多元积性函数

• 定义：若函数 \(f(n,m)\) 满足 \(ab \perp xy \Rightarrow f(ax,by)=f(a,b)f(x,y)\)，则称 \(f\) 为二元积性函数。
• 积性分解：将 \(x=\prod p_i^{\alpha _i},y=\prod p_i^{\beta _i}\)，则有 \(f(x,y)=\prod f(p_i^{\alpha_i},p_i^{\beta_i})\)。
• 二元迪利克雷卷积：\((f*g)(n,m)=\sum_{xy=n,ab=m}f(x,a)g(y,b)=\sum_{d_1|n,d_2|m}f(d_1,d_2)g(\frac{n}{d_1},\frac{m}{d_2})\)。
• 二元贝尔级数：\(\mathcal{F}_p(u,v)=\sum_{i=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} f(p_i,p_j)u^iv^j\)。

P13645 Totient with Divisors

\[\begin{aligned} \mathcal{F}_p(u,v)=&\sum_{i=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}(p-1)p^i(p-1)p^j\times\frac{(p^{i+j+3}-1)}{(p-1)}u^{i+1}v^{j+1}\\ &+1+\sum_{i=0}^{+\infty}(p-1)p^i\times\frac{p^{i+2}-1}{p-1}(u^{i+1}+v^{i+1})\\ =&(p-1)\sum_{i=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}p^{i+j}u^{i+1}v^{j+1}\times(p^{i+j+3}-1)\\ \end{aligned} \]