (heavy_son[u]) {
dfs(heavy_son[u], u);
f[u] = f[heavy_son[u]];
// 指针操作，实际是O(1)
}
// 合并轻儿子
for (int v : adj[u]) {
if (v == parent || v == heavy_son[u]) continue;
dfs(v, u);
// 暴力合并轻儿子信息
for (int i = 0; i <= len[v]; i++) {
f[u][i+1] += f[v][i];
// 示例操作
}
}
}
2. 虚树优化
当只需要处理部分关键节点时，构建虚树减少节点数量。
part4. 倍增优化DP的扩展应用
part4.1 倍增思想的本质
倍增的核心是二进制分解：任何数字都可以表示为2的幂次之和，任何跳跃都可以分解为2^k步的跳跃。
part4.2 扩展应用场景
1. 树上路径查询
预处理每个节点向上2^k步的信息（最大值、最小值、和等）。
// 预处理
for (int k = 1; k < LOG; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
fa[i][k] = fa[fa[i][k-1]][k-1];
max_val[i][k] = max(max_val[i][k-1], max_val[fa[i][k-1]][k-1]);
}
}
// 查询u到v路径上的最大值
int query_max(int u, int v) {
if (depth[u] < depth[v]) swap(u, v);
int res = -INF;
// u向上跳至与v同深度
for (int k = LOG-1; k >= 0; k--) {
if (depth[fa[u][k]] >= depth[v]) {
res = max(res, max_val[u][k]);
u = fa[u][k];
}
}
if (u == v) return res;
// 同时向上跳
for (int k = LOG-1; k >= 0; k--) {
if (fa[u][k] != fa[v][k]) {
res = max(res, max(max_val[u][k], max_val[v][k]));
u = fa[u][k], v = fa[v][k];
}
}
return max(res, max(max_val[u][0], max_val[v][0]));
}
2. 序列上的倍增DP
例题： 给定序列，求每个位置向右跳k步后的位置。
// f[i][k]: 从i开始跳2^k步到达的位置
for (int k = 1; k < LOG; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1];
}
}
// 查询从x开始跳y步
int jump(int x, int y) {
for (int k = 0; k < LOG; k++) {
if (y >> k &
1) {
x = f[x][k];
}
}
return x;
}
3. 倍增优化状态转移
当DP转移具有重复性时，可以用倍增优化。
示例：f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]
part5. 状态压缩DP的高级应用
part5.1 从基础到进阶
1. 子集枚举的优化技巧
经典枚举方法：

// 枚举mask的所有子集
for (int submask = mask; submask; submask = (submask-1) & mask) {
// 处理子集submask
}
时间复杂度分析：
对于有k个1的mask，有2^k个子集
总复杂度：ΣC(n,k)*2^k = 3^n2. 轮廓线DP（插头DP）
插头DP是状态压缩DP的高级形式，用于网格图上的路径问题。
核心概念：
插头：网格边界的连通性状态
括号表示法：用括号序列表示连通性
逐格递推：逐个格子进行状态转移
// 插头DP框架（哈密顿路径计数）
struct State {
int mask;
// 轮廓线状态
long long cnt;
};
unordered_map<
int, long long> f[2];
// 滚动数组
void dp() {
int cur = 0;
f[cur][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
int nxt = cur ^ 1;
f[nxt].clear();
for (auto &
[mask, cnt] : f[cur]) {
int left = (mask >> j) &
1;
// 左插头
int up = (mask >>
(j+1)) &
1;
// 上插头
if (!grid[i][j]) {
// 障碍物
if (!left &&
!up) f[nxt][mask] += cnt;
continue;
}
if (!left &&
!up) {
// 新建连通分量
int new_mask = mask | (1 << j) | (1 <<
(j+1));
f[nxt][new_mask] += cnt;
} else if (left &&
!up) {
// 延续左插头
// 两种情况：向右或向下
} else if (!left && up) {
// 延续上插头
// 两种情况：向右或向下
} else {
// 合并两个连通分量
int new_mask = mask ^ (1 << j) ^ (1 <<
(j+1));
f[nxt][new_mask] += cnt;
}
}
cur = nxt;
}
}
}
3. 集合幂级数优化
使用FWT（快速沃尔什变换）优化状态压缩DP的卷积运算。
// 子集卷积优化
void fwt(vector<
int>
&a) {
int n = a.size();
for (int k = 1; k < n; k <<= 1) {
for (int i = 0; i < n; i += k <<
1) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
a[i+j+k] += a[i+j];
// 或使用其他变换
}
}
}
}
part5.2 状态设计的高级技巧
1. 双轮廓线DP
用于更复杂的网格问题，同时维护两行状态。
2. 三进制状态压缩
用于需要区分多种状态的情况（如：已选/未选/禁止选）。
3. 状态压缩+Meet in Middle
将状态分成两半，分别处理后再合并。

// 折半搜索框架
void dfs1(int idx, int mask, int value) {
if (idx == n/2) {
left_states[mask] = value;
return;
}
dfs1(idx+1, mask, value);
// 不选当前
dfs1(idx+1, mask | (1<<idx), value + w[idx]);
// 选当前
}
void dfs2(int idx, int mask, int value) {
if (idx == n) {
// 在left_states中寻找互补状态
int target = total_mask ^ mask;
if (left_states.count(target)) {
ans = max(ans, value + left_states[target]);
}
return;
}
// 类似dfs1
}
(upd on 2025.9.23，补充数位DP)part6. 数位DP
part6.1 定义与核心思想
数位DP是一类非常有代表性的 数字问题专用DP。它的核心在于：

当我们处理一个关于数字的计数或最优问题时，可以 逐位枚举（从高位到低位），并用状态来记录“是否贴合上界”、“前缀信息”等条件，从而避免重复计算。
典型问题类型：
统计区间  $[L, R]$  内满足某种性质的数（如不含某个数字、各位数之和满足条件等）
找到区间内的最大/最小满足条件的数
计数+最优性结合（如：区间内满足条件的数有多少，同时求最大值/和等）
为什么能用DP？

因为 每一位的选择只取决于更高位的状态（是否已经达到上界、是否仍有前导零等），而与之后的低位无关，满足无后效性。
part6.2 状态设计方法论
一个标准的数位DP状态可以写作：
 $f (p os, s u m, l e a d, l imi t)$ 
pos：当前处理到的位数（一般从高位到低位）
sum：记录到当前位置的某种性质（如数位和、余数、最大数位等）
lead：是否还在前导零（防止把前导零算作有效位）
limit：当前是否受上界约束（是否必须 ≤ 给定数字的这一位）
例子：
如果题目是「统计  $[1, n]$  内数位和为k的数个数」

状态就是  $f(pos, cur\_sum, lead, limit)$ 。
如果题目是「统计  $[1, n]$  内不含4的数个数」

状态就是  $f(pos, has\_4, lead, limit)$ 。
part6.3 经典例题解析
例题1：统计  $[1, n]$  内数位和等于 k 的数
转移过程：
枚举当前位置填的数字 d（0~9，若 limit=1 则上限为 n[pos]）
如果 lead=1 且 d=0，那么 sum 不变，继续 lead=1
否则 sum 累加 d，lead=0
下一层递归 f(pos-1, sum+d, new_lead, new_limit)
最终在 pos=0 时判断 sum==k。
例题2：不含相邻相等数字的数
状态设计：f(pos, last_digit, lead, limit)
last_digit=-1 表示还没选过数字
转移时要求 d ≠ last_digit，才能合法转移
part6.4 常见技巧
1. 记忆化 vs 表格DP
数位DP常用记忆化搜索写法，因为 limit 和 lead 状态不能简单预处理
当 limit=0 时，状态可以记忆化；limit=1 时需要继续递归
2. 区间问题 [L, R]
只需写一个 solve(n) 求 [0, n] 的答案，再用 solve® - solve(L-1) 即可。
3. 优化方向
压缩状态（sum 只取模时，可用 dp[pos][mod]）
预处理组合数/阶乘（如数位组合计数）
高位剪枝（当剩余位数不足以满足条件时提前返回）
part6.5 常见题型总结
数位和类
固定和 / 模运算 / 可整除性
dp[pos][sum]
数位限制类
不能包含某个数位 / 相邻数位不能相等
dp[pos][last_digit]
计数+最优性结合
最大数位和 / 最小值
dp[pos][property]，在递归时选择“尽量大/小”
复杂条件
同时限制奇偶性、余数、最大值等
多维状态，常用记忆化搜索+剪枝
part7. 综合技巧与实战策略
part7.1 DP优化技巧的系统总结
1. 空间优化技巧
滚动数组：f[i][j] → f[i%2][j]
降维打击：分析状态依赖关系，减少维度
2. 时间优化技巧
预处理：提前计算常用值
剪枝：排除不可能状态
记忆化：避免重复计算
3. 常数优化
循环展开
位运算优化
缓存友好访问
part7.2 实战解题策略
1. 状态设计思维流程
1. 识别问题类型（计数、最优、可行性）
2. 确定状态维度（位置、选择情况、附加条件）
3. 设计状态表示（数组维度、含义）
4. 推导转移方程（如何从小状态推到大状态）
5. 确定边界条件（最小子问题的解）
6. 优化空间时间（数据结构、数学性质）
2. 调试技巧
打印DP表观察状态转移
小数据手动验证
对拍验证正确性
part7.3 进阶学习方向
1. 动态DP
支持修改操作的动态规划，通常用矩阵表示转移，用线段树维护。
2. 概率DP与期望DP
处理随机过程，需要概率论知识。
3. 状压DP的进一步扩展
斯坦纳树问题
一般图匹配
旅行商问题的进一步优化
最后的话
DP提高课到这里就真正结束了。从基础的区间DP到复杂的插头DP，我们覆盖了竞赛中常见的各种DP类型和优化技巧。
关键收获：
状态设计是核心：好的状态设计决定了解题的成败
优化需要洞察力：发现问题的特殊性质才能有效优化
实践出真知：只有大量练习才能掌握这些技巧
学习建议：
每学一个技巧，找3-5道相关题目练习
总结同类问题的共性
尝试一题多解，比较不同方法的优劣
其实 DP 本质上需要多练，否则你看懂了其实并没有用，但是你没看懂直接去练题也没有用，所以说请认真读懂，否则等于没用。

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win10开机输入密码后一直转圈，很长时间才登录到桌面

经过研究后，查看了系统日志有如下记录：发现是winlogon通知订户 <Profiles> 正在长时间处理此通知事件（Logon）然后发现耗时确实过长，花了将近5分钟解决方法最后是通过将用户缓存文件删除解决的，Win+R然…

完整教程：区间dp,数据结构优化dp等6种dp,各种trick深度讲解

DP提高课（一文讲全）

part1.1 定义与深入理解

part1.2 经典例题深度分析

环形处理的严格证明

part1.3 高级技巧与优化

记忆化搜索的威力

part2. 数据结构优化DP

1. 单调队列优化

2. 线段树/树状数组优化

3. 李超线段树优化

part3. 树形DP的深入探讨

1. 树上背包问题

2. 换根DP

3. 复杂状态设计示例

part3.2 树形DP的优化技巧

2. 虚树优化

part4.1 倍增思想的本质

1. 树上路径查询

2. 序列上的倍增DP

3. 倍增优化状态转移

part5.1 从基础到进阶

2. 轮廓线DP（插头DP）

3. 集合幂级数优化

part5.2 状态设计的高级技巧

2. 三进制状态压缩

part6. 数位DP

part6.2 状态设计方法论

part6.3 经典例题解析

例题2：不含相邻相等数字的数

1. 记忆化 vs 表格DP

3. 优化方向

part7. 综合技巧与实战策略

1. 空间优化技巧

3. 常数优化

1. 状态设计思维流程

2. 调试技巧

1. 动态DP

3. 状压DP的进一步扩展

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