一、什么是奇异值

 二、核心思想：

三、奇异值的主要应用

1、降维：

2、数据压缩：

原理：图像可以表示为一个矩阵，矩阵的元素对应图像的像素值。对这个图像矩阵进行 SVD 分解后，小的奇异值对图像的主要结构贡献很小，它们往往对应于图像中的细节和噪声。通过丢弃这些小的奇异值，只保留较大的奇异值及其对应的列向量，再用保留的部分重建图像矩阵，就可以在尽量保持图像主要内容的同时，大幅减少存储图像所需的数据量。

3、去噪：

在很多实际数据中，噪声往往表现为在各个方向上的微小干扰，反映在奇异值上就是一些较小的奇异值。通过丢弃这些小的奇异值及其对应的奇异向量，然后用剩下的较大奇异值部分重建数据矩阵，就可以有效地去除噪声，提高数据的质量。

4、推荐系统：

在推荐系统中，用户-物品评分矩阵通常存在很多缺失值，对评分矩阵R进行SVD分解后，保留前k个较大的奇异值及其对应的U、V的部分列向量，构建低秩矩阵来近似R。这样就可以利用已知的评分来预测缺失的评分值，从而为用户推荐可能感兴趣的内容。

四、矩阵代码实例

import numpy as np# 创建一个矩阵 A (5x3)
A = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9],[10, 11, 12],[13, 14, 15]])
print("原始矩阵 A:")
print(A)# 进行 SVD 分解
# full_matrices=False表示不计算完整的 U 和 V 矩阵，而是计算经济规模的分解，用于降维场景
U, sigma, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print("\n奇异值 sigma:")
print(sigma)# 分别保留前 k 个奇异值进行降维
for k in [1, 2, 3]:U_k = U[:, :k] # 取 U 的前 k 列，因为要保持行数不变sigma_k = sigma[:k] # 取前 k 个奇异值Vt_k = Vt[:k, :] # 取 Vt 的前 k 行，因为要保持列数不变# 近似重构矩阵 A,p.diag() 将 sigma_k 转换为对角矩阵。@ 运算符表示矩阵乘法。A_approx = U_k @ np.diag(sigma_k) @ Vt_k# 近似误差等于差异程度的弗罗贝尼乌斯范数（fro 值）占原始矩阵fro值的比例。error = np.linalg.norm(A - A_approx, 'fro') / np.linalg.norm(A, 'fro')print(f"k={k} 时的近似误差: {error:.6f}")

k=1 时：原始3维列空间降为1维，使用U的第1列和Vt的第1行，结合第一个奇异值，重新拟合原矩阵，近似误差仅为4.19%。

k=2 时：原始3维列空间降为2维，使用U的前2列Vt的前2行，结合前两个奇异值，重新拟合原矩阵，此时已完全重构原始矩阵（误差为0）。

k=3 时：使用全部3个左/右奇异向量，但第三个奇异值为0，没有额外价值。

想象一个三维数据点云，SVD 分解会找到三个正交方向：

• 第一个方向（对应最大奇异值）：数据方差最大的方向，即数据点最 “伸展” 的方向。
• 第二个方向（次大奇异值）：与第一个方向正交且方差次大的方向。
• 第三个方向（最小奇异值）：与前两个方向正交且方差最小的方向。

当用 k=1 降维时，相当于将数据投影到第一个方向上，保留最主要的特征。如果选择第三个方向（最小奇异值），则会丢失所有重要信息。

五、机器学习代码实例

1、如何确保测试集和训练集降维到同 k 个特征空间？

训练集和测试集需经过相同变换来保证数据分布一致，这是确保模型评估和泛化有效性的关键。

 任何线性变换（如矩阵乘法）都可以分解为旋转 → 缩放 → 再旋转三个步骤。 

为什么使用右奇异向量而不是左奇异向量？ 

2、代码实例

import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score# 设置随机种子以便结果可重复
np.random.seed(42)# 模拟数据：1000 个样本，50 个特征
n_samples = 1000
n_features = 50
# 随机生成特征数据，并改变数据尺度，使范围大致在均值 0 附近，标准差变为 10
X = np.random.randn(n_samples, n_features) * 10 
y = (X[:, 0] + X[:, 1] > 0).astype(int)  # 模拟二分类标签# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
print(f"训练集形状: {X_train.shape}")
print(f"测试集形状: {X_test.shape}")# 对训练集进行 SVD 分解
U_train, sigma_train, Vt_train = np.linalg.svd(X_train, full_matrices=False)
print(f"Vt_train 矩阵形状: {Vt_train.shape}")# 选择保留的奇异值数量 k
k = 10
Vt_k = Vt_train[:k, :]  # 保留前 k 行，形状为 (k, 50)
print(f"保留 k={k} 后的 Vt_k 矩阵形状: {Vt_k.shape}")# 降维训练集：X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
X_train_reduced = X_train @ Vt_k.T
print(f"降维后训练集形状: {X_train_reduced.shape}")# 使用相同的 Vt_k 对测试集进行降维：X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
X_test_reduced = X_test @ Vt_k.T
print(f"降维后测试集形状: {X_test_reduced.shape}")# 训练模型（以逻辑回归为例）
model = LogisticRegression(random_state=42)
model.fit(X_train_reduced, y_train)# 预测并评估
y_pred = model.predict(X_test_reduced)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"测试集准确率: {accuracy}")# 计算训练集的近似误差（可选，仅用于评估降维效果）
X_train_approx = U_train[:, :k] @ np.diag(sigma_train[:k]) @ Vt_k
error = np.linalg.norm(X_train - X_train_approx, 'fro') / np.linalg.norm(X_train, 'fro')
print(f"训练集近似误差 (Frobenius 范数相对误差): {error}")

六、注意的问题 

1、标准化数据

不同特征可能具有不同的量纲（比如一个特征表示年龄，范围可能是 0 - 100，另一个特征表示收入，可能是 0 - 1000000），如果不进行标准化，具有较大数值范围的特征可能会在 SVD 计算中占据主导地位，从而影响降维结果。

标准化可以将所有特征转化到相同的尺度，使得每个特征对降维的贡献更加公平。可以使用 sklearn.preprocessing.StandardScaler。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

对测试集 X_test调用transform方法，使用在训练集上计算得到的均值和方差对测试集数据进行标准化。不能在测试集上使用fit_transform，否则会导致数据泄漏，会使模型评估结果过于乐观。 

2、选择合适的 k

可以通过累计方差贡献率（explained variance ratio）选择 k ，通常选择解释 90%-95% 方差的 k  值，它可以帮助我们确定保留多少个奇异值能够解释大部分的数据方差。

# 表示前k个奇异值所解释的方差（奇异值平方的累积和）占总方差的比例。
explained_variance_ratio = np.cumsum(sigma_train**2) / np.sum(sigma_train**2)
print(f"前 {k} 个奇异值的累计方差贡献率: {explained_variance_ratio[k-1]}")

3、使用 sklearn 的 TruncatedSVD

对于大规模数据，完整的 SVD 计算可能非常耗时且占用大量内存。TruncatedSVD类专门用于高效降维，它直接计算前k个奇异值和向量，避免了完整 SVD 的计算开销，提高了计算效率。

from sklearn.decomposition import TruncatedSVD
svd = TruncatedSVD(n_components=k, random_state=42)
X_train_reduced = svd.fit_transform(X_train)
X_test_reduced = svd.transform(X_test)
print(f"累计方差贡献率: {sum(svd.explained_variance_ratio_)}")

@浙大疏锦行