2025认证杯数学建模第二阶段思路+模型+代码，详细内容见文末名片

一、问题重述

1.1 问题背景

在浩瀚无垠的宇宙中，近地小行星（NEAs）宛如一颗颗神秘的“太空子弹”，其轨道相对接近地球，给我们的蓝色星球带来潜在威胁。2025 年“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第二阶段 A 题，就聚焦于小行星轨迹预测这一关键领域。

近地小行星正式定义为椭圆轨道近日距不大于 1.3 天文单位（AU）的小行星。其中，那些轨道与地球轨道最近距离小于 0.05AU 且直径大于 140 米的小行星，被贴上了“潜在威胁小行星”的标签。一旦这些“危险分子”与地球相撞，后果不堪设想，将引发巨大灾难，如同宇宙间的一场灭顶之灾。

为了提前监测这些可能与地球相撞的小行星，天文学家们如同敏锐的宇宙卫士，愈发关注小行星轨迹的预报问题。小行星中心（MPC）作为国际天文学联合会下属的重要机构，肩负着接收和分发小行星、彗星以及大行星外部不规则自然卫星位置测量数据的重任。众多天文台纷纷将观测数据汇聚于此，MPC 每日精心发布当天的观测数据汇总，以及对未来若干天观测情况的预报，这些宝贵的数据可从其官网 https://minorplanetcenter.net/data 下载。此外，还有许多其他网站也整合了若干天文台的观测数据，为我们的研究提供了丰富的参考。

在不久前，一颗临时编号为 2024 YR4 的小行星，因其预测轨道将极为接近地球，瞬间成为众人瞩目的焦点，引发了广泛关注。不过，经过天文学家们持续的密切观测，最终证实它与地球并无相撞风险。在解决本次竞赛问题时，我们既可以此作为典型算例，也能自行挑选其他小行星展开研究。所需数据除了从 MPC 官网获取，还可从太阳系小天体轨道与观测仿真平台 小行星2024 YR4的基本参数 - 太阳系小天体轨道与观测仿真平台 查阅。

1.2 提取的各项问题

1. 第一阶段问题 1：想象一下，多个地面天文台站如同分布在地球各处的“宇宙眼睛”，在同一时间齐刷刷地望向同一颗小行星，并迅速给出观测目标的方位角以及高度角。现在，我们的任务是构建合理的数学模型，精准确定这颗小行星与地球的相对距离，并清晰给出模型及计算方法。这就好比要在复杂的宇宙空间中，搭建一座精确的“距离桥梁”，连接起地球与小行星。
2. 第一阶段问题 2：不同天文台持续跟踪观测某颗小行星，如同忠诚的卫士紧紧跟随目标，不断给出多次观测数据。我们需要在此基础上建立合理数学模型，对其短期（从观测日开始的 15 或 30 天内）的轨道进行预测。不过，我们只需预测每天特定时刻（如正午 12:00 或凌晨 0:00 等）各台站的观测方位角和高度角即可。这就像是为小行星的短期运动绘制一张精确的“路线草图”，让我们提前知晓它在特定时刻的“行踪”。
3. 第二阶段问题 1：根据对某颗近地小行星在不超过三个月时间内的观测数据，我们要像技艺精湛的工匠一样，构建合理数学模型，对小行星的轨道进行长期（三个月以上）预测，并给出模型及计算方法。这就如同为小行星规划一条长远的“宇宙航线”，让我们能在更广阔的时间尺度上掌握它的动态。
4. 第二阶段问题 2：预测结果难免会存在误差，就像再精准的地图也会有细微偏差。我们要给出预测方法的误差与观测时长和预测时间的关系，如同绘制一张“误差地图”，清晰展示误差在不同观测时长和预测时间下的变化规律，以便更好地评估预测的可靠性。
5. 第二阶段问题 3：当观测到一颗新发现的近地小行星时，我们要迅速运用模型，如同启动一台精密的“风险评估机器”，给出此目标未来与地球相撞的概率，为地球的安全提供重要的风险预警。

二、问题分析

2.1 解释数据作用和意义

1. 第一阶段问题 1：多个地面天文台站同一时间观测到的小行星方位角、高度角数据，以及台站的地理坐标（经度、纬度、海拔）和观测时间，就像是解开小行星与地球相对距离谜题的关键密码。方位角和高度角如同指引方向的箭头，明确了从台站观测小行星的方向；台站地理坐标则像一把神奇的尺子，用于构建不同坐标系；而观测时间更是如同时间轴上的刻度，在坐标系转换等关键计算中起着举足轻重的作用。毕竟，不同时间地球在宇宙中的位置和姿态会发生变化，这直接影响到坐标系的转换结果。

在数据处理时，我们要像严谨的侦探一样，首先对这些数据进行细致清洗，仔细检查是否存在异常值。比如，方位角超出 0 - 360°的合理范围，或者高度角出现负数等情况，一旦发现，就需进行修正或果断剔除。然后，将方位角和高度角从地平坐标系转换为地心赤道坐标系，这一步就如同将不同语言的信息翻译成通用语言，是后续计算的关键步骤，而转换过程中，台站地理坐标和观测时间就是不可或缺的“翻译工具”。
2. 第一阶段问题 2：不同天文台持续跟踪观测得到的多次观测数据，结合问题 1 确定的小行星相对地球的距离和位置，就像一组珍贵的拼图碎片，共同拼凑出小行星短期轨道预测的完整画面。多时间点的观测数据仿佛是小行星运动留下的足迹，能清晰反映其运动趋势，为计算轨道根数提供有力依据。

在数据处理过程中，我们要像整理书籍一样，对不同时间点的数据进行有序排序，确保时间顺序准确无误。对于缺失的数据，我们可以像修补破损画卷一样，采用线性插值或样条插值等方法进行巧妙补充。同时，为了让数据更加“纯净”，减少噪声干扰，还需对数据进行平滑处理，从而提高轨道预测的精度，让我们绘制的“路线草图”更加精准。
3. 第二阶段问题 1：近地小行星不超过三个月时间内的观测数据，宛如一座蕴藏丰富信息的宝藏，是长期轨道预测的重要基石。这些数据记录了小行星在一段时间内的运动轨迹，通过对它们的深入分析和处理，我们可以像考古学家还原历史一样，拟合轨道根数，并充分考虑多种摄动力的影响。

在数据处理时，我们要像分类整理物品一样，对数据进行细致分类，区分不同类型的观测数据，如光学观测、雷达观测等，因为不同类型的数据就像不同材质的材料，具有不同的误差特性。同时，为了让这些“材料”具有可比性，还需对数据进行归一化处理，为后续的长期轨道预测搭建坚实的数据基础。
4. 第二阶段问题 2：所有与轨道预测相关的数据，包括观测数据、轨道预测结果等，如同一个装满线索的“神秘盒子”，用于深入分析预测方法的误差与观测时长和预测时间的关系。观测数据中的噪声、初始状态的不确定性以及摄动力模型的误差等，就像隐藏在暗处的“捣蛋鬼”，都会影响预测结果的准确性。通过对这些数据的抽丝剥茧般的分析，我们可以建立误差来源的数学模型，如同绘制一张“误差成因地图”，进行误差传播分析。在数据处理时，要像拆解复杂机器一样，对不同来源的误差进行分离和量化，例如通过统计分析的方法确定测角误差、时间误差等的分布特性，从而更好地把握误差的“脾气”。
5. 第二阶段问题 3：基于长期轨道预测的结果和误差分析的结果，我们就像手握神奇魔法棒，能够计算新发现小行星与地球相撞的概率。长期轨道预测结果为我们描绘了小行星的运动轨迹，误差分析结果则为这条轨迹增添了不确定性信息。在数据处理时，我们要像从众多可能性中筛选珍宝一样，对长期轨道预测结果进行采样，充分考虑误差的影响，生成多个可能的轨道样本。然后，对这些样本进行精心筛选，挑选出与地球轨道可能相交的样本进行进一步分析，从而得出新发现小行星与地球相撞的概率，为地球的安全提供关键的风险评估。

2.2 前后问题的整体逻辑

1. 第一阶段问题 1：它是整个问题的基石，如同万丈高楼的地基。通过多台站同步观测确定小行星与地球的相对距离和地心赤道坐标，为后续的轨道预测提供了至关重要的初始位置信息。如果这个基础打得不牢固，后续的轨道预测就如同在沙滩上建楼，缺乏可靠支撑，一切都将失去意义。
2. 第一阶段问题 2：在问题 1 的坚实基础上，利用多时间点的观测数据和问题 1 确定的初始位置，如同沿着已有的线索继续探索，进行短期轨道预测。短期轨道预测的结果就像一个小型的“试验田”，可以验证模型在局部时间尺度上的有效性，为长期轨道预测提供宝贵的参考经验。如果短期轨道预测结果不准确，那就如同指南针出现偏差，可能意味着模型存在问题，需要及时对模型进行调整和优化。
3. 第二阶段问题 1：在短期轨道预测的基础上，如同将探索的范围从近处扩展到远方，扩展时间尺度并引入复杂摄动力，实现长期轨道预测。长期轨道预测的结果是后续误差分析和碰撞概率评估的核心基础。如果长期轨道预测不准确，就像航行在错误的航线上，误差分析和碰撞概率评估的结果也将变得不可靠，失去实际意义。
4. 第二阶段问题 2：对轨道预测模型进行误差分析，就像给模型做一次全面的“体检”，量化观测时长和预测时间对误差的影响。误差分析的结果不仅可以用于优化轨道预测模型，提高预测精度，还能为碰撞概率评估提供关键的不确定性信息。如果误差分析不准确，就像医生误诊，碰撞概率评估的结果将存在较大偏差，无法为我们提供准确的风险预警。
5. 第二阶段问题 3：综合长期轨道预测和误差分析的结果，如同将各种线索汇聚在一起解开最终谜题，计算新发现小行星与地球相撞的概率，完成最终的安全威胁评估。如果前面的问题解决不好，就像拼图缺少关键碎片，碰撞概率评估的结果将失去意义，无法为我们应对小行星威胁提供有效的决策依据。

2.5 第二阶段问题 1 分析

1. 问题起源与相关性：为了更全面地评估近地小行星对地球的潜在威胁，我们需要像绘制一幅更广阔的宇宙地图一样，对其轨道进行长期预测。三个月内的观测数据为长期轨道预测提供了相对丰富的信息，但长期轨道受到多种摄动力的影响，就像在复杂的水流中航行，需要更复杂的模型和方法。该问题在短期轨道预测的基础上进行扩展，如同将探索的范围从近处延伸到远方，考虑了更多的摄动力因素。
2. 解答思路：
   • 影响因素：摄动力参数化的准确性、数值积分的稳定性、小行星反照率和形状等参数的不确定性等，就像隐藏在宇宙深处的“神秘力量”，都会影响长期轨道预测的精度。摄动力参数需要假设或反演，存在一定不确定性，就像在迷雾中摸索方向；数值积分过程中，步长控制不当会影响积分的稳定性，如同驾驶汽车时速度控制不好会导致行驶不稳定；小行星反照率和形状等参数难以准确获取，会影响太阳光压建模的准确性，就像制作模型时材料的尺寸不准确会影响模型的质量。
   • 理论基础：我们要借助最小二乘法原理、卡尔曼滤波理论、太阳光压建模理论、行星引力建模理论、Yarkovsky 效应理论、蒙特卡罗仿真理论等一系列“强大武器”来应对挑战。最小二乘法和卡尔曼滤波用于拟合轨道根数，如同在复杂的数据中找到规律；太阳光压建模、行星引力建模和 Yarkovsky 效应理论用于描述摄动力的影响，就像描绘各种“神秘力量”对小行星运动的作用；蒙特卡罗仿真用于考虑初始状态和摄动力的不确定性，如同在充满不确定性的环境中进行多次模拟实验。
   • 核心变量：输入为三个月内的观测数据，这是我们预测的“原材料”；输出为小行星的长期轨道预测结果，这是我们要打造的“精美产品”。
   • 约束条件：小行星反照率、形状等参数难以准确获取，会影响太阳光压建模的准确性，我们要在模型中合理考虑这些不确定性，如同在制作产品时考虑材料的不稳定性，确保产品的质量。
   • 模型构建：
     • 摄动力建模：
       • 太阳光压：，其中(\eta)为反射系数，(S)为太阳常数，(c)为光速，(m)为小行星质量，(r)为小行星到太阳的距离，(AU)为天文单位。这个公式就像一个“太阳光压计算器”，帮助我们计算太阳光压对小行星的影响。

Yarkovsky 效应：热参数化模型

1. • • • 其中(D)为直径，(\alpha)为反照率，(\epsilon)为自转轴倾角。这就像一个“Yarkovsky 效应解码器”，揭示了 Yarkovsky 效应对小行星运动的作用机制。
       • 行星摄动：使用 JPL DE430 星历表插值，对共振项进行特殊处理（如与木星的 2:1 共振）。这就像在复杂的行星运动中找到规律，利用星历表和特殊处理方法，准确计算行星摄动对小行星轨道的影响。
     • 蒙特卡罗实现：基于观测协方差矩阵进行初始状态采样，对光压系数进行±20%的参数扰动，对 Yarkovsky 参数进行±50%的参数扰动。使用 DBSCAN 算法进行轨道簇聚类分析。这就像在充满不确定性的宇宙环境中进行多次模拟实验，通过采样和扰动参数，模拟不同情况下小行星的轨道，再利用聚类分析方法找到轨道的规律。
2. 解答过程注意事项：
   • 数据精度：观测数据的精度就像制作产品的原材料质量，会影响轨道根数的拟合和摄动力模型的准确性，我们要确保数据的质量，如同确保原材料的优质。
   • 模型假设合理性：摄动力模型和蒙特卡罗仿真都有一定的假设，就像搭建舞台时的设计假设，要确保这些假设在长期轨道预测中的合理性，否则舞台可能会坍塌。
   • 数值积分稳定性：长期轨道预测需要进行长时间的数值积分，就像长途驾驶汽车，要选择合适的积分方法和步长，确保积分的稳定性，如同确保汽车在长途行驶中的平稳。
3. 总结：首先使用最小二乘法或卡尔曼滤波，结合三个月内的观测数据，拟合轨道根数，考虑观测误差，就像在复杂的数据中找到规律并修正偏差。然后对太阳光压、行星引力、Yarkovsky 效应等摄动力进行建模，如同描绘各种“神秘力量”对小行星运动的影响。基于观测协方差矩阵进行初始状态采样，对摄动力参数进行扰动，通过蒙特卡罗仿真生成轨道簇，这就像在充满不确定性的宇宙环境中进行多次模拟实验，得到多种可能的轨道情况。最后进行轨道簇聚类分析，得到小行星的长期轨道预测结果，如同从众多模拟结果中找到最符合实际的轨道。关键决策点在于摄动力模型的准确性和蒙特卡罗仿真的参数设置，这就像舞台设计的关键元素，决定了整个长期轨道预测的准确性。

2.6 第二阶段问题 2 分析

1. 问题起源与相关性：在进行轨道预测时，预测结果必然存在误差，就像再完美的艺术品也会有细微瑕疵。了解预测方法的误差与观测时长和预测时间的关系，就像绘制一张“误差变化地图”，有助于评估预测结果的可靠性，为风险评估提供不确定性依据。该问题是对轨道预测模型的进一步分析，其结果可以用于优化轨道预测模型，提高预测精度，如同对艺术品进行精细打磨。
2. 解答思路：
   • 影响因素：观测噪声、初始状态不确定性、摄动力模型误差等，就像隐藏在暗处的“误差制造者”，都会影响预测结果的误差。观测噪声会导致观测数据的不准确，如同在清晰的画面上添加了噪点；初始状态不确定性会影响轨道初值的确定，就像在建造房屋时基础不够稳固；摄动力模型误差会影响轨道预测的精度，如同在导航时使用了不准确的地图。
   • 理论基础：我们要依靠误差来源建模理论、协方差传播理论、线性化轨道方程理论、蒙特卡罗仿真理论、经验公式拟合理论等“理论工具”来分析误差。误差来源建模用于描述各种误差的特性，就像给“误差制造者”画像；协方差传播和线性化轨道方程用于分析误差的传播情况，如同追踪误差在模型中的传播路径；蒙特卡罗仿真用于模拟误差的影响，就像在虚拟环境中进行多次误差实验；经验公式拟合用于量化观测时长和预测时间对误差的影响，如同用数学公式描绘误差的变化规律。

核心变量：输入为所有与轨道预测相关的数据，包括观测数据、轨道预测结果等，这些是我们分析误差的“原材料”；输出为误差与观测时长和预测时间的关系，这是我们要绘制的“误差变化地图”