做网站和推广公司,深圳网站建设与设计制作,活动策划代运营的公司,wordpress换主题出错字幕办什么是FFT#xff1f; FFT#xff08;Fast Fourier Transformation#xff09; 是离散傅氏变换#xff08;DFT#xff09;的快速算法#xff0c;即快速傅氏变换。FFT使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少#xff0c;特别是被变换的抽样点数N越多#x…什么是FFT FFTFast Fourier Transformation 是离散傅氏变换DFT的快速算法即快速傅氏变换。FFT使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少特别是被变换的抽样点数N越多FFT算法计算量的节省就越显著。FFT可以将多项式乘法的复杂度从 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)降到 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。 下图是FFT的整体计算流程FFT变换的复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)FFT域上的pointwise乘法的复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)逆FFT变换的复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)总体复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。 多项式的表示方法 方法1系数表示 从多项式函数的定义将所有系数视为系数向量而由全部系数组成的向量 a a a叫做该多项式的系数表达: f ( x ) ∑ i 0 n − 1 a i x i f(x)\sum_{i0}^{n-1}a_ix^i f(x)i0∑n−1​ai​xi a ( a 0 , a 2 , … , a n − 1 ) a(a_0 ,a_2, \dots, a_{n-1}) a(a0​,a2​,…,an−1​) 举个简单的例子 f ( x ) 5 x 0 6 x 1 7 x 2 f(x)5x^06x^17x^2 f(x)5x06x17x2的系数表示为 { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}。反之 { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}的系数编码结果为 f ( x ) 5 x 0 6 x 1 7 x 2 f(x)5x^06x^17x^2 f(x)5x06x17x2。 系数表示特点是对多项式加法友好时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)。但是对多项式乘法不友好采用多项式逐项相乘时间复杂度仍为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。 注系数表示的乘法表示卷积操作。 方法2点值表示 任意选取 n n n个不同的自变量 x x x带入多项式函数 f ( x ) f(x) f(x)进行求值运算将得到 n n n个不同的结果。于是多项式的点值表达就是由这 n n n个数值点组成的集合 { ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , … , ( x n − 1 , f ( x n − 1 ) ) } \{(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \dots, (x_{n-1}, f(x_{n-1}))\} {(x0​,f(x0​)),(x1​,f(x1​)),…,(xn−1​,f(xn−1​))} 举个简单的例子 f ( x ) 5 x 0 6 x 1 7 x 2 f(x)5x^06x^17x^2 f(x)5x06x17x2的点值表示为 { ( 0 , f ( 0 ) ) , ( 1 , f ( 1 ) ) , ( 2 , f ( 2 ) ) } \{(0, f(0)), (1, f(1)), (2, f(2))\} {(0,f(0)),(1,f(1)),(2,f(2))}。反之 { 5 , 6 , 7 } \{5, 6, 7\} {5,6,7}的点值编码应该满足 f ( 0 ) 5 , f ( 1 ) 6 , f ( 2 ) 7 f(0)5, f(1)6, f(2)7 f(0)5,f(1)6,f(2)7 点值表示的特点是对多项式乘法友好时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)【因为可以做element-wise乘法EWMM】但是多项式加法不友好。 复数 复数的定义设 a , b a, b a,b为实数则 z a b i z a bi zabi的数称为复数其中 a a a称为实部 b b b称为虚部。 复数的模为 ∣ z ∣ a 2 b 2 |z|\sqrt{a^2b^2} ∣z∣a2b2 ​。一个复数的共轭复数为 z ‾ a − b i \overline{z}a-bi za−bi即改变虚部的符号。 单位复数根 对于任意一个复数 ω \omega ω其 n n n次幂的结果为1就称复数 ω \omega ω是 n n n次单位复数根即 ω n 1 \omega^n1 ωn1 可以看到 n n n次单位复数根有 n n n个其几何意义为 n n n个单位复数根均匀地分布在以复平面原点为圆心的单位圆上。 在几何意义的单位圆中我们将圆周角 2 π 2\pi 2π均分成 n n n份则 2 π n \frac{2\pi}{n} n2π​叫做单位根的幅角。 由欧拉公式 e i 2 π n c o s 2 π n i s i n 2 π n e^{i\frac{2\pi}{n}} cos \frac{2\pi}{n} i sin \frac{2\pi}{n} ein2π​cosn2π​isinn2π​ 定义 ω n \omega_n ωn​表示一个 n n n次单位根 ω n e i 2 π n \omega_n e^{i\frac{2\pi}{n}} ωn​ein2π​ ω n \omega_n ωn​也是主 n n n次单位根其余 w n 1 、 w n 2 w_{n}^{1}、w_{n}^{2} wn1​、wn2​等叫做 n n n次单位根的幂次记为 ω n k e i 2 k π n , k 0 , 1 , … , n − 1 \omega_{n}^{k} e^{i\frac{2k\pi}{n}}, k0,1,\dots,n-1 ωnk​ein2kπ​,k0,1,…,n−1 于是很容易知道 ω n 0 ω n n 1 , ω n n 2 − 1 \omega_n^0\omega_n^n1, \omega_n^{\frac{n}{2}}-1 ωn0​ωnn​1,ωn2n​​−1 单位复数根的性质1消去引理 ω d n d k e i 2 d k π d n e i 2 k π n w n k \omega_{dn}^{dk} e^{i\frac{2dk\pi}{dn}}e^{i\frac{2k\pi}{n}}w_{n}^{k} ωdndk​eidn2dkπ​ein2kπ​wnk​ 单位复数根的性质1折半引理 ω n k n 2 ω n k ω n n 2 − ω n k \omega_{n}^{k\frac{n}{2}} \omega_{n}^{k}\omega_{n}^{\frac{n}{2}}-\omega_{n}^{k} ωnk2n​​ωnk​ωn2n​​−ωnk​ 于是也可以得到 ( ω n k n 2 ) 2 ( − ω n k ) 2 ( ω n k ) 2 ω n 2 k ω n 2 k (\omega_{n}^{k\frac{n}{2}})^2(-\omega_{n}^{k})^2(\omega_{n}^{k})^2\omega_{n}^{2k}\omega_{\frac{n}{2}}^{k} (ωnk2n​​)2(−ωnk​)2(ωnk​)2ωn2k​ω2n​k​ 好处是将 n n n降到了原来的一半。 DFT离散傅立叶变换 假设多项式 A ( x ) ∑ i 0 n − 1 a i x i A(x)\sum_{i0}^{n-1}a_ix^i A(x)i0∑n−1​ai​xi 把 n n n次单位根的幂次 x ω n k x\omega_n^k xωnk​分别代入多项式 y k A ( ω n k ) ∑ i 0 n − 1 a i ω n k i , k 0 , 1 , … , n − 1 y_k A(\omega_n^k)\sum_{i0}^{n-1}a_i\omega_n^{ki}, k0,1,\dots,n-1 yk​A(ωnk​)i0∑n−1​ai​ωnki​,k0,1,…,n−1 记 y ( y 0 , y 1 , … , y n − 1 ) y(y_0, y_1, \dots, y_{n-1}) y(y0​,y1​,…,yn−1​)是系数向量 a ( a 0 , a 1 , … , a n − 1 ) a(a_0, a_1,\dots,a_{n-1}) a(a0​,a1​,…,an−1​)的离散傅立叶变换即DFT。 IDFT离散傅立叶逆变换 a j 1 n ∑ k 0 n − 1 y k ω n − k i a_j \frac{1}{n}\sum_{k0}^{n-1}y_k\omega_n^{-ki} aj​n1​k0∑n−1​yk​ωn−ki​ DFT对应多项式求值 IDFT对应插值求多项式系数 值得注意的是DFT的复杂度仍然是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。 FFT和蝶形计算 FFT的原理是将多项式分解成奇偶两部分并用分治的思想依次计算下去。 A ( x ) a 0 a 1 x 1 ⋯ a n − 1 x n − 1 A(x)a_0a_1x^1\dotsa_{n-1}x^{n-1} A(x)a0​a1​x1⋯an−1​xn−1 A 0 ( x ) a 0 a 2 x 1 ⋯ a n − 2 x n − 2 2 A_0(x)a_0a_2x^1\dotsa_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}} A0​(x)a0​a2​x1⋯an−2​x2n−2​ A 1 ( x ) a 1 a 3 x 1 ⋯ a n − 1 x n − 2 2 A_1(x)a_1a_3x^1\dotsa_{n-1}x^{\frac{n-2}{2}} A1​(x)a1​a3​x1⋯an−1​x2n−2​ A ( x ) A 0 ( x 2 ) x A 1 ( x 2 ) A(x)A_0(x^2)xA_1(x^2) A(x)A0​(x2)xA1​(x2) 证明 A ( x ) A 0 ( x 2 ) x A 1 ( x 2 ) a 0 a 2 x 2 a 4 x 4 ⋯ a n − 2 x n − 2 a 1 x 1 a 3 x 3 a 5 x 5 ⋯ a n − 1 x n − 1 A(x)A_0(x^2)xA_1(x^2)a_0a_2x^2a_4x^4\dotsa_{n-2}x^{n-2}\\a_1x^1a_3x^3a_5x^5\dotsa_{n-1}x^{n-1} A(x)A0​(x2)xA1​(x2)a0​a2​x2a4​x4⋯an−2​xn−2a1​x1a3​x3a5​x5⋯an−1​xn−1 得证 将 x ω n k x\omega_n^k xωnk​代入 A ( x ) A 0 ( x 2 ) x A 1 ( x 2 ) A(x)A_0(x^2)xA_1(x^2) A(x)A0​(x2)xA1​(x2)中得到 A ( ω n k ) A 0 ( ω n 2 k ) ω n k A 1 ( ω n 2 k ) A 0 ( ω n 2 k ) ω n k A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^k)A_0(\omega_n^{2k})\omega_n^kA_1(\omega_n^{2k})A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk​)A0​(ωn2k​)ωnk​A1​(ωn2k​)A0​(ω2n​k​)ωnk​A1​(ω2n​k​) 将 x ω n k n 2 x\omega_n^{k\frac{n}{2}} xωnk2n​​代入 A ( x ) A 0 ( x 2 ) x A 1 ( x 2 ) A(x)A_0(x^2)xA_1(x^2) A(x)A0​(x2)xA1​(x2)中得到 A ( ω n k n 2 ) A 0 ( ω n 2 k n ) ω n k n 2 A 1 ( ω n 2 k n ) A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) A(\omega_n^{k\frac{n}{2}})A_0(\omega_n^{2kn}) \omega_n^{k\frac{n}{2}}A_1(\omega_n^{2kn})A_0(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_1(w_n^{2k})A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})-\omega_n^kA_1(w_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk2n​​)A0​(ωn2kn​)ωnk2n​​A1​(ωn2kn​)A0​(ωn2k​)−ωnk​A1​(wn2k​)A0​(ω2n​k​)−ωnk​A1​(w2n​k​) 我们发现 A ( ω n k ) A(\omega_n^k) A(ωnk​)和 A ( ω n k n 2 ) A(\omega_n^{k\frac{n}{2}}) A(ωnk2n​​)的第一项完全相同仅第二项为相反数。因此如果知道 A 0 ( ω n 2 k ) A_0(\omega^k_{\frac{n}{2}}) A0​(ω2n​k​)和 A 1 ( ω n 2 k ) A_1(\omega^k_{\frac{n}{2}}) A1​(ω2n​k​)的值我们就可以同时知道 A ( ω n k ) A(\omega^k_n) A(ωnk​)和 A ( ω n k n 2 ) A(\omega^{k{n\over 2}}_n) A(ωnk2n​​)所以可以用分治思想计算FFT原问题的规模缩减了一半。 总结一下FFT的计算如下 A ( ω n k ) A 0 ( ω n 2 k ) ω n k A 1 ( ω n 2 k ) A(\omega_n^k)A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})\omega_n^kA_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk​)A0​(ω2n​k​)ωnk​A1​(ω2n​k​) A ( ω n k n 2 ) A 0 ( ω n 2 k ) − ω n k A 1 ( w n 2 k ) A(\omega_n^{k\frac{n}{2}})A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{k})-\omega_n^kA_1(w_{\frac{n}{2}}^{k}) A(ωnk2n​​)A0​(ω2n​k​)−ωnk​A1​(w2n​k​) 可以通过这样的方式将一个多项式一直分解下去如下图是对16点输入的分解 在计算FFT时需要成对的点做蝶形运算这里成对的点就是0和8、4和12等这个分组的过程可以用bit reverse实现。 8点FFT计算图示 每一对数的蝶形运算 Bit Reverse确定蝶形运算对 从下面这个8点FFT可以很清楚地看到FFT蝶形运算时打乱了输入的顺序倒位序倒位序是由bit reverse操作得到的。 FFT的输入为倒位序输出为自然顺序。 Bit reverse的原理其实并不复杂从上文中16点输入的奇偶分解那个图就很容易看出来。 RFFT和FFT RFFT中的R是实数的意思RFFT是FFT的特殊版本为实数输入设计。RFFT利用了实数的傅立叶变换为共轭对称这个事实因此RFFT只需要计算一半的傅立叶变换系数。所以RFFT效率明显高于FFT并且也只有一半的存储开销。 因此当我们的输入为实数时比如图像卷积任务我们就可以利用实数的傅立叶变换为共轭对称这个特性用RFFT替换FFT来提高计算效率。 实数的FFT为什么是共轭对称 我们直接看DFT的计算公式把上文中的索引i改成了t方便和复数i区分开 A ( ω n k ) ∑ t 0 n − 1 a t ω n k t A(\omega_n^k)\sum_{t0}^{n-1}a_t\omega_n^{kt} A(ωnk​)t0∑n−1​at​ωnkt​ 其中, ω n k e i 2 k π n \omega_{n}^{k} e^{i\frac{2k\pi}{n}} ωnk​ein2kπ​ 于是代入得到 A ( ω n k ) ∑ t 0 n − 1 a t e i 2 k t π n ( 1 ) A(\omega_n^k)\sum_{t0}^{n-1}a_t e^{i\frac{2kt\pi}{n}}~~~~(1) A(ωnk​)t0∑n−1​at​ein2ktπ​    (1) 同时我们可以计算出与上面点对称的点 ω n n − k e i 2 ( n − k ) π n \omega_n^{n-k}e^{i\frac{2(n-k)\pi}{n}} ωnn−k​ein2(n−k)π​ 同样代入得到 A ( ω n n − k ) ∑ t 0 n − 1 a t ω n ( n − k ) t A(\omega_n^{n-k})\sum_{t0}^{n-1}a_t \omega_n^{(n-k)t} A(ωnn−k​)t0∑n−1​at​ωn(n−k)t​ 其中 ω n ( n − k ) t ω n n t − k t ω n n t / ω n k t ω n − k t \omega_n^{(n-k)t}\omega_n^{nt-kt}\omega_n^{nt}/\omega_n^{kt}\omega_n^{-kt} ωn(n−k)t​ωnnt−kt​ωnnt​/ωnkt​ωn−kt​ 于是 A ( ω n n − k ) ∑ t 0 n − 1 a t ω n − k t ∑ t 0 n − 1 a t e − i 2 k t π n ( 2 ) A(\omega_n^{n-k})\sum_{t0}^{n-1}a_t \omega_n^{-kt}\sum_{t0}^{n-1}a_t e^{-i\frac{2kt\pi}{n}}~~~~(2) A(ωnn−k​)t0∑n−1​at​ωn−kt​t0∑n−1​at​e−in2ktπ​    (2) 容易发现式1和2只是在 e e e的指数上为相反数关系 根据欧拉公式对于1 e i 2 k t π n c o s 2 k t π n i s i n 2 k t π n e^{i\frac{2kt\pi}{n}}cos\frac{2kt\pi}{n}isin\frac{2kt\pi}{n} ein2ktπ​cosn2ktπ​isinn2ktπ​ 对于2 e − i 2 k t π n c o s 2 k t π n − i s i n 2 k t π n e^{-i\frac{2kt\pi}{n}}cos\frac{2kt\pi}{n}-isin\frac{2kt\pi}{n} e−in2ktπ​cosn2ktπ​−isinn2ktπ​ 证毕 一大堆参考文献 零知识证明 - 理解FFT的蝶形运算十分简明易懂的FFT快速傅里叶变换大数乘法—多项式与快速傅里叶变换快速傅立叶变换Fast Fourier Transformfft海面模拟二彻底搞懂快速傅里叶变换FFT–旋转因子快速傅里叶变换FFT之一Radix-2 DIT FFTRfft 和 FFT 有什么区别离散傅里叶变换的衍生负频率、fftshift、实信号、共轭对称