🎯 一句话理解

• 求组合数（不计顺序） → 外层遍历物品，内层遍历背包容量

• 求排列数（计顺序） → 外层遍历背包容量，内层遍历物品

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🎲 举例说明

假设有硬币 [1, 2, 3]，目标金额是 4，要求凑成的方法数：

1. 组合数（顺序无关）：

比如：[1, 2, 1] 和 [2, 1, 1]、[1, 1, 2] 视为同一种方案，因为它们元素一样，只是顺序不同。

for i := 0; i < len(nums); i++ {       // 物品在外层for j := nums[i]; j <= target; j++ { // 容量在内层dp[j] += dp[j - nums[i]]}
}

这种写法只会把每组物品组合一次，不考虑排列方式。

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2. 排列数（顺序有关）：

比如：[1, 2, 1]、[2, 1, 1]、[1, 1, 2] 视为3种不同方案。

for j := 0; j <= target; j++ {       // 容量在外层for i := 0; i < len(nums); i++ { // 物品在内层if j >= nums[i] {dp[j] += dp[j - nums[i]]}}
}

这样每次容量增加时，都会把所有可放的物品都考虑一遍 ⇒ 排列自然产生了。

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✅ 总结对比

目标	外层循环	内层循环	特点
组合数（无序）	遍历物品 i	遍历容量 j	顺序不会重复
排列数（有序）	遍历容量 j	遍历物品 i	会计算所有顺序

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🧠 记忆口诀

🎯 组合外层物品，排列外层背包。

详细解释 组合外层物品，排列外层背包

🎯 问题背景

我们有硬币 coins = [1, 2, 3]，目标是金额 4。我们想知道有多少种方案凑出金额 4：

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🧮 什么是组合数（不计顺序）？

• 组合数不区分顺序：[1,1,2]、[2,1,1]、[1,2,1] 是同一种组合。

• 所以我们只想知道「有哪些组合方式」，不在意顺序。

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✅ 为什么组合数要先遍历物品？

我们看以下代码：

dp := make([]int, target+1)
dp[0] = 1
for i := 0; i < len(coins); i++ {       // 外层：物品（硬币）for j := coins[i]; j <= target; j++ { // 内层：背包容量dp[j] += dp[j - coins[i]]}
}

🌱 核心思想：

每次选一个硬币coins[i]，我们更新所有能放它的位置，但每个 dp[j] 只会累加来自当前物品之前的组合。

这样做的结果是：

• 所有组合只计算一次，避免了顺序重复。

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✍️ 举个例子

第一层循环：i = 0（coin = 1）

更新 dp[1], dp[2], dp[3], dp[4]，只用 1 元硬币。

此时：

dp = [1 1 1 1 1]

表示只用 1 元可以组成的方法数，只有一种 [1,1,1,1]。

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第二层循环：i = 1（coin = 2）

我们再用 2 元更新，但只能在原有的基础上增加。

• dp[2] += dp[0] → [2]

• dp[3] += dp[1] → [1,2]

• dp[4] += dp[2] → [2,2]

更新后：

dp = [1 1 2 2 3]

说明方法数是：[1,1,1,1], [1,1,2], [2,2], 不会重复 [2,1,1]、[1,2,1] 等顺序。

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📦 如果调换循环顺序会怎样？

比如改为这样：

for j := 0; j <= target; j++ {for i := 0; i < len(coins); i++ {if j >= coins[i] {dp[j] += dp[j - coins[i]]}}
}

这时每个 j 都会尝试所有硬币，所以：

• dp[3] 会通过 [1,2]，也会通过 [2,1]，两次都被算入。

• 所以是排列数（考虑顺序）。

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🔁 总结

目标	外层循环	结果特性	会不会重复顺序
组合数	物品在外	不计顺序	不会
排列数	背包在外	顺序不同都算	会