20250917NOIP#21

20250917NOIP#21

T2

题意：

给定一个 \(n\) 个点的树，点上有一个非负整数点权 \(a_i\)，表示这个点需要在操作序列中正好被经过 \(a_i\) 次，一次操作为选择两个顶点 \(u,v\) ，从 \(u\) 经过简单路径走到 \(v\) ，求最小操作数。

思路：

见到这个题第一眼想到贪心，可以具象化的把一次操作拆成两条线段，线头在 \(u,v\) 分别传向父亲，最终在两个点的 \(lca\) 处汇聚，一个点一定需要被 \(a_i\) 条线段经过，此时的问题就转化成了求最小线段数。

考虑到叶子结点一定需要向父亲发出 \(a_i\) 条线段，在线段不断上传的过程中会合并两条线段。所以我们不妨在开启一条新线段的时候对于答案加一，合并两条线段（在 \(lca\) 处汇聚成 \(1\) 条线段）的时候对于答案减一。

现在就可以考虑与叶子结点直接相连的父亲了，此时他的儿子节点向其传了 \(sum=\sum a_i\) 条线段，显然具体情况需要分讨。

• \(sum<a_i\)，考虑此时合并两条线段时会使 \(a_i\) 减一、 \(sum\) 减二、\(ans\) 减一，但是我们又因为先前的新开线段数为 \(a_i-sum\) ，所以合并之后的新开线段数变成了 \((a_i-1)-(sum-2)=a_i-sum+1\) ，显然对于最终的答案数无影响，但导致此时上传的线段数变少，所以肯定不优。
  综上所述，显然这种情况直接新开新线段即可。

• \(sum>a_i\) ，此时我们必须要减少 \(sum-a_i\) 个线头，但是这些线头可以在当前节点合并，使得答案有所减少。但是我们考虑为什么需要合并？如果不合并剩下的线段对于答案的作用为何？

  1. 不同儿子向上传递的线头可以在父亲节点合并，使得答案减少 \(1\) 。
  2. 线头可以使得原本需要开的新线段数减少，即覆盖父亲节点，使得答案减少 \(1\)。

  ​ 如果我们此时合并两条线段，答案必定减少 \(1\) ，但是会使得当前节点向上传的线段数减少 \(1\) ，影响即为 可能 会让父亲节点多开 \(1\) 条线段，使得答案增加 \(1\) 。
  ​ 但是我们可以发现，此时对于答案 \(-1,+1\) 没有具体影响！即使我们不合并这两条线段，到了父亲节点也不会使得答案再次减少。
  （有人会问在父亲节点再次让该线段与其他节点传上去的线段合并，答案不是会减少吗？但是这种情况违反了我们之前的前提：父亲节点需要新开线段。如果父亲节点不需要新开线段，那么答案在当前节点上合并两条线段时本来就会减少 \(1\) ，上述情况只是把贡献延迟到了父亲节点上对于贡献减 \(1\) 而已，所以无影响）

  ​ 所以对于该情况，能合并的线段一定进行合并，显然最优。