科技 公司 响应式 网站,知名广州网站建设,上海关键词优化,群晖做网站连接数据库前言 阅读本文需要阅读一些前置知识 [信号与系统]傅里叶变换、卷积定理、和为什么时域的卷积等于频域相乘。 [信号与系统]有关滤波器的一些知识背景 [信号与系统]关于LTI系统的转换方程、拉普拉斯变换和z变换 [信号与系统]关于双线性变换 IIR滤波器的数学表达式 IIRInfinite Impulse Response滤波器的输出信号 y [ n ] y[n] y[n] 可以用输入信号 x [ n ] x[n] x[n] 和滤波器系数表示为线性常系数差分方程 y [ n ] − ∑ k 1 N a k y [ n − k ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] y[n] -\sum_{k1}^{N} a_k y[n-k] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] y[n]−k1∑N​ak​y[n−k]k0∑M​bk​x[n−k] 其中 y [ n ] y[n] y[n] 是滤波器的输出信号。 x [ n ] x[n] x[n] 是滤波器的输入信号。 a k a_k ak​ 和 b k b_k bk​ 是滤波器的系数。 N N N 是输出信号的反馈项数。 M M M 是输入信号的前馈项数。 传递函数 IIR滤波器的传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 是输入信号的Z变换 X ( z ) X(z) X(z) 与输出信号的Z变换 Y ( z ) Y(z) Y(z) 之比 H ( z ) Y ( z ) X ( z ) ∑ k 0 M b k z − k 1 ∑ k 1 N a k z − k H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} \frac{\sum_{k0}^{M} b_k z^{-k}}{1 \sum_{k1}^{N} a_k z^{-k}} H(z)X(z)Y(z)​1∑k1N​ak​z−k∑k0M​bk​z−k​ 数学性质 因果性 (Causality) IIR滤波器通常是因果的即输出信号在当前时刻只依赖于当前及过去的输入和输出信号。数学上如果系统的传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 在单位圆外是有界的则该系统是因果的。 稳定性 (Stability) IIR滤波器的稳定性取决于系统的极点。如果所有极点都位于单位圆内即 ∣ z ∣ 1 |z| 1 ∣z∣1则系统是稳定的。数学上如果传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 在单位圆内收敛则系统是稳定的。 频率响应 (Frequency Response) IIR滤波器的频率响应 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω) 是通过将 z z z 替换为 e j ω e^{j\omega} ejω 得到的 H ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e − j ω k 1 ∑ k 1 N a k e − j ω k H(e^{j\omega}) \frac{\sum_{k0}^{M} b_k e^{-j\omega k}}{1 \sum_{k1}^{N} a_k e^{-j\omega k}} H(ejω)1∑k1N​ak​e−jωk∑k0M​bk​e−jωk​频率响应描述了系统对不同频率成分的响应。 无限冲激响应 (Infinite Impulse Response) IIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 是无限长的即 h [ n ] h[n] h[n] 不会在有限时间内变为零。数学上如果系统的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 对于所有 n n n 都不为零则为IIR滤波器。 总结 IIR滤波器通过反馈和前馈项的结合能够实现复杂的频率响应特性。其数学表达式和性质对于分析和设计滤波器非常重要。IIR滤波器广泛应用于信号处理和通信系统中因其能用较少的滤波器阶数实现较高的选择性和稳定性。 FIR滤波器的数学表达式 FIRFinite Impulse Response滤波器的输出信号 y [ n ] y[n] y[n] 可以用输入信号 x [ n ] x[n] x[n] 和滤波器系数表示为线性常系数差分方程 y [ n ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] y[n] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] y[n]k0∑M​bk​x[n−k] 其中 y [ n ] y[n] y[n] 是滤波器的输出信号。 x [ n ] x[n] x[n] 是滤波器的输入信号。 b k b_k bk​ 是滤波器的系数。 M M M 是滤波器的阶数。 传递函数 FIR滤波器的传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 是输入信号的Z变换 X ( z ) X(z) X(z) 与输出信号的Z变换 Y ( z ) Y(z) Y(z) 之比 H ( z ) Y ( z ) X ( z ) ∑ k 0 M b k z − k H(z) \frac{Y(z)}{X(z)} \sum_{k0}^{M} b_k z^{-k} H(z)X(z)Y(z)​k0∑M​bk​z−k 数学性质 因果性 (Causality) FIR滤波器通常是因果的即输出信号在当前时刻只依赖于当前及过去的输入信号。数学上如果系统的传递函数 H ( z ) H(z) H(z) 在单位圆外是有界的则该系统是因果的。 稳定性 (Stability) FIR滤波器是稳定的因为其冲激响应是有限长度的不存在反馈。 线性相位 (Linear Phase) FIR滤波器可以设计成具有线性相位响应即不同频率成分通过滤波器时相位延迟是线性的。这对于避免信号失真非常重要。 频率响应 (Frequency Response) FIR滤波器的频率响应 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω) 是通过将 z z z 替换为 e j ω e^{j\omega} ejω 得到的 H ( e j ω ) ∑ k 0 M b k e − j ω k H(e^{j\omega}) \sum_{k0}^{M} b_k e^{-j\omega k} H(ejω)k0∑M​bk​e−jωk频率响应描述了系统对不同频率成分的响应。 有限冲激响应 (Finite Impulse Response) FIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 是有限长的即在有限时间内变为零。数学上如果系统的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 对于 n M n M nM 都为零则为FIR滤波器。 总结 FIR滤波器通过前馈项的组合能够实现预期的频率响应特性。其数学表达式和性质对于分析和设计滤波器非常重要。FIR滤波器广泛应用于信号处理和通信系统中因其固有的稳定性和可以实现的线性相位特性使得它们特别适用于对相位响应有严格要求的应用。 一些分析 1. IIR滤波器的冲激响应 IIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 是无限长的这意味着当一个冲激输入即单位脉冲信号 δ [ n ] \delta[n] δ[n]应用于IIR滤波器时滤波器的输出会持续无限长的时间。其数学表达式为 y [ n ] − ∑ k 1 N a k y [ n − k ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] y[n] -\sum_{k1}^{N} a_k y[n-k] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] y[n]−k1∑N​ak​y[n−k]k0∑M​bk​x[n−k] 当输入信号 x [ n ] δ [ n ] x[n] \delta[n] x[n]δ[n] 时输出信号 y [ n ] h [ n ] y[n] h[n] y[n]h[n] 是系统的冲激响应。由于IIR滤波器具有反馈项即包含前几个输出 y [ n − k ] y[n-k] y[n−k]这些反馈项会使得冲激响应在理论上永远不会完全衰减至零。 2. FIR滤波器的冲激响应 FIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 是有限长的这意味着当一个冲激输入即单位脉冲信号 δ [ n ] \delta[n] δ[n]应用于FIR滤波器时滤波器的输出在有限时间内变为零。其数学表达式为 y [ n ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] y[n] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] y[n]k0∑M​bk​x[n−k] 当输入信号 x [ n ] δ [ n ] x[n] \delta[n] x[n]δ[n] 时输出信号 y [ n ] h [ n ] y[n] h[n] y[n]h[n] 是系统的冲激响应。由于FIR滤波器只包含输入信号的前馈项即没有前几个输出 y [ n − k ] y[n-k] y[n−k] 的反馈项冲激响应在有限时间内即在 M M M 个采样点之后会变为零。 数学性质 IIR滤波器的冲激响应 无限长 IIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 在理论上是无限长的因为其反馈结构会导致输出信号持续无限时间。数学上 h [ n ] ∑ k 0 M b k δ [ n − k ] − ∑ k 1 N a k h [ n − k ] h[n] \sum_{k0}^{M} b_k \delta[n-k] - \sum_{k1}^{N} a_k h[n-k] h[n]k0∑M​bk​δ[n−k]−k1∑N​ak​h[n−k] 由于存在反馈项 a k h [ n − k ] a_k h[n-k] ak​h[n−k]冲激响应不会在有限时间内变为零。 FIR滤波器的冲激响应 有限长 FIR滤波器的冲激响应 h [ n ] h[n] h[n] 是有限长的因为其前馈结构没有反馈项导致输出信号在有限时间内变为零。数学上 h [ n ] ∑ k 0 M b k δ [ n − k ] h[n] \sum_{k0}^{M} b_k \delta[n-k] h[n]k0∑M​bk​δ[n−k] 由于没有反馈项冲激响应在 n M n M nM 时会变为零。 群延迟Group Delay 是指信号中不同频率分量通过滤波器时的相位延迟差异。它表示为 τ g ( ω ) − d θ ( ω ) d ω \tau_g(\omega) -\frac{d\theta(\omega)}{d\omega} τg​(ω)−dωdθ(ω)​ 其中 θ ( ω ) \theta(\omega) θ(ω) 是滤波器的相位响应。 相位响应 是指滤波器对信号不同频率分量引入的相位变化。线性相位响应意味着所有频率分量被等相位延迟处理保持了信号波形的形状。 IIR滤波器 具有反馈结构其数学形式为 y [ n ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] − ∑ k 1 N a k y [ n − k ] y[n] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] - \sum_{k1}^{N} a_k y[n-k] y[n]k0∑M​bk​x[n−k]−k1∑N​ak​y[n−k] 由于反馈项 ∑ k 1 N a k y [ n − k ] \sum_{k1}^{N} a_k y[n-k] ∑k1N​ak​y[n−k]IIR滤波器的相位响应通常是非线性的。这是因为反馈会引入复杂的极点分布导致相位响应不是线性的进而导致群延迟不恒定形成非线性相位偏移。 FIR滤波器 FIR滤波器 具有有限冲激响应其数学形式为 y [ n ] ∑ k 0 M b k x [ n − k ] y[n] \sum_{k0}^{M} b_k x[n-k] y[n]k0∑M​bk​x[n−k] FIR滤波器没有反馈项仅依赖于输入信号的有限个样本。通过适当设计滤波器系数 b k b_k bk​可以实现线性相位响应即 θ ( ω ) − τ ω \theta(\omega) -\tau \omega θ(ω)−τω 其中 τ \tau τ 是常数。这意味着群延迟 τ g ( ω ) \tau_g(\omega) τg​(ω) 为常数所有频率分量都具有相同的相位延迟保持信号的波形不失真。 举个例子 考虑一个简单的一阶IIR低通滤波器 H ( z ) 1 − 0.5 z − 1 1 − 0.3 z − 1 H(z) \frac{1 - 0.5z^{-1}}{1 - 0.3z^{-1}} H(z)1−0.3z−11−0.5z−1​ 相位响应和群延迟非线性如下 θ ( ω ) ≈ − ω ( 0.3 1 − 0. 3 2 ) \theta(\omega) \approx -\omega \left( \frac{0.3}{1 - 0.3^2} \right) θ(ω)≈−ω(1−0.320.3​) τ g ( ω ) − d θ ( ω ) d ω \tau_g(\omega) -\frac{d\theta(\omega)}{d\omega} τg​(ω)−dωdθ(ω)​ 考虑一个简单的三阶FIR低通滤波器具有对称系数 H ( z ) 0.25 0.5 z − 1 0.25 z − 2 H(z) 0.25 0.5z^{-1} 0.25z^{-2} H(z)0.250.5z−10.25z−2 相位响应和群延迟线性如下 θ ( ω ) − ω ( 3 2 ) \theta(\omega) -\omega \left( \frac{3}{2} \right) θ(ω)−ω(23​) τ g ( ω ) d θ ( ω ) d ω 3 2 \tau_g(\omega) \frac{d\theta(\omega)}{d\omega} \frac{3}{2} τg​(ω)dωdθ(ω)​23​