最大公约数和最小倍数 java

在Java中，计算两个数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）是常见的编程问题。以下是具体的实现方法和代码示例。

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### **1. 最大公约数 (GCD)**

最大公约数是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。常用的方法有：

#### **方法 1：辗转相除法（欧几里得算法）**
这是求解最大公约数的经典算法，其核心思想是通过递归或循环不断取余数，直到余数为0为止。

**公式**：
- 如果 `a % b == 0`，则 `GCD(a, b) = b`。
- 否则，`GCD(a, b) = GCD(b, a % b)`。

#### **代码实现**：
```java
public class GCDCalculator {
// 使用辗转相除法计算最大公约数
public static int gcd(int a, int b) {
while (b != 0) {
int temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}

public static void main(String[] args) {
int num1 = 56;
int num2 = 98;
System.out.println("最大公约数: " + gcd(num1, num2)); // 输出 14
}
}
```

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### **2. 最小公倍数 (LCM)**

最小公倍数是指两个或多个整数的最小正整数倍数。最小公倍数可以通过最大公约数计算得出。

**公式**：
- `LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)`

#### **代码实现**：
```java
public class LCMCalculator {
// 使用辗转相除法计算最大公约数
public static int gcd(int a, int b) {
while (b != 0) {
int temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
return a;
}

// 计算最小公倍数
public static int lcm(int a, int b) {
return (a * b) / gcd(a, b);
}

public static void main(String[] args) {
int num1 = 56;
int num2 = 98;
System.out.println("最大公约数: " + gcd(num1, num2)); // 输出 14
System.out.println("最小公倍数: " + lcm(num1, num2)); // 输出 392
}
}
```

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### **3. 示例运行结果**

假设输入两个数为 `56` 和 `98`：

- 最大公约数：`gcd(56, 98) = 14`
- 最小公倍数：`lcm(56, 98) = (56 * 98) / 14 = 392`

输出结果：
```
最大公约数: 14
最小公倍数: 392
```

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### **4. 注意事项**

1. **输入验证**：
- 确保输入的数字是正整数。
- 如果输入可能为负数或零，需要进行额外处理。

2. **溢出问题**：
- 在计算 `(a * b)` 时，可能会导致整数溢出。如果可能遇到大数，可以使用 `long` 类型或 `BigInteger` 类。

#### **使用 BigInteger 的实现**：
```java
import java.math.BigInteger;

public class GCDCalculatorWithBigInteger {
public static BigInteger gcd(BigInteger a, BigInteger b) {
return a.gcd(b); // BigInteger 提供了内置的 gcd 方法
}

public static BigInteger lcm(BigInteger a, BigInteger b) {
return a.multiply(b).divide(gcd(a, b));
}