Unity入门学习（四）3D数学（4）之四元数Quaternion

目录

一、什么是四元数

二、和欧拉角的关联以及为什么会出现四元数

三、四元数的基本组成

Unity中的表示：

四、四元数Quaternion这个类中具有的属性和方法

常用属性

核心方法

五、四元数之间的计算

1. 叉乘（组合旋转）

2. 点积（相似度）

六、总结

四元数 Quaternion 属性与方法总结

详细说明

1. 属性

2. 方法

3. 运算符与静态方法

一、什么是四元数

定义
        四元数（Quaternion）是一种数学工具，用于表示三维空间中的旋转。它由四个分量组成：一个实部（w）和三个虚部（x, y, z），数学表达式为：
                                        q=w+xi+yj+zk
其中 

                                i^{2} + j^{2} + k^{2} = ijk = -1

        你可以想象四元数是一个“方向标记”，而欧拉角是“分解成三个步骤的转动角度”。四元数通过一种紧凑的数学形式直接描述方向，避免了欧拉角的分步旋转可能导致的万向节死锁问题。

Unity中的应用        
        在Unity中，所有Transform组件的旋转底层均由四元数实现。虽然开发者通常通过欧拉角（如Inspector面板中的Rotation）调整物体朝向，但Unity会自动将其转换为四元数存储。

二、和欧拉角的关联以及为什么会出现四元数

欧拉角的局限性
        万向节死锁（Gimbal Lock）：当绕某一轴旋转90度时，另外两个轴的旋转会重合，导致丢失一个自由度。就是说当你转到90度时，你想单独再沿着某一条轴进行旋转，发现怎么都不可以
例如：飞机俯仰90度后，偏航和滚转将绕同一轴旋转，无法独立控制。
插值不平滑：直接对欧拉角插值会导致旋转路径不自然（如抖动或突变）。

四元数的优势
无万向节死锁：四元数通过四维空间描述旋转，避免了三维欧拉角的轴顺序问题。
平滑插值：支持球面线性插值（Slerp），保证旋转路径的最短性和平滑性。
计算高效：旋转合成和逆运算更高效，适合实时计算。

关联
转换关系：欧拉角可通过Quaternion.Euler()转换为四元数，反之通过Quaternion.eulerAngles属性获取。
 

三、四元数的基本组成

四元数构成
一个四元数包含一个标量和一个3D向量
[w,v]，w为标量，v为3D向量
[w,(x,y,z)]
对于给定的任意的一个四元数：
表示3D空间中的一个旋转量

轴-角对
在3D空间中 任意旋转都可以表示 绕着某个轴旋转一个旋转角得到

注意：该轴并不是空间中的xyz中轴 而是任意一个轴
对于给定旋转 假设为绕着n轴 旋转β角度 n轴为（x,y,z）
那么可以构成的四元数为：
四元数Q = [cos(β/2)，sin(β/2)n]
四元数Q = [cos(β/2，sin(β/2)x,sin(β/2)y,sin(β/2)z]

四元数Q则表示绕着轴n，旋转β度的旋转量

单位四元数
单位四元数表示没有旋转量（角位移）
当角度为0或者360度时
对于给定的轴都会得到单位四元数

[1,(0,0,0)]和[-1,(0,0,0)]都是单位四元数
表示没有旋转量

Unity中的表示：

Quaternion q = new Quaternion(x, y, z, w);
// 注意：Unity的构造函数参数顺序为(x, y, z, w)

例如：绕Y轴旋转90度的四元数：

Quaternion rotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
// 等效于手动计算：
float angle = 90 * Mathf.Deg2Rad;
Quaternion q = new Quaternion(0, Mathf.Sin(angle/2), 0, Mathf.Cos(angle/2));

四、四元数Quaternion这个类中具有的属性和方法

常用属性
属性说明
identity单位四元数（无旋转）。
eulerAngles转换为欧拉角（只读）。
核心方法
方法说明示例
AngleAxis创建绕指定轴旋转角度的四元数。Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up)
Euler将欧拉角转换为四元数。Quaternion.Euler(0, 90, 0)
Slerp球面线性插值（平滑旋转）。Quaternion.Slerp(a, b, t)
Lerp线性插值（速度更快，但路径非最短）。Quaternion.Lerp(a, b, t)
Inverse返回反向旋转的四元数。Quaternion.Inverse(rotation)
LookRotation生成朝向某个方向的旋转。Quaternion.LookRotation(direction)

详细解释：

属性：

（1）identity：单位四元数（无旋转）
表示“不旋转”的状态，常用于初始化旋转或重置物体方向。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Start(){// 将物体旋转重置为初始状态（无旋转）transform.rotation = Quaternion.identity;}
}


（2）eulerAngles：将四元数转换为欧拉角
返回当前四元数对应的欧拉角（只读属性），常用于调试或显示直观角度。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Update(){// 实时输出物体的欧拉角Debug.Log("当前欧拉角：" + transform.rotation.eulerAngles);// 注意：直接修改 eulerAngles 可能导致问题，应通过 Quaternion.Euler() 设置// transform.eulerAngles = new Vector3(0, 90, 0); // 不推荐}
}

方法：

(1) AngleAxis：绕指定轴旋转指定角度
创建绕某个轴旋转一定角度的四元数，常用于自由轴旋转。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public float rotateSpeed = 90f; // 每秒旋转90度void Update(){// 绕Y轴旋转（按每秒 rotateSpeed 度旋转）float angle = rotateSpeed * Time.deltaTime;Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(angle, Vector3.up);transform.rotation = rotation * transform.rotation;}
}

(2) Euler：欧拉角转四元数
将欧拉角转换为四元数，避免直接操作 eulerAngles 导致的问题。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{void Start(){// 设置物体绕Y轴旋转90度Quaternion targetRotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);transform.rotation = targetRotation;}
}

(3) Slerp：球面线性插值
沿球面最短路径平滑插值，适合摄像机跟踪或自然旋转。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform target; // 拖入目标物体public float speed = 0.5f;void Update(){// 计算目标方向Vector3 direction = target.position - transform.position;Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(direction);// 使用Slerp平滑旋转transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRotation, speed * Time.deltaTime);}
}
//先快后慢
//A.rotation = Quaternion.Slerp(A.rotation,target.rotation,Time.deltaTime);//匀速变化
//time += Time.deltaTime;
//B.rotation = Quaternion.Slerp(start,target.rotation,time);

效果：物体会平滑转向目标物体，路径无抖动。 

(4) Lerp：线性插值
快速插值但路径非最短，适合对平滑性要求不高的场景。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform target;public float speed = 1f;void Update(){Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);transform.rotation = Quaternion.Lerp(transform.rotation, targetRotation, speed * Time.deltaTime);}
}

(5) Inverse：反向旋转
获取当前旋转的逆旋转，常用于坐标系转换或相对旋转。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Transform otherObject;void Update(){// 计算当前旋转的逆旋转Quaternion inverseRotation = Quaternion.Inverse(transform.rotation);// 将另一个物体的旋转设置为当前物体的逆旋转otherObject.rotation = inverseRotation;}
}

效果：otherObject 会始终与当前物体保持反向旋转。 

(6) LookRotation：朝向某个方向
使物体正面朝向指定方向，常用于控制角色或摄像机。

using UnityEngine;public class QuaternionExample : MonoBehaviour
{public Vector3 targetDirection = Vector3.forward; // 默认朝前void Update(){// 动态让物体朝向 targetDirection 方向Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(targetDirection);transform.rotation = targetRotation;}
}

效果：物体正面始终指向 targetDirection（可修改为鼠标或目标位置）。 

完整臻享版：

using UnityEngine;public class QuaternionDemo : MonoBehaviour
{public Transform target;public float rotateSpeed = 90f;public float slerpSpeed = 0.5f;void Start(){// 初始化无旋转transform.rotation = Quaternion.identity;}void Update(){// 1. AngleAxis 持续绕Y轴旋转float angle = rotateSpeed * Time.deltaTime;Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(angle, Vector3.up);transform.rotation = rotation * transform.rotation;// 2. LookRotation 朝向目标if (target != null){Vector3 direction = target.position - transform.position;Quaternion targetRot = Quaternion.LookRotation(direction);transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetRot, slerpSpeed * Time.deltaTime);}// 3. 输出当前欧拉角Debug.Log("当前欧拉角：" + transform.rotation.eulerAngles);}
}

五、四元数之间的计算

1. 叉乘（组合旋转）

四元数乘法表示旋转的叠加，顺序为从右到左应用。
公式：

                        q_{result} = q_{1} \times q_{2}

注意啊不满足交换律：即：

                ​​​​​​​        q_{1} \times q_{2} \neq q_{2} \times q_{1}

Quaternion qY = Quaternion.Euler(0, 90, 0); // 绕Y轴转90度
Quaternion qX = Quaternion.Euler(90, 0, 0); // 绕X轴转90度// 顺序1：先绕Y轴转，再绕X轴转
transform.rotation = qX * qY;// 顺序2：先绕X轴转，再绕Y轴转
transform.rotation = qY * qX;
/*效果：顺序1：物体会先面向右侧（Y轴旋转），然后向上翻转（X轴旋转）。顺序2：物体会先向上翻转（X轴旋转），然后面向右侧（Y轴旋转）。
最终朝向完全不同（可通过运行代码观察）。
*/
2. 点积（相似度）

四元数的点乘（Quaternion.Dot(q1, q2)）返回值的范围是 [-1, 1]，表示两个旋转的相似程度：

1：完全相同旋转。
-1：互为反向旋转。
0：旋转方向正交（无关）。

         Dot(q_{1},q_{2}) = q_{1}.x \cdot q_{2}.x +q_{1}.y \cdot q_{2}.y +q_{1}.z \cdot q_{2}.z +q_{1}.w \cdot q_{2}.w                         

 实际应用场景
(1) 判断旋转是否完成

Quaternion targetRotation = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
float similarity = Quaternion.Dot(transform.rotation, targetRotation);if (similarity > 0.999f) {Debug.Log("旋转完成！");
}

(2) 平滑过渡检测 在插值旋转时，若相似度接近1，可提前终止插值以优化性能：

Quaternion current = transform.rotation;
Quaternion target = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
float t = Quaternion.Dot(current, target);if (t < 0.99f) {transform.rotation = Quaternion.Slerp(current, target, Time.deltaTime * speed);
}

(3) 反向旋转检测

Quaternion inverse = Quaternion.Inverse(currentRotation);
float similarity = Quaternion.Dot(currentRotation, inverse);if (similarity < -0.999f) {Debug.Log("当前旋转与反向旋转对齐");
}
操作数学本质Unity中的作用典型场景
乘法（×）旋转叠加（顺序敏感）组合多个旋转，或转换坐标系角色转身+抬头、动画叠加
点乘（Dot）四维空间中的夹角余弦检测旋转相似度、判断旋转完成或反向插值优化、AI朝向检测、反向动作触发

综合对比：

using UnityEngine;public class QuaternionOperationsDemo : MonoBehaviour
{void Start(){// 1. 验证乘法顺序Quaternion qY = Quaternion.Euler(0, 90, 0);Quaternion qX = Quaternion.Euler(90, 0, 0);Debug.Log("顺序1 (qX*qY): " + (qX * qY).eulerAngles); // 输出 (90, 90, 0)Debug.Log("顺序2 (qY*qX): " + (qY * qX).eulerAngles); // 输出 (90, 90, 270)// 2. 验证点乘相似度Quaternion a = Quaternion.identity;Quaternion b = Quaternion.Euler(0, 90, 0);Quaternion c = Quaternion.Inverse(b);Debug.Log("a vs b: " + Quaternion.Dot(a, b)); // 约0.7（不相似）Debug.Log("b vs b: " + Quaternion.Dot(b, b)); // 1（完全一致）Debug.Log("b vs c: " + Quaternion.Dot(b, c)); // -1（完全反向）}
}

3. 逆运算

四元数的逆（Inverse）表示反向旋转。

公式：

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        q^{-1} = (-\frac{x}{||q||},-\frac{y}{||q||},-\frac{z}{||q||},-\frac{w}{||q||},)

例如：

Quaternion inverse = Quaternion.Inverse(rotation);

        ​​​​​​​       这里同上，不再赘述

六、总结

四元数 Quaternion 属性与方法总结

属性/方法参数返回值简单示例
identity无Quaterniontransform.rotation = Quaternion.identity;
eulerAngles无Vector3（欧拉角）Vector3 angles = transform.rotation.eulerAngles;
AngleAxisfloat angle, Vector3 axisQuaternionQuaternion q = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up);
Eulerfloat x, float y, float z 或 Vector3 eulerQuaternionQuaternion q = Quaternion.Euler(0, 90, 0);
SlerpQuaternion a, Quaternion b, float tQuaternionQuaternion.Slerp(current, target, Time.deltaTime * speed);
LerpQuaternion a, Quaternion b, float tQuaternionQuaternion.Lerp(current, target, Time.deltaTime * speed);
InverseQuaternion rotationQuaternionQuaternion inverse = Quaternion.Inverse(transform.rotation);
LookRotationVector3 forward, Vector3 upwards=Vector3.up（可选）QuaternionQuaternion q = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);
operator *Quaternion a, Quaternion b（或 Vector3 向量）Quaternion 或 Vector3Quaternion combined = q1 * q2;
Vector3 rotated = q * Vector3.forward;
DotQuaternion a, Quaternion bfloat（相似度）float similarity = Quaternion.Dot(q1, q2);

详细说明

1. 属性
属性说明
identity表示无旋转的四元数，等同于 new Quaternion(0, 0, 0, 1)。
eulerAngles将四元数转换为欧拉角（单位为度），仅用于调试，不可直接修改。
2. 方法
方法说明
AngleAxis绕指定轴旋转指定角度（单位为度）。
Euler将欧拉角转换为四元数（单位为度）。
Slerp沿球面最短路径插值，适合平滑旋转（如摄像机跟随）。
Lerp线性插值，速度更快但路径可能非最短。
Inverse返回反向旋转的四元数（等效于逆矩阵）。
LookRotation生成朝向指定方向的四元数，默认以 Vector3.up 为向上方向。
3. 运算符与静态方法
操作说明
operator *组合两个四元数的旋转，或对向量应用旋转（顺序为从右到左）。
Dot计算两个四元数的四维点积，用于判断旋转相似度（1为相同，-1为反向）。

 

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